Wybrane twierdzenia

pomocnicze

Wykłady z podstaw
elektrotechniki i
elektroniki

Paweł Jabłoński

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Co było do tej pory?



Pojęcia podstawowe: prąd, napięcie,
rezystancja.



Elementy obwodu (rezystory, źródła
napięcia, źródła prądu), struktura obwodu
(gałęzie, węzły, oczka).



Prawa Kirchhoffa, prawo Ohma.



Redukcja układu połączeń rezystorów.



Metody ogólne analizy obwodów (równań
Kirchhoffa, oczkowa, potencjałów
węzłowych).

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Na tym wykładzie

Cel: poznanie wybranych twierdzeń pomocniczych

ułatwiających analizę obwodów elektrycznych.

Zakres:



Zasada i metoda superpozycji



Twierdzenie Thevenina



Twierdzenie Nortona



Twierdzenia w włączaniu dodatkowych idealnych

źródeł



Twierdzenie o kompensacji



Twierdzenie o wzajemności



Redukcja połączeń źródeł.

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Zasada superpozycji



W układzie fizycznym spełniona jest zasada
superpozycji, jeżeli skutek działania sumy przyczyn
(źródeł, wymuszeń) jest taki sam jak suma skutków
wywołanych przez każdą z przyczyn oddzielnie.



Nazwa „superpozycja” pochodzi z łaciny i oznacza
„nakładanie” (superponere = super + ponere = nad
+ kłaść = nakładać).



Zasada superpozycji pozwala zastąpić
skomplikowane oddziaływanie sumą oddziaływań
prostszych (łatwiejszych lub wygodniejszych do
analizy).



Zasada superpozycji dotyczy dowolnych układów
fizycznych (nie tylko obwodów elektrycznych).

1

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Przykład

Rozpatrzmy obwód z dwoma źródłami napięcia

E

1

i

E

2

(tj. przyczynami przepływu prądu). Prąd (tj. skutek)
wynosi

Możemy to przedstawić jako

Prąd I (skutek) jest więc sumą dwóch prądów I′ i I″

(skutków). Pierwszy z nich jest wywołany jedynie
przez źródło E

1

(przyczynę pierwszą), a drugi – przez

źródło E

2

(przyczynę drugą).

R

E

E

I

2

1





I

E

1

E

2

R

I

I

R

E

R

E

I















2

1

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Przykład – c.d.

Zauważmy, że prąd I′ popłynie w

obwodzie zawierającym tylko

E

1

,

zaś prąd I″ popłynie w obwodzie
zawierającym tylko

E

2

.

Obwód oryginalny powstaje w

wyniku nałożenia jeden na drugi
obwodów z poszczególnymi
źródłami.

Stąd nazwa „nakładanie” czyli

„superpozycja”.

I′

E

1

R

I″

E

2

R

I =

I′

+

I″

Zasada superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Metoda superpozycji



Metoda superpozycji rozwiązywania
obwodów elektrycznych polega na
zastosowaniu zasady superpozycji.



Obwód z wieloma (n) źródłami napięcia lub
prądu rozkłada się na n obwodów, z których
w każdym znajduje się tylko jedno źródło.



Zaleta: obwód z jednym źródłem rozwiązuje
się często znacznie szybciej i łatwiej.



Wada: trzeba rozwiązać n obwodów zamiast
jednego.

2

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

Tok postępowania

1.

Strzałkujemy dowolnie prądy.

2.

Obwód rozkładamy na tyle

obwodów, ile jest źródeł

napięcia i prądu,

pozostawiając w każdym

obwodzie wszystkie

rezystancje, ale tylko jedno

źródło.

Uwaga: przy usuwaniu źródęł ich

rezystancję pozostawiamy,

tzn.

–

idealne źródła napięciowe

zwieramy, gdyż R

w

= 0,

–

idealne źródła prądowe –

rozwieramy, gdyż R

w

= ∞.

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

E

6

R

1

R

2

R

3

R

6

E

4

R

1

R

2

R

3

R

6

E

1

R

1

R

2

R

3

R

6

Tok postępowania

Metoda superpozycji

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

IV

1

I

IV

2

I

IV

3

I

IV

6

I

IV

5

I

IV

4

I‴

1

I‴

2

I‴

3

I‴

6

I‴

5

I‴

4

I′

1

I′

2

I′

3

I′

6

I′

4

I′

5

I″

1

I″

2

I″

3

I″

6

I″

4

I″

5

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

10

Tok postępowania

3.

