TEMAT 6: PODSTAWY HYDRAULIKI

Zajęcia 2: Przepływ w przewodach

1. Przepływ laminarny w rurach o

przekroju kołowym

Rozpatrzymy ustalony przepływ laminarny wzdłuż
poziomej rury o stałym przekroju kołowym mającym
promień R (rys.1).

Rys.1. Schemat rury do wyznaczenia strat tarcia w rurze o przekroju
kołowym

1. Straty hydrauliczne

Straty naporu całkowitego

h

str

zwane stratami

hydraulicznymi zależą od

lepkości

i

prędkości cieczy

, a

także od

kszłatu

,

wymiarów

i

szorstkości

rurociągu.

Z doświadczeń wynika, ze w większości przypadków są
one proporcjonalne do kwadratu prędkości średniej, czyli
można napisać, ze:

Współczynnik proporcjonalności



(ksi) nazywa się

współczynnikiem oporu

.

W zależności od przyczyn powodujących straty
hydrauliczne dzielimy je na:

- straty lokalne (miejscowe) h

m

,

- strsty na tarcie h

T

.

(6.4.)

Straty lokalne ---

wywołane są, ściśle

zlokalizowanymi zmianami kształtu oraz wielkości
przekroju i kierunku strumienia wywołującymi lokalną
zmianę prędkości (pędu strumienia), której towarzyszy na
ogół powstawanie wirów. Straty takie zachodzą dla
przykładu przy skokowej zmianie przekroju czy kierunku
przepływu. Lokalny spadek naporu hydraulicznego określa
się (zgodnie z 6.4) według wzoru:

gdzie 

m

nazywa się współczynnikiem strat lokalnych.

Jeśli w najbliższym otoczeniu miejsca powstania strat
lokalnych prędkość zmienia się wzdłuż przewodu, to przy
wykorzystywaniu do obliczeń wzoru (6.5) najczęściej
bierze się największą prędkość średnią.

(6.5.)

Straty tarcia

--- spowodowane są nieodwracalnym

żuzyciem części energii mechanicznej strumienia na
pracę sił tarcia i zależą od prędkości przepływu i
stosunku długości rury do średnicy jej przekroju
wewnętrznego.

Współczynnik strat na tarcie



zależy od liczby Reynoldsa (będącej

funkcją lepkości cieczy), oraz względnej szorstkości

gdzie s jest średnią wysokością szorstkości przewodu.

W celu wyznaczenia zależności na straty tarcia posłużymy
się równaniem ciągłości i równaniem Naviera-Stokesa dla
współrzędnych walcowych x,r, związanych z rura jak na

rys. 1

Pominiemy działanie sił masowych i założymy, że os x
jest osią symetrii przepływu, promieniowa i
obwodowa składowa prędkości są równe zeru.

Zaś składowa

Po uwzględnieniu powyższych warunków z równania
ciągłości (3.6) wynika, że:

czyli rozkład v

x

jest stały wzdłuż długości rury, możemy

więc tę prędkość oznaczać bez indeksu

Równania Naviera - Stokesa można sprowadzić do postaci:

Z ostatniej zależności wynika, że ciśnienie nie zależy od
współrzędnej

r

a więc pochodna ciśnienia po

x

jest

pochodną zwyczajną, pierwsze równanie (6.7) napiszemy
więc następująco:

(6.7.)

(6.8.)

Lewa strona powyższej zależności nie zależy od x a więc
i prawa także nie może zależeć od tej współrzędnej, czyli

co oznacza, że ciśnienie jest liniową funkcją

x

. Zgodnie z rys. 1.

gdzie

p = p

2

- p

1

jest spadkiem ciśnienia na długości

I

rury. Równanie (6.8) można napisać więc w postaci:

albo

Po obustronnym pomnożeniu równania przez

r

oraz

wykonaniu całkowania otrzymamy zależność

którą po podzieleniu obustronnym przez

r

i ponownym

scałkowaniu sprowadzimy do postaci

Stała

C

1

= 0

ze względu na ograniczoność rozwiązania

przy

r = 0

, wartość

C

2

wyznaczymy natomiast z warunku

zerowania się prędkości na ściance gdy

r = R

.

Rys. 2. Rozkład prędkości

v(r)

i naprężeń stycznych

(r)

w laminarnym przepływie przez rurę o przekroju

kołowym

Ostatecznie wyrażenie na rozkład prędkości przyjmie postać:

Wykresem rozkładu prędkości jest więc paraboloida
obrotowa (rys; 2), w którym dla r = 0

Obliczymy wydatek oraz prędkość średnią w poprzecznym
przekroju rury. Przez pierścieniowy element powierzchni
dS o promieniu r i grubości dr przepływa w jednostce
czasu objętość równa

(6.10.)

(6.9.)

