Wybrane twierdzenia 

pomocnicze

Wykłady z podstaw 
elektrotechniki i 
elektroniki

Paweł Jabłoński

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Co było do tej pory?



Pojęcia podstawowe: prąd, napięcie, 
rezystancja.



Elementy obwodu (rezystory, źródła 
napięcia, źródła prądu), struktura obwodu 
(gałęzie, węzły, oczka).



Prawa Kirchhoffa, prawo Ohma.



Redukcja układu połączeń rezystorów.



Metody ogólne analizy obwodów (równań 
Kirchhoffa, oczkowa, potencjałów 
węzłowych).

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Na tym wykładzie

Cel: poznanie wybranych twierdzeń pomocniczych 

ułatwiających analizę obwodów elektrycznych.

Zakres:



Zasada i metoda superpozycji



Twierdzenie Thevenina



Twierdzenie Nortona



Twierdzenia w włączaniu dodatkowych idealnych 

źródeł



Twierdzenie o kompensacji



Twierdzenie o wzajemności



Redukcja połączeń źródeł.

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Zasada superpozycji



W układzie fizycznym spełniona jest zasada 
superpozycji, jeżeli skutek działania sumy przyczyn 
(źródeł, wymuszeń) jest taki sam jak suma skutków 
wywołanych przez każdą z przyczyn oddzielnie. 



Nazwa „superpozycja” pochodzi z łaciny i oznacza 
„nakładanie” (superponere = super + ponere = nad 
+ kłaść = nakładać).



Zasada superpozycji pozwala zastąpić 
skomplikowane oddziaływanie sumą oddziaływań 
prostszych (łatwiejszych lub wygodniejszych do 
analizy).



Zasada superpozycji dotyczy dowolnych układów 
fizycznych (nie tylko obwodów elektrycznych).

1

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Przykład

Rozpatrzmy obwód z dwoma źródłami napięcia 

E

1

 i 

E

2

 

(tj. przyczynami przepływu prądu). Prąd (tj. skutek) 
wynosi

Możemy to przedstawić jako

Prąd I (skutek) jest więc sumą dwóch prądów I′ i I″ 

(skutków). Pierwszy z nich jest wywołany jedynie 
przez źródło E

1

 (przyczynę pierwszą), a drugi – przez 

źródło E

2

 (przyczynę drugą).

R

E

E

I

2

1





I

E

1

E

2

R

I

I

R

E

R

E

I















2

1

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Przykład – c.d.

Zauważmy, że prąd I′ popłynie w 

obwodzie zawierającym tylko 

E

1

, 

zaś prąd I″ popłynie w obwodzie 
zawierającym tylko 

E

2

. 

Obwód oryginalny powstaje w 

wyniku nałożenia jeden na drugi 
obwodów z poszczególnymi 
źródłami.

Stąd nazwa „nakładanie” czyli 

„superpozycja”.

I′

E

1

R

I″

E

2

R

I = 

I′

 + 

I″

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Metoda superpozycji



Metoda superpozycji rozwiązywania 
obwodów elektrycznych polega na 
zastosowaniu zasady superpozycji.



Obwód z wieloma (n) źródłami napięcia lub 
prądu rozkłada się na n obwodów, z których 
w każdym znajduje się tylko jedno źródło.



Zaleta: obwód z jednym źródłem rozwiązuje 
się często znacznie szybciej i łatwiej.



Wada: trzeba rozwiązać n obwodów zamiast 
jednego.  

2

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

Tok postępowania

1.

Strzałkujemy dowolnie prądy.

2.

Obwód rozkładamy na tyle 

obwodów, ile jest źródeł 

napięcia i prądu, 

pozostawiając w każdym 

obwodzie wszystkie 

rezystancje, ale tylko jedno 

źródło.

Uwaga: przy usuwaniu źródęł ich 

rezystancję pozostawiamy, 

tzn.