Każdy z obwodów cząstkowych rozwiązujemy dowolną

metodą.

4.

Obliczamy wypadkowe prądy gałęziowe jako sumę

przyczynków od poszczególnych źródeł: I = I′ + I″ + I‴ + ... .

Wskazówki:



Do rozwiązania obwodów cząstkowych warto wykorzystać:

–

redukcję połączeń rezystorów,

–

wzór na prąd w obwodzie nierozgałęzionym,

–

dzielnik napięcia i prądu,

–

zamianę rzeczywistego źródła napięcia w rzeczywiste źródło

prądu i odwrotnie,



Nie opłaca się natomiast stosować:

–

metody równań Kirchhoffa,

–

metody prądów oczkowych,

–

metody potencjałów węzłowych.

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

11

E

1

E

4

E

6

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

1

I

2

I

3

I

6

I

5

I

4

E

6

R

1

R

2

R

3

R

6

E

4

R

1

R

2

R

3

R

6

E

1

R

1

R

2

R

3

R

6

Tok postępowania

Metoda superpozycji

J

5

R

1

R

2

R

3

R

6

I

IV

1

I

IV

2

I

IV

3

I

IV

6

I

IV

5

I

IV

4

I‴

1

I‴

2

I‴

3

I‴

6

I‴

5

I‴

4

I′

1

I′

2

I′

3

I′

6

I′

4

I′

5

I″

1

I″

2

I″

3

I″

6

I″

4

I″

5

I

1

=

I′

1

+

I″

1

+

I‴

1

+

I

IV

1

I

6

=

I′

6

+

I″

6

+

I‴

6

+

I

IV

6

…

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

12

Przykład



Wyznaczyć rozpływ prądów metodą
superpozycji.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

13

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

1

I

2

I

3

1 Ω

2 Ω

3 Ω

18 V

I′

1

I′

2

I′

3

Przykład – c.d.

A

5

,

4

3

1

18

0

3

1

2

















I

I

I

A

5

,

0

4

2

3

1

1

2

A

5

,

1

4

6

3

1

3

2

A

2

3

1

2































I

I

I

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

1

I

2

I

3

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

I″

1

I″

2

I″

3

A

5

5

,

0

5

,

4

)

2

0

(

A

2

A

3

5

,

1

5

,

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1











































I

I

I

I

I

I

I

I

I

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

14

Uzasadnienie metody

superpozycji



Obwody elektryczne opisane są równaniami liniowymi, tzn.
związek między prądami a wymuszeniami (napięciami i
prądami źródłowymi) można wyrazić w postaci

gdzie współczynniki a

ij

oraz b

ij

nie zależą od prądów i

wymuszeń, a jedynie od struktury obwodu.



Po rozwiązaniu (pomnożeniu przez macierz odwrotną [a

ij

]

−1

)



































































































1

23

13

2

22

12

1

21

11

2

1

J

U

c

c

E

c

c

E

c

c

I

I

































































































































1

23

13

2

22

12

1

21

11

2

1

22

21

12

11

J

U

b

b

E

b

b

E

b

b

I

I

a

a

a

a

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

15

Uzasadnienie metody

superpozycji



Oznaczając

mamy



Z powyższego wynika, że:

–

prądy I

(j)i

wywołane są jedynie przez j-te źródło i płyną

niezależnie od obecności innych źródeł.

–

prądy wypadkowe I

i

są sumami prądów cząstkowych I

(j)i

.

1

23

13

2

1

2

22

12

2

1

1

21

11

2

1

J

U

c

c

I

I

E

c

c

I

I

E

c

c

I

I













































































































































































































































































2

1

2

1

2

1

2

1

I

I

I

I

I

I

I

I

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

16

Zakres zastosowania



Metodę superpozycji można stosować tylko w
obwodach liniowych, gdyż tylko wtedy równania
są liniowe i spełniona jest zasada superpozycji.



Metody superpozycji nie wolno stosować w
obwodach nieliniowych (o których już wkrótce).



Metoda superpozycji jest podstawą wielu innych
metod (np. metody oczkowej – prąd gałęziowy
jest superpozycją prądów oczkowych).



Metoda superpozycji jest stosowana szeroko nie
tylko w elektrotechnice, ale w innych naukach,
zwłaszcza ścisłych.

