Reinhard Kulessa

1

Wykład 23

18.6 Rezonans równoległy (napięciowy)

18.7 Układ RLC – Drgania tłumione

19. Równania Maxwella

20.Fale elektromagnetyczne

20.1 Równanie falowe

Reinhard Kulessa

2

18.6 Rezonans równoległy (napięciowy)

 = V

0

e

it



R

L

C

I

C

I

L

I

Zespolona wartość natężenia prądu
będzie wynosiła





































































)

1

(

1

)

(

2

2

2

2

2

2

1

L

C

i

L

R

R

L

R

L

i

R

C

i

L

i

R

C

i

t

























Zakładając, że mamy do czynienia ze słabym
tłumieniem, możemy pominąć R

2

w stosunku do



2

L

2.

Reinhard Kulessa

3

Diagram impedancji dla 1/Z wygląda następująco:

R/

2

L

2

-i/L

iC

Z

-1



Z podanego na poprzedniej
stronie
Równania otrzymujemy na
rzeczywiste wartości
natężenia prądu i
przesunięcie fazowe
wartości:

2

2

2

2

2

2

0

0

/

)

1

(

)

cos(

)

1

(

)

(

)

cos(

|

1

|

)

(

L

R

L

C

tg

t

L

C

L

R

V

t

V

t

I













































(18.17)

Rezonans zachodzi wtedy
gdy

1

2



LC

r



Reinhard Kulessa

4

Dla częstości rezonansowej zachodzi:

.

1 =0,

2. |1/Z| = R/(

r

L)

2  min.,

3.

C

L

Q

V

L

L

R

V

I

r

r

r

0

0

1









I()

L

C

Q

V

0



r



V

0

/R

Możemy jeszcze podać wartości
dla prądów częściowych:

t

L

V

e

L

V

L

i

t

C

V

e

C

V

C

i

r

r

t

i

r

r

L

r

r

t

i

r

r

c

r

r





























sin

1

sin

0

)

2

/

(

0

0

)

2

/

(

0











































Widzimy, że I

0C

=I

0L

, ale I

C

+I

L

=0 dla rezonansu.

Reinhard Kulessa

5

18.7 Układ RLC – Drgania tłumione

Mamy obwód szeregowo połączonych R-L-C z
naładowanym kondensatorem. Ponieważ nie
przykładamy napięcia zmiennego, nie ma
zastosowania rachunek na liczbach zespolonych.

R

L

C

I

+

-

Możemy napisać:

dt

d

C

Q

IR

dt

dI

L

V

V

V

R

C

L

/

0

0













0

1

2

2









I

LC

dt

dI

L

R

dt

I

d

(18.18)

Reinhard Kulessa

6

Jest to równanie typu
tłumionego oscylatora harmonicznego.
Rozwiązanie tego równania dla słabego tłumienia

(1/LC) > (R

2

/4L

2

)

jest następujące:

0







x

x

x

m









2

2

0

2

1

cos

)

(

























L

R

LC

t

e

I

t

I

t

t

t

L

R





(18.19)

I(t)

t

Rozwiązanie to
zawiera
również przypadek
nieperiodyczny czyli
eksponencjalny zanik
natężenia prądu.

Reinhard Kulessa

7

Wtedy gdy

(1/LC) >> (R

2

/4L

2

)

częstość

LC

1

0





Jest równa częstości własnej nie tłumionego
obwodu.

Rozważmy co dzieje się z natężeniem pola elektrycznego E i
indukcją magnetyczną B.

Reinhard Kulessa

8

- - - -

+ + +
+

R

L

C

E

B=0

R

L

C

E=0

B0

1.

2.

Dla chwili t=0 istnieje tylko
pole E w kondensatorze.

Po zamknięciu klucza
zaczyna płynąć prąd
rozładowujący
kondensator.
Wytwarza on pole B
cewce L,
przy czym E w
kondensatorze znika.

Reinhard Kulessa

9

- - - -

+ + +
+

R

L

C

E0

B=0

R

L

C

E=0

B0

3.

4.

Płynący przez cewkę prąd
stopniowo zanika, lecz w
sumie ładuje on
kondensator przeciwnie
niż na początku. Znów
mamy pole E różne od
zera i równe zeru pole
indukcji B.

I znów kondensator się
rozładowuje tworząc pole
B i likwidując pole E, itd..

Reinhard Kulessa

10

Wiemy, że pole istnieje nie tylko w pobliżu źródeł
pola, ale jest
obserwowane na dużych odległościach. Z
poprzednich rozważań widać, że jest to pole
zmienne w czasie, czyli drgające w ten sposób, że
zmiana pola elektrycznego E generuje zmianę pola
indukcji B. Drganie te zgodnie z teorią względności
mogą rozchodzić się nie szybciej niż z prędkością
światła. Tworzą one
tzw. falę elektromagnetyczną. Istnienie fal
elektromagnetycznych zostało przewidziane już
przez Maxwell.
Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella.