–

idealne źródła napięciowe 

zwieramy, gdyż R

w

 = 0,

–

 idealne źródła prądowe – 

rozwieramy, gdyż R

w

 = ∞.

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

E

6

R

1

R

2

R

3

R

6

E

4

R

1

R

2

R

3

R

6

E

1

R

1

R

2

R

3

R

6

Tok postępowania

Metoda superpozycji

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

IV

1

I

IV

2

I

IV

3

I

IV

6

I

IV

5

I

IV

4

I‴

1

I‴

2

I‴

3

I‴

6

I‴

5

I‴

4

I′

1

I′

2

I′

3

I′

6

I′

4

I′

5

I″

1

I″

2

I″

3

I″

6

I″

4

I″

5

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

10

Tok postępowania

3.

Każdy z obwodów cząstkowych rozwiązujemy dowolną 

metodą.

4.

Obliczamy wypadkowe prądy gałęziowe jako sumę 

przyczynków od poszczególnych źródeł: I = I′ + I″ + I‴ + ... .

Wskazówki: 



Do rozwiązania obwodów cząstkowych warto wykorzystać:

–

redukcję połączeń rezystorów, 

–

wzór na prąd w obwodzie nierozgałęzionym, 

–

dzielnik napięcia i prądu, 

–

zamianę rzeczywistego źródła napięcia w rzeczywiste źródło 

prądu i odwrotnie, 



Nie opłaca się natomiast stosować:

–

metody równań Kirchhoffa, 

–

metody prądów oczkowych,

–

metody potencjałów węzłowych.

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

11

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

E

6

R

1

R

2

R

3

R

6

E

4

R

1

R

2

R

3

R

6

E

1

R

1

R

2

R

3

R

6

Tok postępowania

Metoda superpozycji

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

IV

1

I

IV

2

I

IV

3

I

IV

6

I

IV

5

I

IV

4

I‴

1

I‴

2

I‴

3

I‴

6

I‴

5

I‴

4

I′

1

I′

2

I′

3

I′

6

I′

4

I′

5

I″

1

I″

2

I″

3

I″

6

I″

4

I″

5

I

1

 = 

I′

1

 + 

I″

1

 + 

I‴

1

 + 

I

IV

1

I

6

 = 

I′

6

 + 

I″

6

 + 

I‴

6

 + 

I

IV

6

…

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

12

Przykład



Wyznaczyć rozpływ prądów metodą 
superpozycji.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

13

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

1

I

2

I

3

1 Ω

2 Ω

3 Ω

18 V

I′

1

I′

2

I′

3

Przykład – c.d.

A

5

,

4

3

1

18

0

3

1

2

















I

I

I

A

5

,

0

4

2

3

1

1

2

A

5

,

1

4

6

3

1

3

2

A

2

3

1

2































I

I

I

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

1

I

2

I

3

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

I″

1

I″

2

I″

3

A

5

5

,

0

5

,

4

)

2

0

(

A

2

A

3

5

,

1

5

,

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1











































I

I

I

I

I

I

I

I

I

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

14

Uzasadnienie metody 

superpozycji



Obwody elektryczne opisane są równaniami liniowymi, tzn. 
związek między prądami a wymuszeniami (napięciami i 
prądami źródłowymi) można wyrazić w postaci

gdzie współczynniki a

ij

 oraz b

ij

 nie zależą od prądów i 

wymuszeń, a jedynie od struktury obwodu.



Po rozwiązaniu (pomnożeniu przez macierz odwrotną [a

ij

]

−1

)



































































































1

23

13

2

22

12

1

21

11

2

1

J

U

c

c

E

c

c

E

c

c

I

I

































































































































1

23

13

2

22

12

1

21

11

2

1

22

21

12

11

J

U

b

b

E

b

b

E

b

b

I

I

a

a

a

a

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

15

Uzasadnienie metody 

superpozycji



Oznaczając

mamy



Z powyższego wynika, że:

–

prądy I

(j)i

 wywołane są jedynie przez j-te źródło i płyną 

niezależnie od obecności innych źródeł. 