Zaś przez cały przekrój S

Stąd prędkość średnia

(6.12.)

Z 6.10. i 6.12. wynika

?

Naprężenia styczne wyznaczymy wykorzystując prawo
tarcia Newtona (1.6) oraz zależność (6.9)

Rozkład naprężeń jest liniową funkcją r (rys.3).
Największe co do wartości naprężenia działają przy
ściance i są równe

a po wykorzystaniu (6.12)

Wniosek --- w przepływie laminarnym spadek
ciśnienia w rurze o długości I i średnicy d jest wprost
proporcjonalny do współczynnika lepkości cieczy,
długości rury i prędkości średniej, a odwrotnie
proporcjonalny do kwadratu średnicy przekroju.

a po wykorzystaniu (6.12)

Przepływy turbulentne w rurach kołowych

W warstwie turbulentnej wyszczególniono subwarstwę
laminarną i strefę turbulentną. Z uwagi na określone
relacje między przepływem w jednej i drugiej strefie
wynikające z lokalnego stosunku sił bezwładności do sił
lepkości istnieje duże podobieństwo (jak można dalej
zauważyć) między turbulentną warstwą przyścienną na
gładkiej płaskiej płytce i przepływem turbulentnym w
rurze kołowej o gładkiej ściance.
W przypadku przepływu w rurze cały obszar można
podzielić na dwie części:
-cienką warstwę w pobliżu ścianki, gdzie na skutek
dużego wpływu sił lepkości przepływ jest laminarny;
jest to subwarstwa laminarna,
-obszar przepływu turbulentnego tzw. jądro
turbulentne. W wyniku intensywnej wymiany pędu
między cząsteczkami rozkład prędkości głównej
(uśrednionej w czasie) w jądrze turbulentnym zbliżony
jest do jednorodnego.

Rys. 4. Rozkład prędkości w turbulentnym przepływie w rurze

Prandtl i niezależnie od niego Karman wyprowadzili następującą
zależność na rozkład prędkości (rys. 4)

Dla większych wartości liczb Reynoldsa ustalono doświadczalnie bardziej
ogólną zależność

gdzie n = n(Re) przy czym dla większych liczb Re wartość n jest większa.
W pobliżu ścianki, gdzie nie mogą istnieć oscylacje prędkości o składowej
prostopadłej do ścianki, tzn. w subwarstwie laminarnej, rozkład prędkości
jest w przybliżeniu liniowy

gdzie h jest grubością subwarstwy, zaś

v

h

jest prędkością na granicy

subwarstwy laminarnej i jądra turbulentnego.
Podobnie jak w turbulentnej warstwie przyściennej liczba Reynoldsa
odniesiona do prędkości

v

h

i długości h jest wielkością stałą niezależną

od średniej prędkości przepływu w rurze.

Grubość subwarstwy laminarnej rośnie ze wzrostem prędkości w
rurze.

Rys. 5. Przekrój ścianki rury z a) szorstkością piaskową „kalibrowaną", b) z
szorstkością normalną

Występujący w równaniu Bernoulliego współczynnik Corioiisa jest dla
turbulentnego przepływu w rurze w przybliżeniu równy jedności   1.

Badania nad wpływem szorstkości na straty tarcia przeprowadził Nikuradse
dla różnej wartości tzw. względnej szorstkości piaskowej s/R.
W doświadczeniach swych uzyskał on równomierną szorstkość pokrywając
wewnętrzną powierzchnię rury „kalibrowanymi" ziarnkami piasku (rys. 5). Do
badań użył rur mających szorstkość względną s/R = 1/500 + 1/15; uzyskane
liczby Reynoldsa osiągały wartość 1000.000. Wyniki badań przedstawiono na
rys (6.9) w postaci krzywych we współrzędnych logarytmicznych.
Parametrem poszczególnych linii

{Re) jest szorstkość względna s/R, która

wpływa na wielkość współczynnika strat tylko w przepływach turbulentnych.
W zakresie przepływów laminamych (Re < 2300) nie obserwuje się zmiany
wartości tego współczynnika przy zmianie szorstkości (

 =64/Re). Każdą linię

można podzielić na pięć zakresów zaznaczonych na rysunku.

Zakres I

odpowiada przepływowi laminarnemu i jest

ograniczony krytyczną liczbą Reynoldsa (Re

kr

= 2300). W tym

zakresie współczynnik strat tarcia nie zależy od szorstkości i
można go określić z dostateczną dokładnością w oparciu o wzór
wyprowadzony w par. 6.3.

Straty naporu

na

tarcie h

T

zależą w tym przypadku liniowo od

średniej prędkości v

śr

przepływu (6.18).

Zakres //

jest tzw. strefa przejścia, ponieważ odpowiada przejściu

przepływu laminarnego w turbulentny przy wzroście prędkości i
odwrotnie - przy spadku. Zakres ten jest bardzo mały - praktycznie
pomijalny.

