TEMAT 6: PODSTAWY HYDRAULIKI

Zajęcia 2: Przepływ w przewodach

 

 

1. Przepływ laminarny w rurach o 

przekroju kołowym

Rozpatrzymy ustalony przepływ laminarny wzdłuż 
poziomej rury o stałym przekroju kołowym mającym 
promień R (rys.1). 

Rys.1. Schemat rury do wyznaczenia strat tarcia w rurze o przekroju 
kołowym

 

 

1.  Straty hydrauliczne

Straty naporu całkowitego 

h

str

 zwane stratami 

hydraulicznymi zależą od 

lepkości

 i 

prędkości cieczy

, a 

także od 

kszłatu

, 

wymiarów

 i 

szorstkości

 rurociągu.

Z doświadczeń wynika, ze w większości przypadków są 
one proporcjonalne do kwadratu prędkości średniej, czyli 
można napisać, ze:

Współczynnik proporcjonalności 



 (ksi) nazywa się 

współczynnikiem oporu

.

W zależności od przyczyn powodujących straty 
hydrauliczne dzielimy je na:

-    straty lokalne (miejscowe) h

m

,

-    strsty na tarcie h

T

.

(6.4.)

 

 

Straty lokalne --- 

 wywołane są, ściśle 

zlokalizowanymi zmianami kształtu oraz wielkości 
przekroju i kierunku strumienia wywołującymi lokalną 
zmianę prędkości (pędu strumienia), której towarzyszy na 
ogół powstawanie wirów. Straty takie zachodzą dla 
przykładu przy skokowej zmianie przekroju czy kierunku 
przepływu. Lokalny spadek naporu hydraulicznego określa 
się (zgodnie z 6.4) według wzoru:

gdzie  

m

 nazywa się współczynnikiem strat lokalnych.

 

Jeśli w najbliższym otoczeniu miejsca powstania strat 
lokalnych prędkość zmienia się wzdłuż przewodu, to przy 
wykorzystywaniu do obliczeń wzoru (6.5) najczęściej 
bierze się największą prędkość średnią.

(6.5.)

 

 

Straty tarcia

 --- spowodowane są nieodwracalnym 

żuzyciem części energii mechanicznej strumienia na 
pracę sił tarcia i zależą od prędkości przepływu i 
stosunku długości rury do średnicy jej przekroju 
wewnętrznego.

Współczynnik strat na tarcie 



 zależy od liczby Reynoldsa (będącej 

funkcją lepkości cieczy), oraz względnej szorstkości

gdzie s jest średnią wysokością szorstkości przewodu.

 

 

W celu wyznaczenia zależności na straty tarcia posłużymy 
się równaniem ciągłości i równaniem Naviera-Stokesa dla 
współrzędnych walcowych x,r, związanych z rura jak na 

rys. 1

Pominiemy działanie sił masowych i założymy, że os x 
jest osią symetrii przepływu, promieniowa i 
obwodowa składowa prędkości są równe zeru.

Zaś składowa

Po uwzględnieniu powyższych warunków z równania 
ciągłości (3.6) wynika, że:

 

 

czyli rozkład v

x

 jest stały wzdłuż długości rury, możemy 

więc tę prędkość oznaczać bez indeksu

Równania Naviera - Stokesa można sprowadzić do postaci:

Z ostatniej zależności wynika, że ciśnienie nie zależy od 
współrzędnej 

r

 a więc pochodna ciśnienia po 

x

 jest 

pochodną zwyczajną, pierwsze równanie (6.7) napiszemy 
więc następująco:

(6.7.)

(6.8.)

 

 

Lewa strona powyższej zależności nie zależy od x a więc 
i prawa także nie może zależeć od tej współrzędnej, czyli

co oznacza, że ciśnienie jest liniową funkcją 

x

. Zgodnie z rys. 1.

gdzie 

p = p

2

- p

1

 jest spadkiem ciśnienia na długości 

I

 

rury. Równanie (6.8) można napisać więc w postaci:

 

 

albo

Po obustronnym pomnożeniu równania przez 

r

 oraz 

wykonaniu całkowania otrzymamy zależność

którą po podzieleniu obustronnym przez 

r

 i ponownym 

scałkowaniu sprowadzimy do postaci

 

 

Stała 

C

1

 = 0

 ze względu na ograniczoność rozwiązania 

przy 

r = 0

, wartość 

C

2

 

wyznaczymy natomiast z warunku 

zerowania się prędkości na ściance  gdy 

r = R

.

Rys. 2. Rozkład prędkości 

v(r)

 i naprężeń stycznych 

(r)

 w laminarnym przepływie przez rurę o przekroju 

kołowym

 

 

Ostatecznie wyrażenie na rozkład prędkości przyjmie postać:

Wykresem rozkładu prędkości jest więc paraboloida 
obrotowa (rys; 2), w którym dla r = 0

Obliczymy wydatek oraz prędkość średnią w poprzecznym 
przekroju rury. Przez pierścieniowy element powierzchni 
dS o promieniu r i grubości dr przepływa w jednostce 
czasu objętość równa

(6.10.)