–

prądy wypadkowe I

i

 są sumami prądów cząstkowych I

(j)i

.

1

23

13

2

1

2

22

12

2

1

1

21

11

2

1

J

U

c

c

I

I

E

c

c

I

I

E

c

c

I

I













































































































































































































































































2

1

2

1

2

1

2

1

I

I

I

I

I

I

I

I

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

16

Zakres zastosowania



Metodę superpozycji można stosować tylko w 
obwodach liniowych, gdyż tylko wtedy równania 
są liniowe i spełniona jest zasada superpozycji.



Metody superpozycji nie wolno stosować w 
obwodach nieliniowych (o których już wkrótce).



Metoda superpozycji jest podstawą wielu innych 
metod (np. metody oczkowej – prąd gałęziowy 
jest superpozycją prądów oczkowych).



Metoda superpozycji jest stosowana szeroko nie 
tylko w elektrotechnice, ale w innych naukach, 
zwłaszcza ścisłych.

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

17

Dwójnik aktywny jako rzecz. źr. 

napięcia



Pokażemy, że dwójnik aktywny 
można zastąpić równoważnym 
dwójnikiem w postaci rzeczywistego 
źródła napięcia 
o SEM E

0

 i rezystancji R

w

.



Jest to bardzo pomocne twierdzenie 
(zwane tw. Thevenina lub tw. o 
zastępczym źródle napięcia), 
gdyż niezwykle ułatwia analizę (a 
także syntezę) obwodów.



Wyznaczmy E

0

 i R

w

, ale najpierw 

wprowadzimy pomocnicze 
twierdzenie.

Dwójnik

aktywny

R

w

E

0

3

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

18

Dwa przeciwsobne idealne źr. 

napięcia



Jeżeli dwa jednakowe idealne źródła 
napięcia o SEM równej E połączymy 
szeregowo przeciwsobnie, to wypadkowe 
napięcie wyniesie



Wniosek: rozpatrywane połączenie jest 
równoważne zwarciu.



Odwrotnie – bezoporowe połączenie można 
uważać za przeciwsobne połączenie dwóch 
jednakowych idealnych źródeł napięcia, przy 
czym ich SEM E jest zupełnie dowolna.

0







E

E

U

AB

E

E

A

B

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

19

Włączanie idealnych źródeł 

napięcia



Wniosek

Rozpływ prądów i rozkład 
napięć w obwodzie nie 
ulegnie zmianie, jeżeli w 
dowolny punkt dowolnej 
gałęzi obwodu włączymy 
przeciwsobnie dwa 
jednakowe idealne źródła 
napięcia, przy czym ich 
napięcie źródłowe E może 
być obrane dowolnie.

E

E

Reszta 

obwodu

Reszta 

obwodu

Fragment 

dowolnej 

gałęzi

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

20

Dwójnik aktywny w stanie 

jałowym



Rozważmy dwójnik aktywny 
(układ zawierający elementy 
źródłowe i mający 
wyprowadzone dwa zaciski).



Niech napięcie na zaciskach 
dwójnika w stanie jałowym 
wynosi U

0

.



Napięcie to można zmierzyć 
woltomierzem.

Dwójnik

aktywny

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

A

B

V

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

21

Dwójnik aktywny w stanie 

obciążenia



Jeżeli obciążymy ten 
dwójnik rezystorem R, to 
popłynie pewien prąd I. 



Prąd ten nie ulegnie 
zmianie, jeżeli do gałęzi z 
rezystorem R włączymy 
przeciwsobnie dwa idealne 
źródła napięcia.



Napięcie tych źródeł może 
być zupełnie dowolne, 
więc obierzmy je jako 
równe U

0

.