Zakres III

dotyczy strat przy turbulentnym przepływie w rurach

gładkich.

Linia

 (Re) nie zależy od szorstkości. Teoretyczną zależność

współczynnika strat od liczby Reynoldsa w tym zakresie wyznaczył
Blasius i ma ona postać:

Wzór ten stosuje się dla rur gładkich, gdy Re < 50 000. Powyższą
zależność stosuje się także dla rur szorstkich gdy wysokość
szorstkości jest mała w porównaniu z grubością subwarstwy
laminarnej, tj. gdy rura jest „hydraulicznie gładka". Ze wzrostem
szorstkości III zakres maleje. W obszarze tym straty h

T

są

proporcjonalne do v

śr

1,75

.

Zakres IV

obejmuje zależność współczynnika strat tarcia



=



(

Re, s;/R). W tym zakresie wysokość szorstkości jest porównywalna z

grubością subwarstwy laminarnej. Nierówności ścianki przy wzroście
Re mają coraz większy wpływ na rozkład prędkości w jądrze
turbulentnym a tym samym i na naprężenia styczne.
Do wyznaczenia współczynnika strat w tym zakresie stosuje się
między innymi empiryczny wzór Misesa

gdzie R jest wewnętrznym promieniem rury, zaś K jest liczbą o
wymiarze długości charakteryzującą szorstkość ścian; przyjmuje
się ją dla przykładu:
- dla rur szklanych

K = (0.2  0.8) 10

-8

m,

- dla rur żeliwnych nowych K = (1



2) 10

-6

m,

- dla rur żeliwnych starych K=(2.5



5) 10

-6

m.

W zakresie IV straty są proporcjonalne do v

śr

1,75



2

.

Zakres V charakteryzuje się tym, że współczynnik strat nie zależy
od liczby Reynoldsa; jest tylko funkcją względnej szorstkości.
Z tego wynika, że straty naporu są proporcjonalne do v

2

śr

. Do

obliczenia współczynnika



, można stosować wzór podany przez

Nikuradsego mający postać

Szorstkość powierzchni rurociągów z jakimi mamy do czynienia w
technice, nie jest tak równomiernie „skalibrowana" jak rury
Nikuradsego. Dlatego przedstawiony powyżej wykres nie zawsze
jest przydatny do celów praktycznych, szczególnie dla dużych
szorstkości względnych. Opisane powyżej wyniki doświadczenia
mają jednak duże znaczenie dla poznania charakteru zjawisk
wywołanych szorstkością.

Przepływy w rurach o przekroju niekołowym,

promień hydrauliczny

.

Podane wyżej zależności dla rur o przekroju kołowym oraz wykres
Nikuradsego można zastosować także do przepływów w
przewodach niekołowych. Wykorzystuje się wtedy tzw. promień
hydrauliczny umożliwiający uwzględnienie strat energii
pochodzących od naprężeń stycznych wynikających z
oddziaływania między ścianką przewodu i cieczą.

Spadek energii jest tym większy im większa jest powierzchnia
oddziaływania, a maleje ze wzrostem powierzchni przekroju
poprzecznego strugi. Uwzględniając to w zależności (6.6) na straty
naporu hydraulicznego otrzymamy

(6.30)

gdzie S jest powierzchnią poprzecznego przekroju strumienia, lz -
obwodem zwilżonym tego przekroju (rys. 6.9) zaś k- stałym
współczynnikiem. Stosunek S/Iz jest promieniem hydraulicznym

Pojęcie promienia hydraulicznego stosuje się zarówno do
przewodów całkowicie wypełnionych cieczą, jak i do przewodów
wypełnionych częściowo, zamkniętych i otwartych. Na rys. 6.10
pokazano przykłady przekrojów przepływów wraz z odpowiednimi
wartościami promieni hydraulicznych.

Rys. 6.10. Promień hydrauliczny dla różnych przekrojów przewodu

W przypadku rury o przekroju kołowym całkowicie wypełnionym
cieczą promień hydrauliczny

Współczynnik k występujący w zależności (6.30) jest więc tu równy
jest 4.

Z dostateczną dokładnością można przyjmować tę wartość
współczynnika dla innych przekrojów strumienia. Wobec tego
straty naporu dla przekrojów niekołowych można obliczać z
zależności

Przy określaniu liczby Reynoldsa jako długość charakterystyczną
należy przyjmować 4R

h

Ostatnie dwie zależności są wystarczająco dokładne dla
przekrojów „zbliżonych" do kołowego lub kwadratu. Przy
przekrojach prostokątnych o dużym stosunku boków oraz
przekrojach np. pierścieniowych należy posługiwać się
zależnościami wyznaczonymi specjalnie dla rozpatrywanych
przypadków.