33. PROJEKTOWANIE
KONCEPCYJNE KONSTRUKCJI
PRĘTOWYCH W ŚWIETLE
PRZEKROJÓW STALOWYCH

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH

Nośność graniczna przekroju pręta zależy

od:

1. Smukłości ścianek przekroju



wpływ stateczności miejscowej

2. Rodzaju przekroju (dwuteownik, ceownik,

zetownik)



krzywe nośności granicznej

w stanach

złożonych

3. Schematu statycznego (belka swobodnie

podparta, ciągła)

Klasyfikacja przekrojów
metalowych

Smukłość ścianek przekroju 

UPN 200 

 = d/t

w

= 151/8,5

=

17,8



Klasyfikacja przekrojów

metalowych

Graniczne smukłości ścianek przekrojów stalowych  =

c/t

(kryterium klasy przekroju stalowego wg PN-EN 1993-

1-1)

Klasyfikacja przekrojów

metalowych

Graniczne
smukłości

ścianek

przekrojów

stalowych  =

c/t

(kryterium

klasy przekroju

stalowego wg

PN-EN 1993-1-

1)

Klasyfikacja przekrojów

metalowych

Graniczne smukłości ścianek przekrojów stalowych  =

c/t

(kryterium klasy przekroju stalowego wg PN-EN 1993-

1-1)

Kształtowniki walcowane

Kształtowniki spawane

Klasyfikacja przekrojów

metalowych

Graniczne
smukłości

ścianek

przekrojów

stalowych  =

c/t

(kryterium

klasy przekroju

stalowego wg

PN-EN 1993-1-

1)

Klasyfikacja przekrojów

metalowych

Graniczne smukłości ścianek

 Parametr  dla ścianek stalowych:

y

f

235





TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 1

o plastycznym

wyrównaniu naprężeń w
przekroju zginanym momentem
M

S

lub ścinanym siłą poprzeczną

V

S

gdzie

f

d

= f

y

/

Mo

W

pl

= S

1

+ S

2

=

2S

A

pl

= A

v

th

M

Rd

= M

pl

= W

pl

f

d

V

Rd

= V

pl

=

0,58A

pl

f

d

TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI

Dowód: warunki równowagi sił w
przekroju:
N = 0

czyli oś obojętna dzieli przekrój na 2
równe części
M = 0

0

dA

f

0

dA

f

0

σdA

A

A

A

d

d

















2

A

/2

h

/2

h

1

pl

2

1

d

pl

A

A

A

d

pl

d

pl

S

S

ydA

ydA

M

)

S

(S

f

M

ydA

f

M

ydA

f

M

σydA

o

o



































TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Nośność sprężysta przekroju zginanego
momentem M

S

lub ścinanego siłą

poprzeczną V

S

:

V

Rd

= V

el

= 0,58V

el

f

d

Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju 

pl

:

S

Jt

0,58f

V

V

0,58f

Jt

S

V

y

el

Rd

y

el

el













el

d

v

d

el

pl

pl

el

d

el

d

pl

el

pl

pl

W

2S

Jt

htS

Jt

0,58f

S

A

0,58f

V

V

α

W

2S

f

W

f

W

M

M

α















Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju



pl

:



pl

=

1,5 1- 1,5 1,5 - 

1,27-1,7

Wskaźnik rezerwy plastycznej dla przekroju prostokątnego

bxh:

TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

1,5

4

6

/6

bh

/4

bh

h/2

/12

bh

,25h

2x0,5bxhx0

h/2

J

2S

W

W

α

2

2

3

el

pl

pl













Wniosek I:

Nośność plastyczna (zginanego lub ścinanego)

przekroju metalowego niepodatnego na utratę
stateczności miejscowej jest nawet o 50 % większa od
nośności wynikająca ze sprężystej pracy konstrukcji (dla
dwuteowników walcowanych o 10-18 %)

GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA M -  jest
to taka wielkość obciążenia zewnętrznego (z
reguły wyrażonego poprzez pewien parametr
obciążenia), która powoduje w co najmniej
jednym punkcie belki powstanie naprężenia
normalnego równego granicy plastyczności

GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA M - jest
to taka wielkość obciążenia zewnętrznego, która
powoduje uplastycznienie co najmniej jednego
przekroju belki (powstanie co najmniej jednego
przegubu plastycznego)

PRZYKŁAD

TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 2

o

powierzchniach granicznych
w złożonym stanie sił
wewnętrznych – są dla
materiału sprężysto-
plastycznego zawsze
wypukłe

Powierzchnie graniczne wg teorii a) plastyczności b)

sprężystości

(interakcja M

y

- M

z

- N)

TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Krzywa interakcji na

płaszczyźnie M

Sy

– M

Sz

wg PN-EN 1993-1-1:

dla dwuteowników
bisymetrycznych

 = 2;  = 1

dla rur kołowych

 = 2;  = 2

dla rur prostokątnych

 = 

=1,66

dwuteowniki

1

M

M

M

M

β

plz

Sz

α

ply

Sy

































Wniosek II:

Krzywe

nośności granicznej
przekroju metalowego
niepodatnego na
utratę stateczności
miejscowej są wypukłe
i zależą od rodzaju
przekroju.

TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3

o plastycznym

wyrównaniu momentów
zginających (dla układów
prętowych statycznie
niewyznaczalnych)

W stanie sprężystym
moment przęsłowy
M

max

= ql

2

/24, a momenty

podporowe
M

min

= - ql

2

/12.

Po utworzeniu się
przegubów plastycznych
moment „wyrównany” M* :

ql

2

/12 - M = ql

2

/24 + M 

M = ql

2

/48

M* =

ql

2

/48 + ql

2

/24 =

ql

2

/16

Rezerwa nośności
wynikająca z redystrybucji
momentów:

M*/ M

min

= ql

2

/16/ql

2

/12 =

16/12 =

1,33 (33 %)

TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI

Wniosek:

przyrost nośności

zależy od stopnia statycznej
niewyznaczalności oraz sposobu
rozłożenia obciążenia

W stanie sprężystym

moment przęsłowy
M

max

= ql

2

/8, a momenty

podporowe
M

min

= - ql

2

/8 , czyli

momenty są równe
 M = 0
Po utworzeniu się
przegubów
plastycznych moment
„wyrównany” M*:

M* = ql

2

/8

Rezerwa
nośności:

M*/ M

min

= ql

2

/8/ql

2

/8 =

1,00 (0 %)

Tablice Bleicha dla belek ciągłych

M

S

= c

g

gl

2

+ c

p

pl

2

M

S

= c

g

Gl + c

p

Pl

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Schema

t

belki

Sposó

b

wyrów

.

Momen

t

Obciąż. równo

m.
g, p

Obciąż

.

skupion
e
G, P

c

g

c

p

c

g

c

p

2

przęsła

I

M

max

0,086

0,105

0,167

0,198

M

min

-0,086

-0,105

-0,167

-0,198

KLASY PRZEKROJÓW
METALOWYCH

Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju



m

– średnie naprężenie ściskające ściankę,

f

02

– granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)

klasa 1 klasa 2 klasa 3

klasa 4

Z analizy wykresów wynika, że nośność przekroju na zginanie
zależy od grubości ścianek rozpatrywanego przekroju.
(przekrój nr 1 ma najgrubsze ścianki, a kolejne przekroje
ścianki cieńsze od poprzedniego)
Największą nośność mają przekroje nr1 i nr 2 przy czym w
przekroju nr 1 powstanie pełen przegub plastyczny o
nieograniczonym kącie obrotu a w przekroju nr 2 powstanie
również przegub plastyczny lecz odkształcenia skrajnych
włókien przekroju będą ograniczone np. poprzez lokalne
wyboczenie plastyczne przez co ograniczony będzie kąt
obrotu przegubu
Przekrój nr 3 ma mniejszą nośność niż 1 i 2. Nośność tego
przekroju wyznacza osiągnięcie w skrajnym włóknie naprężeń
równych granicy plastyczności;
Najmniejszą nośność uzyska przekrój nr 4. Nośność tego
przekroju wyznaczona jest utratą stateczności sprężystej
ścianki, a więc w dowolnym punkcie przekroju naprężenia nie
mogą przekroczyć wartości naprężeń krytycznych dla
którejkolwiek ścianki przekroju (σR σkr)..