Metoda superpozycji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

17

Dwójnik aktywny jako rzecz. źr.

napięcia



Pokażemy, że dwójnik aktywny
można zastąpić równoważnym
dwójnikiem w postaci rzeczywistego
źródła napięcia
o SEM E

0

i rezystancji R

w

.



Jest to bardzo pomocne twierdzenie
(zwane tw. Thevenina lub tw. o
zastępczym źródle napięcia),
gdyż niezwykle ułatwia analizę (a
także syntezę) obwodów.



Wyznaczmy E

0

i R

w

, ale najpierw

wprowadzimy pomocnicze
twierdzenie.

Dwójnik

aktywny

R

w

E

0

3

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

18

Dwa przeciwsobne idealne źr.

napięcia



Jeżeli dwa jednakowe idealne źródła
napięcia o SEM równej E połączymy
szeregowo przeciwsobnie, to wypadkowe
napięcie wyniesie



Wniosek: rozpatrywane połączenie jest
równoważne zwarciu.



Odwrotnie – bezoporowe połączenie można
uważać za przeciwsobne połączenie dwóch
jednakowych idealnych źródeł napięcia, przy
czym ich SEM E jest zupełnie dowolna.

0







E

E

U

AB

E

E

A

B

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

19

Włączanie idealnych źródeł

napięcia



Wniosek

Rozpływ prądów i rozkład
napięć w obwodzie nie
ulegnie zmianie, jeżeli w
dowolny punkt dowolnej
gałęzi obwodu włączymy
przeciwsobnie dwa
jednakowe idealne źródła
napięcia, przy czym ich
napięcie źródłowe E może
być obrane dowolnie.

E

E

Reszta

obwodu

Reszta

obwodu

Fragment

dowolnej

gałęzi

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

20

Dwójnik aktywny w stanie

jałowym



Rozważmy dwójnik aktywny
(układ zawierający elementy
źródłowe i mający
wyprowadzone dwa zaciski).



Niech napięcie na zaciskach
dwójnika w stanie jałowym
wynosi U

0

.



Napięcie to można zmierzyć
woltomierzem.

Dwójnik

aktywny

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

A

B

V

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

21

Dwójnik aktywny w stanie

obciążenia



Jeżeli obciążymy ten
dwójnik rezystorem R, to
popłynie pewien prąd I.



Prąd ten nie ulegnie
zmianie, jeżeli do gałęzi z
rezystorem R włączymy
przeciwsobnie dwa idealne
źródła napięcia.



Napięcie tych źródeł może
być zupełnie dowolne,
więc obierzmy je jako
równe U

0

.

Dwójnik

aktywny

I

R

U

0

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

I

R

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

22

Dwójnik aktywny w stanie

obciążenia



Stosujemy teraz zasadę
superpozycji: prąd I
wywołany jest przez:

–

Dwójnik aktywny i źródło
U

0

o zwrocie przeciwnym

do prądu (prąd I′),

–

Źródło U

0

o zwrocie

zgodnym z prądem po
usunięciu wszystkich
innych źródeł (prąd I″).

Dwójnik

aktywny

I

R

U

0

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

I′

R

U

0

A

B

Dwójnik

pasywny

I″

R

U

0

A

B

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

23

Prąd I′



Odłączając rezystor,
dostajemy napięcie na
zaciskach AC równe 0.



Po podłączeniu rezystora
zerowe napięcie nie
wywoła żadnego prądu,
a stąd mamy

Dwójnik

aktywny

I′

R

U

0

A

B

Dwójnik

aktywny

U

0

A

B

C

A

0

U

0

0





I

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

24

Prąd I″



Zgodnie z zasadą
superpozycji, obliczamy
prąd wywołany jedynie
przez napięcie U

0

, czyli

wszystkie elementy
źródłowe dwójnika należy z
niego usunąć.



Dwójnik jest teraz pasywny,
czyli można go zredukować
co jednej rezystancji R

AB

.



