Mnożenie liczb

naturalnych

Anna Przywara P.W.D rok III

Program nauczania matematyki dla Szkoły Podstawowej klasy I-VIII: „Matematyka krok po kroku”

KLASA I:



Uczniowie potrafią wykonać w pamięci
pojedyncze operacje mnożenia w zakresie
20, bez przekraczania progu dziesiątkowego



Praktycznie wykorzystać (i zapisać w
konkretnych przypadkach) przemienność
mnożenia



Dostrzec zależność między zapisami
mnożenia i dzielenia typu: 5∙3=15 i 15:3=5



Praktycznie wykorzystać własności 0 i 1 w
mnożeniu

KLASA II:



Uczniowie potrafią wskazać zależność między

dodawaniem i mnożeniem (powinni zamienić
dodawanie jednakowych składników na mnożenie i

odwrotnie)



Mnożyć liczby jednocyfrowe w zakresie 100, gdy liczby
te są zapisane; opanować tabliczkę mnożenia w
zakresie 100



Praktycznie stosować przemienność i łączność mnożenia



Dysponując wzorcem, wskazać czynniki i iloczyn



Praktycznie stosować rozdzielność
mnożenia względem dodawania, a więc
obliczać wartość wyrażeń
dwudziałowych typu: 3∙(5+6)



Praktycznie wykorzystać fakt, że po
mnożeniu przez 1 otrzymujemy tę
samą liczbę: 1∙ 17= 17

KLASA III:



Uczniowie potrafią mnożyć w zakresie 1000



Uczniowie potrafią interpretować mnożenie jako skrócony zapis
dodawania, a więc np. 4+4+4+4+4 zapisują jako 5∙4 i
odwrotnie



Wykorzystywać wzajemną odwrotność mnożenia do sprawdzania
poprawności obliczeń



Mnożyć w pamięci, gdy jeden z czynników jest pełną dziesiątką,
np. 17∙10



Swobodnie posługiwać się tabliczką mnożenia w zakresie 100



Mnożyć pisemnie przez liczbę jednocyfrową



Uwaga:

Bardzo istotne jest podkreślanie przy realizacji tematu
kolejności wykonywania działań, że mnożenie i
dzielenie są działaniami równorzędnymi, tzn. zapis
12:2∙8 oznacza, że najpierw wykonujemy dzielenie.



Interpretować sformułowania: „mnożenie jest działaniem łącznym”, „mnożenie jest

działaniem przemiennym”



Poprawnie interpretować rozdzielność mnożenia względem dodawania i
odejmowania



Interpretować prawa (np. rozdzielność mnożenia względem

dodawania) zapisane za pomocą symboli literowych.
Np. przy obliczaniu typu 3∙(9-2)=27-6=21 wskazać w zapisie a∙(b+c)=

a∙b+a∙c, które liczby odpowiadają a, które b, a które c

Wynik mnożenia liczb a i b nazywamy iloczynem a

∙b , natomiast liczby, które mnożymy nazywamy

czynnikami

a ∙ b = c

Czynnik czynnik iloczyn

Mnożenie poznają dzieci w klasie I jako
skrócone dodawanie jednakowych
składników np.:
2+2+2+2= 8, 4∙2=8

Przykładowe zadanie:

Jola składała pieniądze na kwiaty na

imieniny mamy. W ciągu czterech dni

wkładała do skarbonki po 2 złote. Ile

pieniędzy na kwiaty zaoszczędziła Jola?

?

Rozwiązanie:

Dzieci ilustrują oszczędności Joli

krążkami i zapisują wzory:

2+2+2+2=8
4∙2=8

Odp: Jola zaoszczędziła 8 złotych.

Ważne:

Dobrze jest, aby w tych pierwszych zadaniach, z którymi

styka się dziecko mnożenie było wyrażone różnymi
czynnościami fizycznymi. Zapisując dodawaniem
jednakowych składników i krócej- mnożeniem,
odpowiadające im czynności, dzieci zaczynają obejmować
poznanym działaniem- mnożeniem- ogół tych czynności.

Zadania takie uprzytomniają dzieciom

pochodzenie

formuły mnożenia, jej związek z wielokrotnym
dodawaniem równych składników, przybliżając w ten
sposób dzieci do zrozumienia istoty tego działania
arytmetycznego.

Dalsze ćwiczenia posłużą do

oderwania mnożenia od czynności
materialnej.

Doprowadzą do tego

odpowiednio dobrane zadania tekstowe
na mnożenie, w których działanie
arytmetyczne nie będzie wyrażone
żadną czynnością.

Przykładowe zadanie:

W klasie jest 5 okien. Na każdym oknie

stoją po 3 doniczki kwiatów. Ile kwiatów
ma do podlewania dyżurny?

3+3+3+3+3=15
5∙3=15
Odpowiedź:
Dyżurny ma do podlewania15 kwiatów.

Ważne:

Na tym etapie należy zastosować szereg

różnych ćwiczeń, aby doprowadzić(po
zrozumieniu) do stopniowego oderwania
uczniów od czynności na materiale
konkretnym i wyobrażeniowym osiągając
sprawność w pamięciowym obliczaniu
iloczynów i ilorazów, a także później
czynników czy dzielnej i dzielnika.

