Zadania z przykładowego

arkusza matura 2015

A

B

C

D

E

F



 



10

2

40

1

7

7

9

2

2













EF

Przekątna kwadratu jest
2x dłuższa
(podobieństwo)





2

2

3

3

3

3

3

3















 

WZÓR
SKRÓCONEG
O
MNOŻENIA

 

3

3

6

12

3

3

3

6

9

3

3

3

3

2

3

2

2

























3

2

4

3

3

2

4

3











4

4

1

2

4

1

2

4

1

2

4

9

3

9

3

3

3

3

3















Jak kogoś to nie przekonało…. Inny sposób:

4

4

4

4

4

4

9

4

9

3

9

3

3

3

3

3

3

3

3

















3

log

/

6

3 

x

6

log

3

log

3

3



x

x

x



3

log

3

6

log

3



x

Czyli:





 























2

2

2

1

1

3

2

3

16

1

3

16

x

x

x





















1

6

9

16

1

6

9

16

2

2

x

x

x

x

x

x

6

9

15

2







Odpada odpowiedź B , C i D





x

x

x

x

x

x

6

1

2

3

)

2

(

2

6

/

2

1

2

3

2























2

1

)

14

(

/

7

14

3

4

6

6

2

6

3

6

2

4

































x

x

x

x

x

x

x

x

dziewcz
ęta

chłopc
y

chłopc
y

chłopc
y

chłopc
y

Cała klasa składa się z 5
części

No to szukamy dzielników:
Dzielniki 42: 1,2,3,6,7,14,21,42 największa wśród
nich liczba pierwsza to 7, czyli

f(42)=7

Najszybsza metoda, to rozłożyć liczby na czynniki
pierwsze.

f(44)=11, f(45)=5,
f(48)=3

Wierzchołek paraboli zawierać się będzie w osi
symetrii paraboli, która jest zawsze prostopadła do
osi OX. Czyli ma równanie x=5.

Dla argumentów (x) równo oddalonych od 5, wartości
funkcji będą jednakowe.

X=1 i x=9 jest równo oddalony od 5
(odległość 4)

Najprościej:



Z defenicji f. tangens.

3

4

Z tw. Pitagorasa:

5

Z definicji f. cosinus

5

4

cos 



7

3

28

12

8

,

2

2

,

1

8

,

0

2

8

,

0

2











Podstawiając najprościej 0, już się zgadza.
Tylko jedna odpowiedź jest z 0.

Współczynniki przy x i y muszą być taką samą wielokrotnością (tu
razy 3), natomiast wyraz wolny inną.

Z tw. Pitagorasa:

6

2

Z definicji f. sinus:

r

l

r

r

rl

2

/

2

2















Pierwszy uczestnik uściskał dłoń 11 osób

Drugi -10
Trzeci-9
.
.
.
11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+
1=

1

1







n

n

q

a

a

1

9

1

3

12

9

,

12

,

3













q

n

a

a

n

8

4 q



4

1

8

1

2

4 



q

czyli

1

5

4

1

5

2

3



















a

6

2

3

2

3

2

3

4

4

1

4

4

1

5





























a

  

0

5

3

0









n

n

a

n

0

15

2

0

15

3

5

2

2















n

n

n

n

n





3

2

8

2

,

5

2

8

2

8

64

15

4

4

2

1































n

n

Parabola skierowana
ramionami do góry, czyli
rozwiązanie od (-3,5)

Ponieważ n jest całkowite i
większe równe 1, więc
n=1;2;3;4

Rzucając jeden raz kostką mamy 6 możliwości wyrzucenia oczek
{1;2;3;4;5;6}

Oczka podzielne przez 4, to tylko 4- czyli jest jedno takie
zdarzenie
Oczka podzielne przez 2, to 2,4,6- 3 zdarzenia
Oczka podzielne przez 6, to 6- 1 zdarzenie itd.