Dostajemy obwód
nierozgałęziony, w którym

Dwójnik

pasywny

I″

R

U

0

A

B

I″

R

U

0

A

B

R

AB

R

R

U

I









AB

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

25

Dwójnik aktywny w stanie

obciążenia



Stąd prąd w oryginalnym
obwodzie jest równy



Taki sam prąd popłynie,
jeżeli dwójnik zastąpimy
rzeczywistym źródłem
napięcia o SEM E

0

= U

0

i

rezystancji wewnętrznej
równej R

w

= R

AB

Dwójnik

aktywny

I

R

A

B

R

R

U

I

I

I















AB

0

I

R

A

B

R

w

E

0

R

R

U

R

R

E

I









AB

0

w

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

26

Twierdzenie Thevenina



Dwójnik aktywny można zastąpić
rzeczywistym źródłem napięcia (E

0

,

R

w

).



Napięcie źródłowe E

0

wyznacza się

jako równe napięciu na jego zaciskach
w stanie jałowym.



Rezystancję wewnętrzną R

w

wyznacza

się jako równą rezystancji zastępczej
dwójnika widzianej z jego zacisków po
usunięciu z niego wszystkich źródeł
(zwarciu źródeł napięciowych i
rozwarciu źródeł prądowych).

Dwójnik

aktywny

A

B

A

B

R

w

E

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

27

Zastosowanie twierdzenia

Thevenina



Podstawowe zastosowanie to

–

zastępowanie fragmentu obwodu rzeczywistym
źródłem napięcia,

–

wyznaczanie prądu w wybranej gałęzi obwodu
bez rozwiązywania całego obwodu.



Oprócz tego stosuje się je w szeregu
różnych zagadnień, np.

–

dobór rezystora ze względu na moc
maksymalną,

–

analiza obwodów nieliniowych z jednym
elementem nieliniowym.

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

28

Przykład



Metodą Thevenina wyznaczyć prąd
płynący przez rezystor 3 Ω.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

29

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

I

3

1 Ω

2 Ω

2 A

18 V

U

0

A

B

2 A

Przykład – c.d.

1 Ω

2 Ω

A

B

V

20

2

1

18

0

0









U

E

Ω

1

AB

w



R

R

A

B

R

w

E

0

3 Ω

I

3

A

5

3

1

20

3

w

0

3











R

R

E

I

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

30

Twierdzenie Nortona



Twierdzenie Thevenina pozwala

zastąpić dwójnik aktywny

rzeczywistym źródłem napięcia.



Rzeczywiste źródło napięcia można

zamienić na rzeczywiste źródło

prądu.



Wniosek (tw. Nortona): dwójnik

aktywny można zastąpić

rzeczywistym źródłem prądu (J

z

, R

w

).



Prąd źródłowy J

z

wyznacza się jako

prąd zwarcia dwójnika.



Rezystancję R

w

wyznacza się tak

samo jako w twierdzeniu Thevenina.



Zachodzi związek J

z

= E

0

/R

w

.

Dwójnik

aktywny

A

B

A

B

R

w

J

z

Twierdzenia Thevenina i Nortona

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

31

Wyznaczanie E

0

, J

z

, R

w

z

pomiarów



Na podstawie powyższego można
podać pomiarową metodę
wyznaczania parametrów E

0

, J

z

, R

w

.



Woltomierzem mierzymy napięcie U

0

na zaciskach dwójnika w stanie
jałowym. Na podstawie twierdzenia
Thevenina jest ono równe E

0

.



Mierzymy prąd zwarcia I

z

dwójnika

(np. amperomierzem). Na podstawie
twierdzenia Nortona jest on równy
prądowi źródłowemu J

z

.



Z twierdzenia o zamianie
rzeczywistego źródła napięcia na
rzeczywiste źródło prądu mamy J

z

=

E

0

/R

w

, czyli R

w

= E

0

/J

z

.

z

0

w

I

U

R 

Dwójnik

aktywny

A

B

A

I

z

Dwójnik

aktywny

A

B

V U

0

Twierdzenia Thevenina i Nortona

0

0

U

E 

z

z

I

J 

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

32

Kilka innych twierdzeń



Podamy teraz kilka pomocniczych
twierdzeń pozwalających na takie
przekształcenie obwodu, że rozpływ
prądów pozostanie bez zmian. Są to:

–

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych
idealnych źródeł napięcia,

–

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych
idealnych źródeł prądu,

–

Twierdzenie o kompensacji,

–

Twierdzenie o wzajemności.

4

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

33

Twierdzenie o włączaniu

dodatkowych idealnych źródeł

napięcia

Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do

wszystkich gałęzi dowolnego węzła włączymy jednakowe

idealne źródła napięcia E o zwrocie jednakowym względem

węzła, przy czym wartość E może być obrana dowolnie.

