18 marca 2003

Reinhard Kulessa

1

Wykład
9

7. Pojemność
elektryczna

7.1 Pole nieskończonej naładowanej
warstwy

x

z

y

+


E

1

dS

1

S

1

E

2

dS

2

S

2

-ładunek

powierzchniow
y

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

2

Natężenie pola elektrycznego pochodzące od
nieskończonej naładowanej warstwy możemy
wyznaczyć dwoma sposobami, metodą superpozycji,
oraz w oparciu o prawo Gaussa.

Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień
jest równy

0





Q



Linie natężenia pola elektrycznego są prostopadłe
do naładowanej płaszczyzny, wobec tego całkowity
strumień wynosi:

)

(

2

2

1

1











S

S

d

E

S

d

E











Widzimy z
rysunku, że

2

1

2

1

,

E

E

S

d

S

d

















Całkowity strumień jest więc
równy:

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

3

0

0

2









S

Q

S

E











Czyli:

0

2







E



Pole pochodzące od tej warstwy wygląda
następująco:

y

z

0

0

ˆ

2

y

E









0

0

ˆ

2

y

E











18 marca 2003

Reinhard Kulessa

4

7.2 Pole między dwoma nałądowanymi
warstwami + i -

Zastanówmy się jaka jest wartość pola pomiędzy
dwoma przeciwnie naładowanymi warstwami.

+

-

0

2





0

2





0

2





0

2





y

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

5

7.3 Kondensator
płaski

+Q

-Q

Eˆ

Zajmijmy się układem dwóch płasko-równoległych
przewodników

(elektrod) o powierzchni

S

położonych w odległości

d

od siebie. Elektrody są

naładowane odpowiednio ładunkami

+Q i –Q.

Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim.

d

S

Gęstość
powierzchnio
wa ładunku
wynosi:

 = Q/S

Pole wewnątrz elektrod z pominięciem efektów
brzegowych jest jednorodne.

Niech różnica potencjałów pomiędzy elektrodami

wynosi

V.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

6

Oznaczmy tą różnicę
przez

)

(

2

)

(

1









V

V

V

.

Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem
pola elektrycznego

r. (5.9)

otrzymujemy, że:

d

V

d

V

V

E











)

(

2

)

(

1

Widzimy

więc,

że:

d

E

V





,

a korzystając z

obliczonej

poprzednio wartości natężenia pola

elektrycznego pomiędzy dwoma naładowanymi
płaszczyznami otrzymujemy

:

S

d

Q

V







0



(7.1)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

7

Wprowadźmy pojęcie pojemności kondensatora

jako współczynnika we wzorze:

V

C

Q





Pojemność kondensatora płaskiego
wynosi więc:

d

S

C





0



(7.2)

(7.3)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

8

7.4 Kondensator kulisty

Rozpatrzmy układ dwóch współśrodkowych czasz
kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami
+Q i –Q.

-Q

+
Q r

1

r

2

E

d
S

Pole elektryczne dla
takiego układu jest polem
radialnym, więc

)

(r

E

E







Policzmy strumień pola
elektrycznego
przechodzącego przez
powierzchnię kuli w
środku

„0”

i promieniu

R

2

1

r

R

r





.

E

R

S

d

E

S

d

E











2

4









R

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

9

Z prawa Gaussa
otrzymamy:

2

0

0

2

4

4

R

Q

E

Q

E

R













dla dowolnego R z podanego poprzednio
przedziału.

Różnica potencjałów

V=V

1

– V

2

wartość:

2

1

1

2

0

0

2

0

4

1

4

4

2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

Q

r

Q

r

dr

Q

dr

E

V

r

r

r

r

r

r

r

















 



























Zgodnie z wzorem

(7.2)

otrzymujemy na pojemność

kondensatora złożonego z dwóch czasz kulistych
wyrażenie:

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

10

1

2

2

1

0

4

r

r

r

r

C









(7.4)

Z wyrażenia tego widać, że gdy

pojemność kondensatora kulistego, inaczej
mówiąc pojemność przewodnika będącego kulą
jest równa:





2

r

1

0

4

r

C







Jednostką pojemności w układzie SI jest
FARAD.





2

4

1

2

1

1

1

1

A

s

kg

m

V

C

F









Pojemność kuli ziemskiej, R~6.4 10

6

m, C = 710

F, a kula o pojemności 1F ma promień 9 10

6

km.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

11

Pow.

+Q

-Q

a

b

l

r

7.5 Kondensator
cylindryczny.

Kondensator cylindryczny składa się z dwóch
współśrodkowych cylindrów o p promieniach a i b.

Stosując Prawa
Gaussa dla
dowolnej
odległości r od
środka walców
otrzymujemy, że

0

2





Q

rl

E





Na wartość potencjału otrzymamy więc
wyrażenie:

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

12





















































a

b

l

Q

a

b

l

Q

b

a

l

Q

dr

r

l

Q

dr

rl

Q

Edr

V

a

b

a

b

a

b

ln

2

ln

ln

2

ln

ln

2

1

2

2

0

0

0

0

0



























a

b

l

V

Q

C

ln

2

0



Pojemność kondensatora cylindrycznego
wynosi więc:

(7.5)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

13

7.6 Łączenie kondensatorów
7.6.1 Połączenie równoległe

+Q

1

-Q

4

C

1

V

1

V

2

C

2

C

3

C

4

+Q

2

+Q

3

+Q

4

-Q

2

-Q

3

-Q

1

Potencjał

V = V

1

– V

2

jest taki sam na każdym

kondensatorze.

Ładunek, który znajduje się na każdym z
kondensatorów

V

C

Q

i

i





, a całkowity ładunek





i

i

Q

Q

.