(6.9.)

 

 

Zaś przez cały przekrój S

Stąd prędkość średnia

(6.12.)

Z 6.10. i 6.12. wynika

?

 

 

Naprężenia styczne wyznaczymy wykorzystując prawo 
tarcia Newtona (1.6) oraz zależność (6.9)

Rozkład naprężeń jest liniową funkcją r (rys.3). 
Największe co do wartości naprężenia działają przy 
ściance i są równe

a po wykorzystaniu (6.12)

 

 

Wniosek --- w przepływie  laminarnym  spadek 
ciśnienia w rurze o długości I i średnicy d jest wprost 
proporcjonalny do współczynnika lepkości cieczy, 
długości rury i prędkości średniej, a odwrotnie 
proporcjonalny do kwadratu średnicy przekroju.

a po wykorzystaniu (6.12)

 

 

Przepływy turbulentne w rurach kołowych

W warstwie turbulentnej wyszczególniono subwarstwę 
laminarną i strefę turbulentną. Z uwagi na określone 
relacje między przepływem w jednej i drugiej strefie 
wynikające z lokalnego stosunku sił bezwładności do sił 
lepkości istnieje duże podobieństwo (jak można dalej 
zauważyć) między turbulentną warstwą przyścienną na 
gładkiej płaskiej płytce i przepływem turbulentnym w 
rurze kołowej o gładkiej ściance.
W przypadku przepływu w rurze cały obszar można 
podzielić na dwie części: 
-cienką warstwę w pobliżu ścianki, gdzie na skutek 
dużego wpływu sił lepkości przepływ jest laminarny; 
jest to subwarstwa laminarna, 
-obszar przepływu turbulentnego tzw. jądro 
turbulentne. W wyniku intensywnej wymiany pędu 
między cząsteczkami rozkład prędkości głównej 
(uśrednionej w czasie) w jądrze turbulentnym zbliżony 
jest do jednorodnego.

 

 

Rys. 4. Rozkład prędkości w turbulentnym przepływie w rurze

Prandtl i niezależnie od niego Karman wyprowadzili następującą 
zależność na rozkład prędkości (rys. 4)

 

 

Dla większych wartości liczb Reynoldsa ustalono doświadczalnie   bardziej 
ogólną zależność

gdzie n = n(Re) przy czym dla większych liczb Re wartość n jest większa. 
W pobliżu ścianki, gdzie nie mogą istnieć oscylacje prędkości o składowej 
prostopadłej do ścianki, tzn. w subwarstwie laminarnej, rozkład prędkości 
jest w przybliżeniu liniowy

gdzie h jest grubością subwarstwy, zaś 

v

h

 jest prędkością na granicy 

subwarstwy laminarnej i jądra turbulentnego.
Podobnie jak w turbulentnej warstwie przyściennej liczba Reynoldsa 
odniesiona do prędkości 

v

h

 

i długości h jest wielkością stałą niezależną 

od średniej prędkości przepływu w rurze.

 

 

Grubość subwarstwy laminarnej rośnie ze wzrostem prędkości w 
rurze.

Rys. 5. Przekrój ścianki rury z a) szorstkością piaskową „kalibrowaną", b) z 
szorstkością              normalną

 

 

Występujący w równaniu Bernoulliego współczynnik Corioiisa jest dla 
turbulentnego przepływu w rurze w przybliżeniu równy jedności   1.

Badania nad wpływem szorstkości na straty tarcia przeprowadził Nikuradse 
dla różnej wartości tzw. względnej szorstkości piaskowej s/R.   
W doświadczeniach swych uzyskał on równomierną szorstkość pokrywając 
wewnętrzną powierzchnię rury „kalibrowanymi" ziarnkami piasku (rys. 5). Do 
badań użył rur mających szorstkość względną s/R = 1/500 + 1/15; uzyskane 
liczby Reynoldsa osiągały wartość 1000.000. Wyniki badań przedstawiono na 
rys (6.9) w postaci krzywych we współrzędnych logarytmicznych.
Parametrem poszczególnych linii 

{Re) jest szorstkość względna s/R, która 

wpływa na wielkość współczynnika strat tylko w przepływach turbulentnych. 
W zakresie przepływów laminamych (Re < 2300) nie obserwuje się zmiany 
wartości tego współczynnika przy zmianie szorstkości (

 =64/Re). Każdą linię 

można podzielić na pięć zakresów zaznaczonych na rysunku.

 

 

 

 

Zakres I

 odpowiada przepływowi laminarnemu i jest 

ograniczony krytyczną liczbą Reynoldsa (Re

kr

 = 2300). W tym 

zakresie współczynnik strat tarcia nie zależy od szorstkości i 
można go określić z dostateczną dokładnością w oparciu o wzór 
wyprowadzony w par. 6.3.

Straty naporu 

na

 tarcie h

T

 zależą w tym przypadku liniowo od 

średniej prędkości v

śr

 przepływu (6.18).

Zakres // 

jest tzw. strefa przejścia, ponieważ odpowiada przejściu 

przepływu laminarnego w turbulentny przy wzroście prędkości i 
odwrotnie - przy spadku. Zakres ten jest bardzo mały - praktycznie 
pomijalny.