Dwójnik

aktywny

I

R

U

0

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

I

R

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

22

Dwójnik aktywny w stanie 

obciążenia



Stosujemy teraz zasadę 
superpozycji: prąd I 
wywołany jest przez:

–

Dwójnik aktywny i źródło 
U

0

 o zwrocie przeciwnym 

do prądu (prąd I′),

–

Źródło U

0

 o zwrocie 

zgodnym z prądem po 
usunięciu wszystkich 
innych źródeł (prąd I″).

Dwójnik

aktywny

I

R

U

0

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

I′

R

U

0

A

B

Dwójnik

pasywny

I″

R

U

0

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

23

Prąd I′



Odłączając rezystor, 
dostajemy napięcie na 
zaciskach AC równe 0.



Po podłączeniu rezystora 
zerowe napięcie nie 
wywoła żadnego prądu, 
a stąd mamy

Dwójnik

aktywny

I′

R

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

U

0

A

B

C

A

0

U

0

0





I

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

24

Prąd I″



Zgodnie z zasadą 
superpozycji, obliczamy 
prąd wywołany jedynie 
przez napięcie U

0

, czyli 

wszystkie elementy 
źródłowe dwójnika należy z 
niego usunąć.



Dwójnik jest teraz pasywny, 
czyli można go zredukować 
co jednej rezystancji R

AB

.



Dostajemy obwód 
nierozgałęziony, w którym

Dwójnik

pasywny

I″

R

U

0

A

B

I″

R

U

0

A

B

R

AB

R

R

U

I









AB

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

25

Dwójnik aktywny w stanie 

obciążenia



Stąd prąd w oryginalnym 
obwodzie jest równy



Taki sam prąd popłynie, 
jeżeli dwójnik zastąpimy 
rzeczywistym źródłem 
napięcia o SEM E

0

 = U

0

 i 

rezystancji wewnętrznej 
równej R

w

 = R

AB

Dwójnik

aktywny

I

R

A

B

R

R

U

I

I

I















AB

0

I

R

A

B

R

w

E

0

R

R

U

R

R

E

I









AB

0

w

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

26

Twierdzenie Thevenina



Dwójnik aktywny można zastąpić 
rzeczywistym źródłem napięcia (E

0

, 

R

w

).



Napięcie źródłowe E

0

 wyznacza się 

jako równe napięciu na jego zaciskach 
w stanie jałowym.



Rezystancję wewnętrzną R

w

 wyznacza 

się jako równą rezystancji zastępczej 
dwójnika widzianej z jego zacisków po 
usunięciu z niego wszystkich źródeł 
(zwarciu źródeł napięciowych i 
rozwarciu źródeł prądowych).

Dwójnik

aktywny

A

B

A

B

R

w

E

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

27

Zastosowanie twierdzenia 

Thevenina



Podstawowe zastosowanie to

–

zastępowanie fragmentu obwodu rzeczywistym 
źródłem napięcia,

–

wyznaczanie prądu w wybranej gałęzi obwodu 
bez rozwiązywania całego obwodu.



Oprócz tego stosuje się je w szeregu 
różnych zagadnień, np.

–

dobór rezystora ze względu na moc 
maksymalną,

–

analiza obwodów nieliniowych z jednym 
elementem nieliniowym.

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

28

Przykład



Metodą Thevenina wyznaczyć prąd 
płynący przez rezystor 3 Ω.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

29

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

3

1 Ω

2 Ω

2 A

18 V

U

0

A

B

2 A

Przykład – c.d.

1 Ω

2 Ω

A

B

V

20

2

1

18

0

0









U

E

Ω

1

AB

w



R

R

A

B

R

w

E

0

3 Ω

I

3

A

5

3

1

20

3

w

0

3











R

R

E

I

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

30

Twierdzenie Nortona



Twierdzenie Thevenina pozwala 

zastąpić dwójnik aktywny 

rzeczywistym źródłem napięcia.