Zauważamy, że a ma być taką liczbą, by nierówności ax + 4 0 oraz x 2
były równoważne.
Przekształcamy daną nierówność:





 

2

1

2

2

2

2

/

4





















a

a

czyli

ax

ax









1

/

4

5

1

1













x

x

x

x

x







1

4

5

2









x

x

x

x

4

4

5

5

2

2











x

x

x

x

x

 

2

/

0

4

10

4

2













x

x

2

1

4

3

5

2

4

3

5

,

3

9

2

2

4

25

0

2

5

2

2

1

2



































x

x

x

x

2

2

2

2

1

4

1

2

1

a

a

a

a

a



















2

2

3

16

1

4

1

a

a

a

















Pola kwadratów tworzą ciąg
geometryczny

4

1

1

2





a

a

q

Pole kwadratu

12

12

a

K 

2

22

11

2

12

1

12

1

12

2

1

4

1

a

a

a

q

a

a







































r

R

Pole pierścienia wyliczymy odejmując od
pola dużego koła, pole małego.





2

2

2

2

r

R

r

R













Z tw. Pitagorasa:

2

2

2

5



r

R

czyli

25

2

2



 r

R



25



P

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:











2

12

4

4

1

4

W nawiasie można obliczyć:



21

4

12

To jeszcze nie jest liczba podzielna przez 42. Iloczyn musi zawierać 42 i liczbę całkowitą.

 

42

2

21

2

2

21

2

21

2

23

23

24

12

2

















Liczba ta jest podzielna przez 42, ponieważ jest jej
wielokrotnością.

Sprawdź co to za trójkąt:

Z tw. Pitagorasa:

P

L









15

8

7

15

8

7

2

2

2

Czyli trójkąt jest
prostokątny.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się
na środku przeciwprostokątnej, a promień ma długość równą
połowie przeciwprostokątnej.

2

15



R

Takie trójkąty muszą być prostokątne, ponieważ osie układu
są prostopadłe.

Pole trójkąta prostokątnego obliczamy ze wzoru
P=1/2 *ab

Możesz obliczyć miejsce zerowe tych prostych.

4

4

2

1

8

4

2

1

1

1

1

1















x

x

x

P

5

2



x

A=(0,4)

B=(4,0)

C=(5,0)

l

k

Wysokość tego trójkąta to 4, a
podstawa 1

Czyli P =2

Jakie są średnie prędkości obu dziewczynek?

20

,

40

s

v

s

v

O

A





S-droga do
szkoły

Wprowadź drogę x jaką pokonają, gdy się spotkają i w jakim to
czasie będzie?

Ala pokona drogę x w czasie t, a Ola w czasie o 10 minut
krótszym

vt

s

sv

t

t

s

v







,

,





10











t

v

x

t

v

x

O

A









10

20

40

10

















t

s

t

s

t

v

t

v

O

A

min

20

2

10

10

2









t

t

t

t

Wyprzedzi ją o 7,20

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej
AB

7

3

2

9

2

5









AB

a

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej
CD

3

7

1

7

3

1



















CD

CD

CD

AB

a

a

a

a

Znajdź równania prostych AB oraz
CD:

Do prostej AB należy np. punkt A=(2,2), do prostej CD- punkt
C=(3,9)

7

8

7

3

:

7

8

7

6

14

7

6

2

2

7

3

2

3

7

:

1

1

1

1

1































x

y

prAB

równanie

b

b

b

b

b

x

y

prAB

16

3

7

:

16

7

9

3

3

7

9

7

3

:

2

2

2

2

































x

y

prCD

równanie

b

b

b

b

x

y

prCD

Znajdź współrzędne punktu D, wspólnego dla tych dwóch
prostych.























16

3

7

7

8

7

3

x

y

x

y

















29

100

29

156

y

x

Znajdź współczynnik kierunkowy prostej BC

3

2

3

9

9

5











BC

a

Prosta równoległa do pr BC ma ten sam współczynnik kierunkowy i
przechodzi przez punkt D

3

3

29

156

3

2

29

100

3

2

b

b

x

y

















29

1

7

3

2

29

1

7

3











x

y

prostej

równanie

b

Oblicz ile klocków ma Jacek

64

4

4

2

8

3









V

Oblicz pole powierzchni tego
sześcianu

364

8

6

2







sz

P

Sprawdź możliwości ułożenia z tych klocków
graniastosłup, tak aby został jeden.

3x3x7

Wymiary drugiej budowli to 6x6x14cm

Oblicz jej pole.

2x6x6+4x6x14=408

17

16

408

364