Zakres III

 dotyczy strat przy turbulentnym przepływie w rurach 

gładkich. 

Linia 

 (Re) nie zależy od szorstkości. Teoretyczną zależność 

współczynnika strat od liczby Reynoldsa w tym zakresie wyznaczył 
Blasius i ma ona postać: 

 

 

Wzór ten stosuje się dla rur gładkich, gdy Re < 50 000. Powyższą 
zależność stosuje się także dla rur szorstkich gdy wysokość 
szorstkości jest mała w porównaniu z grubością subwarstwy 
laminarnej, tj. gdy rura jest „hydraulicznie gładka". Ze wzrostem 
szorstkości III zakres maleje. W obszarze tym straty h

T 

są 

proporcjonalne do v

śr

1,75

. 

Zakres IV

  obejmuje zależność współczynnika strat tarcia 



 = 

 

(

Re, s;/R). W tym zakresie wysokość szorstkości jest porównywalna z 

grubością subwarstwy laminarnej. Nierówności ścianki przy wzroście 
Re mają coraz większy wpływ na rozkład prędkości w jądrze 
turbulentnym a tym samym i na naprężenia styczne.
Do wyznaczenia współczynnika strat w tym zakresie stosuje się 
między innymi empiryczny wzór Misesa

 

 

gdzie R jest wewnętrznym promieniem rury, zaś K jest liczbą o 
wymiarze długości charakteryzującą szorstkość ścian; przyjmuje 
się ją dla przykładu:
          - dla rur szklanych

    K = (0.2  0.8) 10

-8

 m,

          - dla rur żeliwnych nowych    K = (1 

 

 2) 10

-6

 m, 

          - dla rur żeliwnych starych K=(2.5 



 5) 10

-6 

m. 

W zakresie IV straty są proporcjonalne do v

śr 

1,75 

 

2

 . 

Zakres V charakteryzuje się tym, że współczynnik strat nie zależy 
od liczby Reynoldsa; jest tylko funkcją względnej szorstkości.
 Z tego wynika, że straty naporu są proporcjonalne do v

2

śr

. Do 

obliczenia współczynnika 



, można stosować wzór podany przez 

Nikuradsego mający postać 

 

 

Szorstkość powierzchni rurociągów z jakimi mamy do czynienia w 
technice, nie jest tak równomiernie „skalibrowana" jak rury 
Nikuradsego. Dlatego przedstawiony powyżej wykres nie zawsze 
jest przydatny do celów praktycznych, szczególnie dla dużych 
szorstkości względnych. Opisane powyżej wyniki doświadczenia 
mają jednak duże znaczenie dla poznania charakteru zjawisk 
wywołanych szorstkością. 

 

 

Przepływy w rurach o przekroju niekołowym, 

promień hydrauliczny

. 

Podane wyżej zależności dla rur o przekroju kołowym oraz wykres 
Nikuradsego można zastosować także do przepływów w 
przewodach niekołowych. Wykorzystuje się wtedy tzw. promień 
hydrauliczny umożliwiający uwzględnienie strat energii 
pochodzących od naprężeń stycznych wynikających z 
oddziaływania między ścianką przewodu i cieczą. 

Spadek energii jest tym większy im większa jest powierzchnia 
oddziaływania, a maleje ze wzrostem powierzchni przekroju 
poprzecznego strugi. Uwzględniając to w zależności (6.6) na straty 
naporu hydraulicznego otrzymamy

(6.30)

 

 

gdzie S jest powierzchnią poprzecznego przekroju strumienia, lz - 
obwodem zwilżonym tego przekroju (rys. 6.9) zaś k- stałym 
współczynnikiem. Stosunek S/Iz jest promieniem hydraulicznym 

Pojęcie promienia hydraulicznego stosuje się zarówno do 
przewodów całkowicie wypełnionych cieczą, jak i do przewodów 
wypełnionych częściowo, zamkniętych i otwartych. Na rys. 6.10 
pokazano przykłady przekrojów przepływów wraz z odpowiednimi 
wartościami promieni hydraulicznych.

 

 

Rys. 6.10. Promień hydrauliczny dla różnych przekrojów przewodu 

W przypadku rury o przekroju kołowym całkowicie wypełnionym 
cieczą promień hydrauliczny

 

 

Współczynnik k występujący w zależności (6.30) jest więc tu równy 
jest 4. 

Z dostateczną dokładnością można przyjmować tę wartość 
współczynnika dla innych przekrojów strumienia. Wobec tego 
straty naporu dla przekrojów niekołowych można obliczać z 
zależności

Przy określaniu liczby Reynoldsa jako długość charakterystyczną 
należy przyjmować 4R

h

Ostatnie dwie zależności są wystarczająco dokładne dla 
przekrojów „zbliżonych" do kołowego lub kwadratu. Przy 
przekrojach prostokątnych o dużym stosunku boków oraz 
przekrojach np. pierścieniowych należy posługiwać się 
zależnościami wyznaczonymi specjalnie dla rozpatrywanych 
przypadków.