Otrzymujemy więc













i i

i i

C

V

V

C

Q

. Czyli





i

i

C

C

(7.5)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

14

7.5.2 Połączenie
szeregowe

V

1

+Q

+Q

+Q

+Q

-Q

-Q

-Q

-Q

V

C

1

C

2

C

3

C

4

V

2

V

3

V

4

Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych
szeregowo są jednakowe. Całkowita różnica
potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów
między okładkami poszczególnych kondensatorów
.





i i

V

V

i

i

C

Q

V 

Wiemy, że
czyli







1

/

1

i

C

Q

V

.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

15

Otrzymujemy więc





i

i

C

C

1

1

(7.6)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

16

7.6 Ziemia jako kondensator
kulisty

Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo
obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na
Ziemi zachodzi szereg zjawisk charakterystycznych
dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim
wyładowania atmosferyczne w czasie burz, ale jak
jest w czasie gdy nie ma burz.
Okazuje się, że

w atmosferze istnieje pionowe pole

elektryczne

o natężeniu E ~ 100V/m. Co 1 m

wysokości potencjał wzrasta o
100 V.

Ładunek Ziemi jest ujemny.

Warunkiem istnienia pola jest:

1. Obecność jonów w atmosferze,

2. Rozdzielenie istniejących ładunków przez

jakiś mechanizm.

Ad. 1. Przypuszczano, że obecność jonów w
atmosferze związana jest z naturalna
promieniotwórczością. Wtedy liczba

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

17

jonów powinna być największa przy powierzchni
Ziemi. Stwierdzono jednak, że liczba jonów rośnie z
wysokością i osiąga maksimum na wysokości
powyżej 50 km, na wysokości gdzie rozciąga się
tzw. jonosfera.

Jonizacja jest wywoływana przez

promieniowanie kosmiczne.

Ad 2. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał
powietrza jest dodatni.

+ + + + + + + + + +

50 km

400000
V

Prąd
10

-2

jonu/(s m

2)

Stale więc
płynie prąd
ładunków
dodatnich z
atmosfery do
Ziemi.

Całkowity prąd
ma moc ok. 700
MW

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

18

Taki prąd powinien w ciągu 0.5 godz. wyrównać
różnicę ładunków.

Aby dać odpowiedź na pytanie jaki mechanizm
dostarcza ujemnych ładunków powierzchni Ziemi
wykonano w różnych miejscach pomiarów zmiany
potencjałów i prądów. Wybierano zwykle pogodne
dni nad oceanami. Pogodne dni wybierano aby
uniknąć wpływu burz na pomiary, a oceany miały
osłabić procesy jonizacji zwykle silniejsze nad
kontynentami. W wyniku tych pomiarów
stwierdzono że:

średni

gradient potencjału zmienia się o ±15% wraz
ze zmianą czasu uniwersalnego.

V/cm

100

90

6

12

18

24

Godz.
(Greenwich)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

19

Świadczy to o
tym, że:

a) Na dużych wysokościach istnieje

duże

przewodnictwo poziome,

wobec tego różnica

potencjałów między jonosferą a Ziemią nie
zmienia się.

b) Istnieje mechanizm ładowania Ziemi

ładunkiem ujemnym

ze średnim prądem 1800 A.

Odpowiedzialne za to są burze, głównie

tropikalne, a rozładowanie następuje w
okresie ładnej pogody.

(Patrz Feynmann t.II cz.I § 9-4 na temat mechanizmów
powstawania burz na Ziemi)

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

20

8. Materia w polu
elektrycznym

Na każdy ładunek umieszczonej w polu
elektrycznym materii działa siła wynikająca z
prawa Coulomba. Ze względu na różną ruchliwość
ładunków w różnych materiałach można
zaobserwować następujące zjawiska:

a). W przewodniku ruchliwe elektrony zostają
przesunięte w stosunku do dodatnich
atomów, co daje rozdzielenie ładunków
dodatnich od ujemnych, czyli tzw.

zjawisko

indukcji.

b). W izolatorach nośniki ładunku zostają
przesunięte tylko nieznacznie, obserwujemy
tzw.

polaryzację.

Rozważmy przewodnik umieszczony w polu
elektrycznym. Znajdujące się w nim swobodne
elektrony będą przesuwały się w określonym
kierunku.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

21

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-
-
-
-
-
-
-

+
+
+
+
+
+
+

Eˆ

.

ˆ

Cond

E

Doprowadzi to do nagromadzenia się na ściankach
przewodnika tzw. ładunku indukcyjnego.

Ładunek

ten generuje wewnątrz przewodnika pole
elektryczne skierowane przeciwnie do pola
zewnętrznego.

Przesuwanie się ładunku trwa tak długo, aż
wypadkowe pole wewnątrz przewodnika osiągnie
wartość zero.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

22

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-
-
-
-
-
-
-

+
+
+
+
+
+
+

Eˆ

.

ˆ

Cond

E

ładunki
indukcyjne

Zastanówmy się teraz jak wygląda sytuacja, gdy w
polu elektrycznym umieścimy materiał nie
przewodzący ładunku.

Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa
ładunki wprowadzimy izolator, to maleje siła
kolumbowska działająca pomiędzy ładunkami.

18 marca 2003

Reinhard Kulessa

23

Omówmy ten problem na przykładzie kondensatora
płaskiego. C

1

C

2

powietrz
e

dielektr
yk

Po włożeniu dielektryka pomiędzy okładki
kondensatora płaskiego, na pewno nie zmienił się
ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak
wskazał elektroskop. Zgodnie ze wzorem

(7.2)

musiała wzrosnąć pojemność kondensatora.
Równocześnie

spadek potencjału na okładkach

oznacza spadek natężenie pola elektrycznego
wewnątrz okładek.

(cdn)