Rzeczywiste źródło napięcia można 

zamienić na rzeczywiste źródło 

prądu.



Wniosek (tw. Nortona): dwójnik 

aktywny można zastąpić 

rzeczywistym źródłem prądu (J

z

, R

w

).



Prąd źródłowy J

z

 wyznacza się jako 

prąd zwarcia dwójnika.



Rezystancję R

w

 wyznacza się tak 

samo jako w twierdzeniu Thevenina.



Zachodzi związek J

z

 = E

0

/R

w

.

Dwójnik

aktywny

A

B

A

B

R

w

J

z

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

31

Wyznaczanie E

0

, J

z

, R

w

 z 

pomiarów



Na podstawie powyższego można 
podać pomiarową metodę 
wyznaczania parametrów E

0

, J

z

, R

w

.



Woltomierzem mierzymy napięcie U

0

 

na zaciskach dwójnika w stanie 
jałowym. Na podstawie twierdzenia 
Thevenina jest ono równe E

0

.



Mierzymy prąd zwarcia I

z

 dwójnika 

(np. amperomierzem). Na podstawie 
twierdzenia Nortona jest on równy 
prądowi źródłowemu J

z

.



Z twierdzenia o zamianie 
rzeczywistego źródła napięcia na 
rzeczywiste źródło prądu mamy J

z

 = 

E

0

/R

w

, czyli R

w

 = E

0

/J

z

.

z

0

w

I

U

R 

Dwójnik

aktywny

A

B

A

I

z

Dwójnik

aktywny

A

B

V U

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

0

0

U

E 

z

z

I

J 

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

32

Kilka innych twierdzeń



Podamy teraz kilka pomocniczych 
twierdzeń pozwalających na takie 
przekształcenie obwodu, że rozpływ 
prądów pozostanie bez zmian. Są to:

–

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych 
idealnych źródeł napięcia,

–

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych 
idealnych źródeł prądu,

–

Twierdzenie o kompensacji,

–

Twierdzenie o wzajemności.

4

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

33

Twierdzenie o włączaniu 

dodatkowych idealnych źródeł 

napięcia

Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do 

wszystkich gałęzi dowolnego węzła włączymy jednakowe 

idealne źródła napięcia E o zwrocie jednakowym względem 

węzła, przy czym wartość E może być obrana dowolnie.

Wynika to z tego, że napięcia między punktami A, B, C, … w obydwu 

przypadkach są równe zeru, więc dodatkowe źródła nie wywołują 

żadnych prądów (zasada superpozycji).

reszta 
obwodu

A

B

C

reszta 
obwodu

A

B

C

E

E

E

0

0

0

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

34

Przykład

E

E

E

R

1

R

2

R

3

R

4

R

1

R

2

R

3

R

4

E

E

E

E

E

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

35

Twierdzenie o włączaniu 

dodatkowych idealnych źródeł 

prądu

Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do 

wszystkich gałęzi dowolnego oczka włączymy jednakowe 

idealne źródła prądu J o zwrocie jednakowym względem 

oczka, przy czym wartość J może być obrana dowolnie.

Wynika to z tego, że w obydwu przypadkach pomiędzy punktami A, 

B, C, … a resztą obwodu nie płyną żadne prądy, więc obwód 

pierwotny jest odseparowany od dodatkowego oczka ze źródłami 

prądowymi.

reszta 
obwodu

A

B

C

J

D

J

J

J

0

0

0

0

reszta 
obwodu

A

B

C

D

0

0

0

0

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

36

Twierdzenie o kompensacji

Jeżeli pomiędzy dwa dowolne punkty obwodu A i B, 

między którymi panuje napięcie U

AB

, włączymy 

idealne źródło napięcia o napięciu źródłowym E = U

AB

, 

to rozpływ prądów i rozkład napięć nie ulegnie 

zmianie.