Wynika to z tego, że napięcia między punktami A, B, C, … w obydwu

przypadkach są równe zeru, więc dodatkowe źródła nie wywołują

żadnych prądów (zasada superpozycji).

reszta
obwodu

A

B

C

reszta
obwodu

A

B

C

E

E

E

0

0

0

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

34

Przykład

E

E

E

R

1

R

2

R

3

R

4

R

1

R

2

R

3

R

4

E

E

E

E

E

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

35

Twierdzenie o włączaniu

dodatkowych idealnych źródeł

prądu

Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do

wszystkich gałęzi dowolnego oczka włączymy jednakowe

idealne źródła prądu J o zwrocie jednakowym względem

oczka, przy czym wartość J może być obrana dowolnie.

Wynika to z tego, że w obydwu przypadkach pomiędzy punktami A,

B, C, … a resztą obwodu nie płyną żadne prądy, więc obwód

pierwotny jest odseparowany od dodatkowego oczka ze źródłami

prądowymi.

reszta
obwodu

A

B

C

J

D

J

J

J

0

0

0

0

reszta
obwodu

A

B

C

D

0

0

0

0

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

36

Twierdzenie o kompensacji

Jeżeli pomiędzy dwa dowolne punkty obwodu A i B,

między którymi panuje napięcie U

AB

, włączymy

idealne źródło napięcia o napięciu źródłowym E = U

AB

,

to rozpływ prądów i rozkład napięć nie ulegnie

zmianie.

Wynika to z tego, że w obydwu obwodach napięcie między

punktami A i B jest jednakowe, a pozostała część obwodu jest

taka sama.

reszta
obwodu

A

B

I

XXX

U

AB

reszta
obwodu

A

B

I

U

AB

E

= U

AB

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

37

Przykład



Skompensować opornik 3
Ω źródłem napięcia.



Dowolną metodą z
znajdujemy, że napięcie
na tym oporniku wynosi
15 V.



Łatwo sprawdzić, że
prądy i napięcia są
gałęziowe są takie same
jak w oryginalnym
obwodzie.

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 A

18 V

1 Ω

2 Ω

2 A

18 V

15 V

A

5

,

A

2

,

A

3

1

15

18

2

1

3

2

1















I

I

I

I

I

Twierdzenie o kompensacji

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

38

Twierdzenie o wzajemności

Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem napięcia E

k

znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w l-tej gałęzi wynosi I

l

,

to po usunięciu tego źródła i umieszczeniu w l-tej gałęzi
źródła E

l

prąd w k-tej gałęzi będzie równy I

k

, przy czym

Wynika to z symetrii macierzy głównej układu równań w metodzie

oczkowej (następny slajd).

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

l

I

k

k

l

l

l

k

k

k

l

l

k

I

E

I

E

E

E

I

I





lub

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

39

Dowód twierdzenia o

wzajemności

1.

Zawsze możemy przerysować
schemat tak, aby rozpatrywane
gałęzie k i l znalazły się na
brzegu (tzn. aby znajdowały się
jedynie k-tym i l-tym oczku).

Zauważmy, że:

–

Wtedy prądy gałęziowe I

k

i I

l

będą

równe prądom oczkowym k-tego
i l-tego oczka.

–

Sposób przerysowania schematu
nie ma wpływu na rozpływ prądu, a
jedynie na sposób jego obliczania.

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

40

Dowód twierdzenia o

wzajemności – c.d.

2.

Układamy równania oczkowe.

Zauważmy, że:

–

Macierz główna R jest symetryczna (R

k,l

= R

l,k

), gdyż

rezystancja wspólna oczek k i l jest taka sama jak oczek l i
k.

–

Macierz główna R nie zależy od rozmieszczenia źródeł
napięcia i prądu.









































































































III

II

I

III

II

I

III

III,

II

III,

I

III,

III

II,

II

II,

I

II,

III

I,

II

I,

I

I,

E

E

E

I

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

RI

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

41

Dowód twierdzenia o

wzajemności – c.d.

3.

Po przemnożeniu przez
macierz odwrotną R

−1

= Δ, dostajemy.

Zauważmy, że:

–

Macierz odwrotna Δ jest
symetryczna (Δ

k,l

= Δ

l,k

),

gdyż macierz R jest
symetryczna.

