Visual Basic for Applications

spotkanie 11

Dr inż. Piotr Winiarek

[e-mail]

GG 30396

Układy równań

liniowych

niejednorodnych

Układ n równań liniowych

x

1

, …, x

n

– zbiór (wektor) niewiadomych,

a

ij

– współczynniki układu,

b

i

– wyrazy wolne





























































n

n

nn

j

nj

n

n

i

n

in

j

ij

i

i

n

n

j

j

n

n

j

j

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

22

1

21

1

1

1

2

12

1

11

(1)

Układ równań liniowych

jednorodnych

i

niejednorodnych





































0

...

0

...

0

...

2

2

1

1

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

n

nn

n

n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a



Wszystkie
wyrazy wolne
tego układu są

równe zero

.

(1)

Układ równań liniowych jednorodnych:

(2)

Układ równań liniowych niejednorodnych:





































n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11



Wyrazy wolne
tego układu

nie

są równe zero

.

Układ równań liniowych niejednorodnych

































mn

mj

m

m

in

ij

i

i

n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

1

1

1

12

11

Tablica A -

macierz
współczynników
układów równań

macierz
kwadratowa m=n

































m

j

x

x

x

...

...

1

































m

j

b

b

b

...

...

1

Wektor X –

wektor
rozwiązań

Wektor B –

wektor
wyrazów
wolnych

A =

X =

B =

Macierz rozszerzona (uzupełniona)

układu równań

































1

11

11

11

11

1

11

11

11

11

1

11

11

11

11

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

Macierz rozszerzona układu równań –

macierz A’

–

otrzymana przez dołączenie macierzy B do macierzy

A

A’ =

= [A|B]

Wyznaczniki

nn

ni

n

in

ii

i

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

1

1

1

11

detA =

wyznacznik
macierzy A

detA≠0

–

warunek istnienia

wektora rozwiązań

układu równań (1),

jeżeli

detA=0

– układ równań (1) jest nieoznaczony

lub sprzeczny

Wyznaczniki c.d.

nn

n

n

in

i

i

n

a

b

a

a

b

a

a

b

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

1

1

1

11

detA

i

=

Wyznacznik detA

i

– otrzymany przez zastąpienie i-tej

kolumny wyznacznika detA wektorem wyrazów

wolnych

Macierz odwrotna

I

AA 

 1

A

-1

– macierz odwrotna,

I

– macierz diagonalna

jednostkowa

macierz diagonalna

jednostkowa





















1

0

0

0

1

0

0

0

1

Macierz odwrotna

do macierzy kwadratowej A

istnieje wtedy i tylko wtedy gdy

detA≠0

. Macierz, dla

której nie istnieje macierz odwrotna –

macierz

osobliwa

Algorytmy

• algorytmy dokładne

– polegają na wykonaniu

skończonej liczby opisanych działań (zależnej od
liczby równań) w wyniku czego otrzymuje się
rozwiązanie układu równań,

• algorytmy iteracyjne

– polegają na wyznaczeniu

kolejnych wektorów rozwiązań przybliżonych i
zakończeniu programu jeśli elementy dwóch
kolejnych przybliżeń będą się różnić mniej niż
założony błąd

Metody

1)

wzory Cramera

2)

macierz odwrotna, równanie

macierzowe,

3)

algorytm Gaussa - Jordana

Metoda 1

- wzory Cramera

Kolejne

elementy wektora X

są równe:

n

i

A

A

x

i

i

,...,

2

,

1

det

det





A

A

x

A

A

x

A

A

x

n

n

det

det

,

,

det

det

,

det

det

2

2

1

1









X = (x

1

, x

2

, …, x

n

)

Metoda 2

- równanie macierzowe

































mn

mj

m

m

in

ij

i

i

n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

1

1

1

12

11

































m

j

x

x

x

...

...

1

Układ równań (1) można zapisać
w postaci

równania

macierzowego

:

B

AX 

B

A

X

1





































m

j

b

b

b

...

...

1

=

·

Metoda 3

– algorytm Gaussa -

Jordana

• elementy i-tego wiersza są dzielone przez element

a

ii

–

normowanie wiersza głównego

,

• jeżeli

a

ii

=0

, wtedy należy

szukać

„w dół i w prawo”

niezerowego elementu macierzy

. Jeżeli taki element

istnieje (np. w pozycji a

kl

) to należy

zamienić

miejscami wiersz i z wierszem k

oraz ewentualnie

kolumnę i z kolumną l. W wyniku tych operacji w
pozycji a

ii

znajdzie się element niezerowy, można

dalej kontynuować eliminację,

Algorytm Gaussa - Jordana

• po unormowaniu wiersza głównego

eliminuje się

kolumnę główną

przez odejmowanie od kolejnych

wierszy k<>i wiersza głównego odpowiednio
przeskalowanego,

• postępowanie to jest powtarzane do wyeliminowania

wszystkich wierszy lub wszystkich kolumn,

• jeżeli

element niezerowy nie zostanie znaleziony

, to

dalsza eliminacja jest niemożliwa i macierz
pozostanie częściowo niewyeliminowana,

• analiza stanu macierzy po zakończeniu procedury –

umożliwia

wyznaczenie wektora rozwiązań

Całkowanie

numeryczne

metodą Eulera i

Simpsona

Całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną

funkcji f(x) nazywamy wyrażenie

F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x),
a C jest dowolną stałą.

C

x

F

dx

x

f







)

(

)

(

F(x)

– funkcja pierwotna

(1)

Funkcja pierwotna

Funkcją pierwotną

funkcji f(x) w przedziale a<x<b

nazywamy każdą taką funkcję F(x), której pochodna
F’(x) równa się danej funkcji f(x) dla każdego x
z przedziału a<x<b.