Wynika to z tego, że w obydwu obwodach napięcie między 

punktami A i B jest jednakowe, a pozostała część obwodu jest 

taka sama.

reszta 
obwodu

A

B

I

XXX

U

AB

reszta 
obwodu

A

B

I

U

AB

E

 = U

AB

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

37

Przykład



Skompensować opornik 3 
Ω źródłem napięcia.



Dowolną metodą z 
znajdujemy, że napięcie 
na tym oporniku wynosi 
15 V.



Łatwo sprawdzić, że 
prądy i napięcia są 
gałęziowe są takie same 
jak w oryginalnym 
obwodzie.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

1 Ω

2 Ω

2 A

18 V

15 V

A

5

,

A

2

,

A

3

1

15

18

2

1

3

2

1















I

I

I

I

I

Twierdzenie o kompensacji

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

38

Twierdzenie o wzajemności

Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem napięcia E

k

 

znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w l-tej gałęzi wynosi I

l

, 

to po usunięciu tego źródła i umieszczeniu w l-tej gałęzi 
źródła E

l

 prąd w k-tej gałęzi będzie równy I

k

, przy czym

Wynika to z symetrii macierzy głównej układu równań w metodzie 

oczkowej (następny slajd).

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

l

I

k

k

l

l

l

k

k

k

l

l

k

I

E

I

E

E

E

I

I





lub

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

39

Dowód twierdzenia o 

wzajemności

1.

Zawsze możemy przerysować 
schemat tak, aby rozpatrywane 
gałęzie k i l znalazły się na 
brzegu (tzn. aby znajdowały się 
jedynie k-tym i l-tym oczku).

Zauważmy, że:

–

Wtedy prądy gałęziowe I

k

 i I

l

 będą 

równe prądom oczkowym k-tego 
i l-tego oczka.

–

Sposób przerysowania schematu 
nie ma wpływu na rozpływ prądu, a 
jedynie na sposób jego obliczania.

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

40

Dowód twierdzenia o 

wzajemności – c.d.

2.

Układamy równania oczkowe.

Zauważmy, że:

–

Macierz główna R jest symetryczna (R

k,l

 = R

l,k

), gdyż 

rezystancja wspólna oczek k i l jest taka sama jak oczek l i 
k.

–

Macierz główna R nie zależy od rozmieszczenia źródeł 
napięcia i prądu.









































































































III

II

I

III

II

I

III

III,

II

III,

I

III,

III

II,

II

II,

I

II,

III

I,

II

I,

I

I,

E

E

E

I

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

RI

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

41

Dowód twierdzenia o 

wzajemności – c.d.

3.

Po przemnożeniu przez 
macierz odwrotną R

−1

 

= Δ, dostajemy.

Zauważmy, że:

–

Macierz odwrotna Δ jest 
symetryczna (Δ

k,l

 = Δ

l,k

), 

gdyż macierz R jest 
symetryczna.

–

Macierz Δ nie zależy od 
rozmieszczenia źródeł 
napięcia i prądu.





























































































III

II

I

III

III,

II

III,

I

III,

III

II,

II

II,

I

II,

III

I,

II

I,

I

I,

III

II

I

E

E

E

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

I

I

I

E

Δ

E

R

I





 1

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

42

Dowód twierdzenia o 

wzajemności – c.d.

4.

Jeżeli w gałęzi k-tej znajduje się 
jedyne źródło, to E

k

 ≠ 0, a 

pozostałe E

I

 = E

II

 = … = 0 i wtedy

5.

Jeżeli w gałęzi l-tej znajduje się 
jedyne źródło, to E

l

 ≠ 0, a 

pozostałe E

I

 = E

II

 = ... = 0 i wtedy

6.

Dzieląc stronami ostatnie dwie 
równości i uwzględniając symetrię 
Δ

k,l

 = Δ

l,k

, dostajemy wreszcie

k

k

l

l

E

Δ

I

,



reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

l

I

k

k

l

l

l

k

k

E

Δ

I

,



l

k

k

l

E

E

I

I



Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

43

Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem 

napięcia E znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w 
l-tej gałęzi wynosi I, to po przeniesieniu tego 
źródła do l-tej gałęzi prąd w k-tej gałęzi też 
będzie równy I.