–

Macierz Δ nie zależy od
rozmieszczenia źródeł
napięcia i prądu.





























































































III

II

I

III

III,

II

III,

I

III,

III

II,

II

II,

I

II,

III

I,

II

I,

I

I,

III

II

I

E

E

E

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

I

I

I

E

Δ

E

R

I





 1

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

42

Dowód twierdzenia o

wzajemności – c.d.

4.

Jeżeli w gałęzi k-tej znajduje się
jedyne źródło, to E

k

≠ 0, a

pozostałe E

I

= E

II

= … = 0 i wtedy

5.

Jeżeli w gałęzi l-tej znajduje się
jedyne źródło, to E

l

≠ 0, a

pozostałe E

I

= E

II

= ... = 0 i wtedy

6.

Dzieląc stronami ostatnie dwie
równości i uwzględniając symetrię
Δ

k,l

= Δ

l,k

, dostajemy wreszcie

k

k

l

l

E

Δ

I

,



reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

k

I

l

k

l

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

l

I

k

k

l

l

l

k

k

E

Δ

I

,



l

k

k

l

E

E

I

I



Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

43

Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem

napięcia E znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w
l-tej gałęzi wynosi I, to po przeniesieniu tego
źródła do l-tej gałęzi prąd w k-tej gałęzi też
będzie równy I.

Wynika to z twierdzenia o wzajemności po przyjęciu E

k

= E

l

.

Wniosek z twierdzenia o

wzajemności

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

I

k

l

reszta

obwodu

(bez źródeł)

E

I

k

l

Kilka innych twierdzeń

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

44

Szeregowe połączenie źródeł

napięcia



Dwa źródła napięcia (rzeczywiste lub

idealne) połączone szeregowo należy

zastąpić jednym.



W układzie oryginalnym



W układzie zredukowanym



Równoważność układów wymaga, aby

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

E

U

R

I

)

(

2

1

2

1

R

R

I

E

E

U









IR

E

U





2

1

2

1

R

R

R

E

E

E









5

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

45

Szeregowe połączenie źródeł

napięcia



W przypadku dowolnej liczby
źródeł



Wypadkowa SEM E jest równa
sumie algebraicznej SEM
wszystkich źródeł, tzn. SEM E

i

o

zwrocie zgodnym ze zwrotem E
bierzmy ze znakiem plus, a SEM E

i

o zwrocie przeciwnym do zwrotu E
bierzmy z znakiem minus.



Rezystancje zawsze sumujemy (są
połączone szeregowo).

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

E

U

R

I









i

i

R

R

E

E

)

(

2

1

2

1

R

R

R

E

E

E









Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

46

Szeregowe połączenie źródeł

prądu



Dwa rzeczywiste źródła
prądu połączone szeregowo
należy zastąpić jednym.



Każde z rzeczywistych źródeł
prądu zamieniamy na
rzeczywiste źródło napięcia.



Następnie korzystamy ze
wzorów na szeregowe
połączenie źródeł napięcia.

E

1

E

2

U

R

1

R

2

I

U

J

1

R

1

I

J

2

R

2

2

2

2

1

1

1

J

R

E

J

R

E





2

1

2

2

1

1

2

1

R

R

R

J

R

J

R

E

E

E













E

U

R

I

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

47

Szeregowe połączenie źródeł

prądu



Zamieniamy otrzymane zastępcze
źródło napięcia w rzeczywiste źródło
prądu



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Prąd źródłowy zastępczego źródła jest
średnią ważoną wszystkich prądów z
wagami równymi rezystancjom
wewnętrznym źródeł.

U

J

1

R

1

I

J

2

R

2

U

I

J

R

2

1

2

2

1

1

R

R

J

R

J

R

R

E

J



















i

i

i

i

R

J

R

J

R

R

)

(

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

48

Szeregowe połączenie źródeł

prądu



Jeżeli jedno ze źródeł jest
idealne (R

i

= ∞), to zastępcze

źródło ma parametry

czyli pozostałe źródła nie
dają żadnego wkładu do
reszty obwodu i w stosunku
do niej można je pominąć.



Jeżeli przynajmniej dwa
źródła są idealne, to powstaje
sytuacja niedopuszczalna
(nierealizowalna fizycznie).

U

J

1

I

J

2

R

2

U

I

J

1

i

J

J

R







U

J

1

I

J

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

49

Równoległe połączenie źródeł

prądu



Dwa źródła prądu (idealne lub
rzeczywiste) połączone równolegle należy
zastąpić jednym.