Warto więc podobnie jak wcześniej w

dodawaniu i odejmowaniu stosować tutaj:

Oś liczbową:

Bardzo wskazanym ćwiczeniem jest

wykorzystanie osi liczbowej do
zaznaczania iloczynów i jednocześnie
grafów strzałkowych do pokazywania
powstawania tych iloczynów np. 3∙2

2 2 2

4

1

2

3

Mogą to być także ćwiczenia na
drzewkach i tabelkach funkcyjnych:

∙

5

3

5

15

8

6

5

4

7

3

24

18

15

12

21

9

∙3

:3

Tabliczka mnożenia:

W klasie II należy położyć nacisk na

staranne opracowanie tabeli mnożenia,
z uwagi na duże zastosowanie tego
rachunku pamięciowego w życiu
codziennym oraz działaniach
pisemnych.

Ze względu na zasadę stopniowania trudności

dzielimy tabelę na 4 ćwiartki.

Pierwsza ćwiartka-od 2∙2 do 5∙5, jako

najłatwiejsza jest do opracowania w klasie I.
Drugą ćwiartkę-od 2∙6 do 5∙10 wprowadzamy w
klasie II, jako nowy zupełnie dla dzieci materiał.
Trzecia ćwiartka-od 6∙2 do 10∙5, mimo że nie
wykracza poza iloczyny ćwiartki drugiej, jest od
niej trudniejsza ze względu na większe mnożniki.
Czwarta ćwiartka również trudna, jeśli nie
najtrudniejsza, obejmuje wszystkie przypadki od
6∙6 do 10∙10.

Przyswojenie pierwszej i drugiej

ćwiartki tabeli mnożenia nie sprawia na
ogół dzieciom trudności, gdyż operacje
rachunkowe odbywają się tutaj w
stosunkowo małym zakresie
liczbowym.

Zanim dzieci opanują iloczyny

pamięciowo, ułatwiają znalezienie
wyniku za pomocą dodawania
jednakowych składników, np.:

4 ∙ 8 = 32,

bo

8+8+8+8=

32

Lub posługują się też przy obliczaniu

przypadkami mnożenia już uprzednio
opracowanymi i zapamiętanymi np.:

4∙8=32, bo

2∙8=16 i 2∙8=16,a

16+16=32

W tym drugim przypadku stosują w

sposób konkretny i praktyczny

prawo

rozdzielności mnożenia względem
dodawania(4∙8=2∙8+2∙8)

bez

żadnych teoretycznych uogólnień,
które będą miały miejsce dopiero w
klasach wyższych.

Mnożenie sposobem
pisemnym:

Przy wprowadzeniu pisemnego

sposobu mnożenia(klasa III) można
posłużyć się, tak jak w pamięciowym
mnożeniu, dodawaniem jednakowych
składników. Uprzytomni to dzieciom, że
istota rzeczy jest taka sama, a więc:

Na przykład mnożenie:
122
x 4

488
Wyjaśniamy następująco 122
122
122
+ 122
488

W mnożeniu pisemnym stopniujemy

trudności podobnie jak w dodawaniu i
odejmowaniu: najpierw dajemy
przykłady mnożenia, w którym nie
występuje zamiana, potem stopniowo
wprowadzamy przykłady z jedną,
dwiema i trzema zamianami jednostek
niższego rzędu na jednostki wyższego
rzędu.

Przy opracowywaniu tych ostatnich przypadków mnożenia

trzeba przestrzegać, aby uzyskane z zamiany (w niższym
rzędzie) jednostki bezpośrednio wyższego rzędu
dziesiętnego- dodawały dzieci po wykonaniu mnożenia, np.
1342 pomnożyć przez 6 wykonują następująco:

- 6 razy po 2 dziesiątki to 12 jedności (2 jedności piszą w

iloczynie jednościami, a 1 dziesiątkę zachowują w pamięci)

- 6 razy po 4 dziesiątki to 24 dziesiątki i 1 dziesiątka (w

pamięci) to 25 dziesiątek(5 dziesiątek piszą pod
dziesiątkami w iloczynie a 20 dziesiątek zamieniają na 2
setki i zachowują w pamięci). W ten sposób doprowadzają
mnożenie do końca. Ujmowanie kolejnych czynności w
słowa przyczyni się do tym lepszego rozumienia algorytmu i
zapamiętania go.

Szczególnie trudne są przykłady

mnożenia pisemnego, gdy w czynnikach
występują zera. W klasie III trudność ta
jest stosunkowo niewielka, gdyż
ograniczamy się do mnożenia przez liczbę
jednocyfrową, a więc zera mogą wystąpić
tylko w mnożnej:

1230
x 3

3690

Bibliografia:

1.Zofia Cydzik: ”Metodyka nauczania

początkowego”

2.Zofia Cydzik: „Nauczanie matematyki w

klasie pierwszej i drugiej”

3.Edmund Stucki: „Metodyka nauczania

matematyki w klasach niższych”
czI,II,III

4.Program nauczania matematyki dla

klas Szkoły Podstawowej I-VIII
„Matematyka krok po kroku”