19. Równania Maxwella

Równania te podamy tak, jak były one podane do
tej pory na wykładzie, w postaci różniczkowej i
całkowej.
Równania Maxwella podaliśmy w oparciu o tzw.

równania materiałowe.

Reinhard Kulessa

11

E

j

H

B

E

D





























0

0

(19.1)

Same równania Maxwella mają następującą postać















































































A

A

A

A

A

A

A

d

B

B

div

Q

A

d

E

E

div

A

d

B

t

l

d

E

A

d

E

rot

t

B

E

rot

A

d

D

t

A

d

j

l

d

H

t

D

j

H

rot

0

0

0

0





















































Postać

różniczkowa

Postać całkowa

Nazwa odpow.

prawa

I

II

III

IV

Prawo Ampera

Prawo indukcji

Faradaya

Prawo
Coulomba
Prawo Gaussa
(E) Prawo

Gaussa dla

Pola magn.

(19.2)

(19.4
)

(19.3)

(19.6)

Reinhard Kulessa

12

Korzystając z równań materiałowych możemy I równanie Maxwella
napisać w następującej postaci:































A

A

A

d

E

t

c

A

d

j

c

l

d

B

t

E

c

j

c

B

rot



















2

2

0

2

2

0

1

1

1

1





Ia

(19.6)

W równaniach tych wykorzystaliśmy zależność:

2

2

7

7

0

0

1

)

4

10

(

)

10

4

(

c

m

V

s

A

c

m

A

s

V





























Do kompletu należy jeszcze dodać równanie ciągłości









d

dt

d

A

d

j

t

j

div

A























(19.7)

Reinhard Kulessa

13

Podajmy jeszcze postać równań Maxwella
wyrażoną przez skalarny i wektorowy potencjał
pola.

t

A

E

A

B

































(19.8)

Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy:
.



grad

E 





W drugim równaniu Maxwella mamy

t

B

E

rot













.

Podstawiając do tego równania wartość wektora B z
równania (19.8) mamy:

Reinhard Kulessa

14

)

(

A

t

E

























, co możemy zapisać jako

0

















A

t

E









, lub

0

)

(













A

t

E







.

Możemy więc twierdzić, że wyrażenie w nawiasie w
ostatnim wzorze jest gradientem funkcji skalarnej,





















t

A

E

czyli

t

A

E





















.

Otrzymaliśmy więc podane we wzorze

(19.8)

wyrażenie.

(19.9)

Reinhard Kulessa

15

Możemy więc napisać III równanie Maxwella
następująco:

0



































t

A







lub

0

2

)

(























A

t





(19.10)

.

Równanie Maxwella Ia możemy napisać
następująco:

0

2

)

(



j

t

E

B

c





















Korzystając z równania (19.9) , otrzymujemy:

c





























0

2

)

(

)

(

(





j

t

A

t

A

c













Reinhard Kulessa

16

0

2

2

2

2

2

)

(





j

A

t

t

A

c

A

c









































(19.11)

Równania (19.10) i (19.11) wydają się być zupełnie
różne i skomplikowane. Możemy jednak skorzystać z
dowolności do dania do potencjału wektorowego A
gradientu pewnej funkcji. Zapisywaliśmy to w
elektrostatyce stosując specyficzny warunek dla
uproszczenia równań;

0









A

A

div







.

Zastosujmy teraz następujący warunek:

t

c

A















2

1





(19.12)

Wówczas równanie

(19.10)

przechodzi w równanie:

0

2

2

2

2

1





















t

c

(19.13)

,

Reinhard Kulessa

17

a równanie (19.11) przyjmuje postać:

2

0

2

2

2

2

1

c

j

t

A

c

A





















(19.14)

Dwa ostatnie równania są

równaniami Maxwella

wyrażonymi
przez potencjał skalarny  i potencjał wektorowy

A.

Operator











2

2

2

2

1

t

c

nazywamy operatorem
D’Alamberta.

c

j

A

0

0





















(19.15)

(19.16)

Reinhard Kulessa

18

Można pokazać, że zarówno  jak i A można policzyć znając

rozkład ładunków i prądów, oraz ich zależności czasowe.

2

12

12

0

2

12

12

0

)

/

,

2

(

4

1

)

,

1

(

)

/

,

2

(

4

1

)

,

1

(













d

r

c

r

t

j

t

A

d

r

c

r

t

t

















(19.17)

Z wzorów tych widać, że pole w punkcie (1), zależy od rozkładu
ładunków i prądów w punkcie (2) w chwili (t-r

12

/c).

Informacja o tych rozkładach może dotrzeć do punktu (1) dopiero
po czasie (r

12

/c)