Wynika to z twierdzenia o wzajemności po przyjęciu E

k

 = E

l

.

Wniosek z twierdzenia o 

wzajemności

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

I

k

l

reszta

obwodu 

(bez źródeł)

E

I

k

l

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

44

Szeregowe połączenie źródeł 

napięcia



Dwa źródła napięcia (rzeczywiste lub 

idealne) połączone szeregowo należy 

zastąpić jednym.



W układzie oryginalnym



W układzie zredukowanym



Równoważność układów wymaga, aby

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

E

U

R

I

)

(

2

1

2

1

R

R

I

E

E

U









IR

E

U





2

1

2

1

R

R

R

E

E

E









5

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

45

Szeregowe połączenie źródeł 

napięcia



W przypadku dowolnej liczby 
źródeł



Wypadkowa SEM E jest równa 
sumie algebraicznej SEM 
wszystkich źródeł, tzn. SEM E

i

 o 

zwrocie zgodnym ze zwrotem E 
bierzmy ze znakiem plus, a SEM E

i

 

o zwrocie przeciwnym do zwrotu E 
bierzmy z znakiem minus.



Rezystancje zawsze sumujemy (są 
połączone szeregowo).

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

E

U

R

I









i

i

R

R

E

E

)

(

2

1

2

1

R

R

R

E

E

E









Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

46

Szeregowe połączenie źródeł 

prądu



Dwa rzeczywiste źródła 
prądu połączone szeregowo 
należy zastąpić jednym.



Każde z rzeczywistych źródeł 
prądu zamieniamy na 
rzeczywiste źródło napięcia.



Następnie korzystamy ze 
wzorów na szeregowe 
połączenie źródeł napięcia.

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

U

J

1

R

1

I

J

2

R

2

2

2

2

1

1

1

J

R

E

J

R

E





2

1

2

2

1

1

2

1

R

R

R

J

R

J

R

E

E

E













E

U

R

I

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

47

Szeregowe połączenie źródeł 

prądu



Zamieniamy otrzymane zastępcze 
źródło napięcia w rzeczywiste źródło 
prądu



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Prąd źródłowy zastępczego źródła jest 
średnią ważoną wszystkich prądów z 
wagami równymi rezystancjom 
wewnętrznym źródeł.

U

J

1

R

1

I

J

2

R

2

U

I

J

R

2

1

2

2

1

1

R

R

J

R

J

R

R

E

J



















i

i

i

i

R

J

R

J

R

R

)

(

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

48

Szeregowe połączenie źródeł 

prądu



Jeżeli jedno ze źródeł jest 
idealne (R

i

 = ∞), to zastępcze 

źródło ma parametry

czyli pozostałe źródła nie 
dają żadnego wkładu do 
reszty obwodu i w stosunku 
do niej można je pominąć.



Jeżeli przynajmniej dwa 
źródła są idealne, to powstaje 
sytuacja niedopuszczalna 
(nierealizowalna fizycznie). 

U

J

1

I

J

2

R

2

U

I

J

1

i

J

J

R







U

J

1

I

J

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

49

Równoległe połączenie źródeł 

prądu



Dwa źródła prądu (idealne lub 
rzeczywiste) połączone równolegle należy 
zastąpić jednym.



W układzie oryginalnym



W układzie zastępczym



Równoważność wymaga, aby

)

(

2

1

2

1

G

G

U

J

J

I









2

1

2

1

G

G

G

J

J

J









U

I

J

1

G

1

J

2

G

2

U

I

J

G

UG

J

I





Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

50

Równoległe połączenie źródeł 

prądu



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Wypadkowy prąd J jest równy 
sumie algebraicznej prądów 
wszystkich źródeł, tzn. prąd J

i

 o 

zwrocie zgodnym ze zwrotem J 
bierzmy ze znakiem plus, a prąd J

i

 

o zwrocie przeciwnym do zwrotu J 
bierzmy z znakiem minus.