)

(

)

(

)

(

'

x

f

dx

x

dF

x

F





(2)

Całka oznaczona

Interpretacja geometryczna:

Całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru

Newtona-Leibniza:

 

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







(3)

[a,b] – przedział całkowania,

a,b – granice całkowania

Całkowanie

• analityczne

– do obliczania całek

nieoznaczonych i oznaczonych
(całkowanie przez części i przez
podstawienie),

• numeryczne

– jedynie do obliczania

całek oznaczonych (np. metoda
Eulera i Simpsona)

Kwadratura funkcji f(x)

Jeżeli

funkcja F(x)

:

(1)

nie istnieje,

(2)

jest zbyt trudna do wyznaczenia
sposobami analitycznymi,

(3)

znane są tylko doświadczalne „punktowe”
wartości f(x

i

)

0, 1, …, n

,

wtedy

wartość całki oznaczonej oblicza się

numerycznie – KWADRATURA FUNKCJI
f(x)

– np.

metoda Eulera i metoda

Simpsona

.

Metoda Eulera (metoda trapezów)

n
podprzedziałów
,

pole każdego
podprzedziału
przybliża się
polem trapezu

Pole trapezu

h

b

a

P







2





j

j

j

j

x

x

y

y

P













1

1

2

a

b

h

Metoda Eulera (metoda trapezów)

)

(

2

)

(

)

(

)

(

1

1

1

j

j

j

j

x

x

j

x

x

x

f

x

f

dx

x

f

I

j

j

















Wartość całki oznaczonej w podprzedziale

[x

j

, x

j+1

]

j=0, 1, 2, …, n-1

:

W przedziale [a, b]:



























1

0

1

1

1

0

)

(

2

)

(

)

(

)

(

n

j

j

j

j

j

b

a

n

j

j

x

x

x

f

x

f

I

dx

x

f

(4)

(5)

Metoda Eulera (metoda trapezów)

W przypadku takich samych szerokości podprzedziałów:

const

n

a

b

x

x

x

j

j













1

Równanie (5) upraszcza się:





























b

a

n

j

j

x

x

f

b

f

a

f

dx

x

f

1

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

(6)

(7)

Błąd oszacowania całki

Błąd

numerycznego szacowania całki

oznaczonej w przedziale [a, b]:

(1)

maleje

w miarę wzrostu n,

(2)

rośnie

w miarę wzrostu krzywizny

funkcji.

Najkorzystniejszy jest podział na równe

podprzedziały.

Metoda Simpsona

2n podprzedziałów, grupuje się je parami,
każda para zawiera 3 węzły

Równanie paraboli

Funkcję f(x) w przedziale [x

a

, x

c

]

aproksymuje się parabolą.

Równanie paraboli

przechodzącej przez 3

węzły:

2

2

1

0

)

(

)

(

b

b

x

x

c

x

x

c

c

y











(8)

Równanie paraboli – współczynniki c

0

, c

1

,

c

2

































2

2

1

0

2

2

1

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

b

c

b

c

c

b

a

b

a

a

b

x

x

c

x

x

c

c

y

x

x

c

x

x

c

c

y

c

y

Współczynniki c

0

, c

1

i c

2

są rozwiązaniem

układu równań:

(9)

Równanie paraboli – współczynniki c

0

, c

1

,

c

2

Po przekształceniu:



 

 

 







 









 









 









































































2

2

2

2

2

2

2

1

0

b

a

b

c

b

c

b

a

b

c

b

a

b

a

b

c

b

a

b

c

b

c

b

a

b

c

b

a

b

a

b

c

b

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

c

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

c

y

c

(10
)

Całka funkcji w przedziale

[x

a

,

x

c

]



















 









 







3

3

2

2

2

1

0

2

2

1

0

3

2

b

a

b

c

b

a

b

c

a

c

x

x

b

b

j

x

x

x

x

c

x

x

x

x

c

x

x

c

dx

x

x

c

x

x

c

c

I

c

a



































(11
)

Całka funkcji w przedziale

[a, b]

Przybliżoną wartość całki

w przedziale [a, b]

oblicza się

sumując udziały

:

 









n

j

j

b

a

I

dx

x

f

1

(12
)

Podprzedziały o identycznej szerokości

W przypadku

podprzedziałów o

identycznej szerokości

:

const

n

a

b

x

x

x

j

j















2

1

Wzory

(11)

i

(12)

upraszczają się

:

(13
)

(14
)

(15
)

 

 

 





 

 

 

 

 













































b

a

n

j

j

n

j

j

c

b

a

j

x

f

x

f

b

f

a

f

n

a

b

dx

x

f

x

f

x

f

x

f

x

I

1

2

1

2

2

1

1

2

2

4

6

4

3

Obliczenia:

• założyć liczbę podprzedziałów

(n – metoda

Eulera, 2n – metoda Simpsona),

• obliczyć x

– wzór (6) lub (13):

metoda Eulera (trapezów):

metoda Simpsona:

const

n

a

b

x

x

x

j

j













1

(6)

const

n

a

b

x

x

x

j

j















2

1

(13
)

Obliczenia c.d.:

• oszacować wartość całki

– wzór (7)

lub (15):





























b

a

n

j

j

x

x

f

b

f

a

f

dx

x

f

1

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

(7)

metoda Eulera (trapezów):

metoda Simpsona:

(15
)

 

   

 

 





































b

a

n

j

j

n

j

j

x

f

x

f

b

f

a

f

n

a

b

dx

x

f

1

2

1

2

2

1

1

2

2

4

6

Obliczenia c.d.:

• zwiększyć wartość n

(np. podwoić),

• powtarzać obliczenia

, aż 2 kolejne

oszacowania całki będą w granicach

założonego błędu identyczne

dziękuję z uwagę