W układzie oryginalnym



W układzie zastępczym



Równoważność wymaga, aby

)

(

2

1

2

1

G

G

U

J

J

I









2

1

2

1

G

G

G

J

J

J









U

I

J

1

G

1

J

2

G

2

U

I

J

G

UG

J

I





Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

50

Równoległe połączenie źródeł

prądu



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Wypadkowy prąd J jest równy
sumie algebraicznej prądów
wszystkich źródeł, tzn. prąd J

i

o

zwrocie zgodnym ze zwrotem J
bierzmy ze znakiem plus, a prąd J

i

o zwrocie przeciwnym do zwrotu J
bierzmy z znakiem minus.



Konduktancje zawsze sumujemy
(są połączone równolegle), czyli
sumujemy odwrotności rezystancji.

U

I

J

1

G

1

J

2

G

2

U

I

J

G









i

i

G

G

J

J

)

(

2

1

2

1

G

G

G

J

J

J









Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

51

Równoległe połączenie źródeł

napięcia



Dwa rzeczywiste źródła napięcia
połączone równolegle należy
zastąpić jednym.



Każde ze źródeł zamieniamy na
rzeczywiste źródło prądu



Równolegle połączone źródła
prądu zastępujemy jednym
źródłem

2

2

2

1

1

1

R

E

J

R

E

J





U

I

J

1

R

1

J

2

R

2

U

I

J

R

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

R

R

R

R

E

R

E

J

J

J













E

1

U

R

1

I

E

2

R

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

52

Równoległe połączenie źródeł

napięcia



Zamieniamy otrzymane zastępcze źródło
prądu w rzeczywiste źródło napięcia



W przypadku dowolnej liczby źródeł



Wypadkowe napięcie E jest średnią
ważoną napięć źródłowych poszczególnych
źródeł z wagami równymi konduktancjom
wewnętrznym.

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

G

G

E

G

E

G

R

R

R

E

R

E

JR

E



























i

i

i

i

G

E

G

E

G

G

R

)

(

1

E

1

U

R

1

I

E

2

R

2

E

U

R

I

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

53

Równoległe połączenie źródeł

napięcia



Jeżeli jedno ze źródeł jest
idealne (R

i

= 0, G

i

= ∞), to

zastępcze źródło ma
parametry

czyli pozostałe źródła nie
dają żadnego wkładu do
reszty obwodu i w stosunku
do niej można je pominąć.



Jeżeli przynajmniej dwa
źródła są idealne, to powstaje
sytuacja niedopuszczalna
(nierealizowalna fizycznie).

i

E

E

R



0

E

1

U

I

E

2

R

2

E

1

U

I

E

1

U

I

E

2

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

54

Łączenie źródeł – wnioski



Aby uzyskać większe napięcie, należy połączyć
kilka źródeł napięcia szeregowo (np. 3 baterie
AAA 1,5 V dają 4,5 V).



W typowych przypadkach należy unikać łączenia
źródeł napięcia równolegle, gdyż w razie
niejednakowej wartości ich napięcia źródłowego
popłyną w nich prądy wyrównawcze, które
powodują rozładowanie źródła o wyższej wartości
E.



Do zwiększenia prądu najlepiej łączyć równolegle
źródła prądu, ewentualnie jednakowe źródła
napięcia.

Łączenie źródeł

Pa

w

e

ł

Ja

b

ło

ń

sk

i,

Po

d

st

a

w

y

e

le

kt

ro

te

ch

n

ik

i

i

e

le

kt

ro

n

ik

i

55

Czego się nauczyliśmy?



Wiemy co to jest zasada superpozycji i jak ją

stosować w teorii obwodów (metoda superpozycji),



Poznaliśmy bardzo ważne twierdzenie Thevenina (i

stowarzyszone z nim twierdzenie Nortona), które

sprowadza dwójnik aktywny do rzeczywistego

źródła napięcia, ułatwiając przez to analizę wielu

różnych zagadnień.



Poznaliśmy kilka twierdzeń pomocniczych o

pomniejszym znaczeniu, które nie zmieniając

rozpływu prądów pozwalają na takie

przekształcenie obwodu, aby był on łatwiejszy do

analizy.



Dowiedzieliśmy się, jakie są skutki połączenia

szeregowego i równoległego różnych źródeł.

Podsumowanie