Konduktancje zawsze sumujemy 
(są połączone równolegle), czyli 
sumujemy odwrotności rezystancji.

U

I

J

1

G

1

J

2

G

2

U

I

J

G









i

i

G

G

J

J

)

(

2

1

2

1

G

G

G

J

J

J









Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

51

Równoległe połączenie źródeł 

napięcia



Dwa rzeczywiste źródła napięcia 
połączone równolegle należy 
zastąpić jednym.



Każde ze źródeł zamieniamy na 
rzeczywiste źródło prądu



Równolegle połączone źródła 
prądu zastępujemy jednym 
źródłem

2

2

2

1

1

1

R

E

J

R

E

J





U

I

J

1

R

1

J

2

R

2

U

I

J

R

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

R

R

R

R

E

R

E

J

J

J













E

1

U

R

1

I

E

2

R

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

52

Równoległe połączenie źródeł 

napięcia



Zamieniamy otrzymane zastępcze źródło 
prądu w rzeczywiste źródło napięcia



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Wypadkowe napięcie E jest średnią 
ważoną napięć źródłowych poszczególnych 
źródeł z wagami równymi konduktancjom 
wewnętrznym.

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

G

G

E

G

E

G

R

R

R

E

R

E

JR

E



























i

i

i

i

G

E

G

E

G

G

R

)

(

1

E

1

U

R

1

I

E

2

R

2

E

U

R

I

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

53

Równoległe połączenie źródeł 

napięcia



Jeżeli jedno ze źródeł jest 
idealne (R

i

 = 0, G

i

 = ∞), to 

zastępcze źródło ma 
parametry

czyli pozostałe źródła nie 
dają żadnego wkładu do 
reszty obwodu i w stosunku 
do niej można je pominąć.



Jeżeli przynajmniej dwa 
źródła są idealne, to powstaje 
sytuacja niedopuszczalna 
(nierealizowalna fizycznie). 

i

E

E

R



0

E

1

U

I

E

2

R

2

E

1

U

I

E

1

U

I

E

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

54

Łączenie źródeł – wnioski



Aby uzyskać większe napięcie, należy połączyć 
kilka źródeł napięcia szeregowo (np. 3 baterie 
AAA 1,5 V dają 4,5 V).



W typowych przypadkach należy unikać łączenia 
źródeł napięcia równolegle, gdyż w razie 
niejednakowej wartości ich napięcia źródłowego 
popłyną w nich prądy wyrównawcze, które 
powodują rozładowanie źródła o wyższej wartości 
E.



Do zwiększenia prądu najlepiej łączyć równolegle 
źródła prądu, ewentualnie jednakowe źródła 
napięcia.

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł 

Ja

b

ło

ń

sk

i, 

Po

d

st

a

w

y

 e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i 

i 

e

le

kt

ro

n

ik

i

55

Czego się nauczyliśmy?



Wiemy co to jest zasada superpozycji i jak ją 

stosować w teorii obwodów (metoda superpozycji),



Poznaliśmy bardzo ważne twierdzenie Thevenina (i 

stowarzyszone z nim twierdzenie Nortona), które 

sprowadza dwójnik aktywny do rzeczywistego 

źródła napięcia, ułatwiając przez to analizę wielu 

różnych zagadnień.



Poznaliśmy kilka twierdzeń pomocniczych o 

pomniejszym znaczeniu, które nie zmieniając 

rozpływu prądów pozwalają na takie 

przekształcenie obwodu, aby był on łatwiejszy do 

analizy.



Dowiedzieliśmy się, jakie są skutki połączenia 

szeregowego i równoległego różnych źródeł.

Podsumowanie