Rozkład naprężeń w
przekroju w chwili
osiągnięcia pełnej nośności
na zginanie w
poszczególnych
klasach przekroju pokazano
na rysunku

Klasa 1

-przekroje,

które osiągają
nośność przegubu
plastycznego
i wykazują przy tym
zdolność do obrotu
niezbędną do
plastycznej
redystrybucji
momentów

-dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB, HEM (w
belkach wieloprzęsłowych i ramach)
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem wszystkich
rezerw plastycznych wg tw. 1, tw. 2 tw. 3

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa

2

-przekroje, które

osiągają nośność
przegubu
plastycznego i
wykazują ograniczoną
zdolność do obrotu
na skutek
niestateczności
miejscowej (w stanie
plastycznym, stąd nie
jest możliwa
plastyczna
redystrybucja
momentów)

- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB, HEM
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem rezerw
plastycznych wg tw. 1 i tw. 2

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa
3

-przekroje, które

wykazują nośność nie
mniejszą niż to
wynika z początku
uplastycznienia
strefy ściskanej, lecz
wskutek
niestateczności
miejscowej (w stanie
sprężysto-
plastycznym) nie
osiągają nośności
przegubu
plastycznego

- kształtowniki zimnogięte, blachownice
- procedury obliczeniowe wg klasycznej
wytrzymałości materiałów (stany sprężyste)

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa
4

-przekroje, które

wskutek
niestateczności
miejscowej (w stanie
sprężystym)
wykazują nośność
mniejszą niż to
wynika z początku
uplastycznienia
strefy ściskanej

- blachownice, kształtowniki zimnogięte,
- procedury obliczeniowe dla blachownic stalowych
wg teorii nośności nadkrytycznej, patrz. rys.:

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

b

e

= b

w



c

KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH

Klasa 4 – współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN

1993-1-5:

- dla ścianki stalowej podpartej na czterech

krawędziach:



c

= 1,0 dla 

p

 0,673



c

= [

p

– 0,055(3+)]/(

p

)

2

dla 

p

> 0,673

- dla ścianki stalowej z krawędzią swobodną:



c

= 1,0 dla 

p

 0,748



c

= [

p

– 0,188]/(

p

)

2

dla 

p

> 0,748

gdzie

σ

cr

y

p

k

28,4ε

b/t

σ

f

λ





KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4 – współczynnik 

c

= 

Klasyfikacja przekrojów stalowych nie
dopuszcza dowolności procedur
obliczeniowych. Zakwalifikowanie przekroju
do konkretnej klasy zobowiązuje
projektanta do ścisłego przestrzegania
procedury. Łamanie tych zasad jest błędem
sztuki, a strat finansowych, jakie ponosi z
tego tytułu gospodarka, gdy konstrukcje są
przewymiarowane, nie można akceptować.

klasyfikacja przekrojów ma na celu określenie stopnia
odporności elementu na zjawiska miejscowej utraty
stateczności w stanach sprężystym i plastycznym.

PARĘ
WAŻNYCH
INFORMACJI Z
NORMY!!!

czyli gdzie bierzemy pod uwagę klasy przekroju

STANY GRANICZNE NOŚNOŚCI

fd= fy/γm0
σ

x,ed

- wzdłużne obliczeniowe naprężenie normalne

σ

z,ed

- poprzeczne obliczeniowe naprężenie normalne

Τ

ed

- obliczeniowe naprężenie ścinające

HIPOTEZA HMH TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

NOŚNOŚĆ PRZEKROJÓW W STANIE SPRĘŻYSTYM:

(POCZĄTEK UPLASTYCZNIENIA PRZEKROJU W ROZPATRYWANYM PUNKCIE
KRYTYCZNYM)

DLA 

XED

= 

NED

+ 

MYED

+ 

MZED

 INTERAKCJA N

S

– M

SY

-

M

SZ

1

f

3

f

σ

f

σ

f

σ

f

σ

2

d

Ed

d

zEd

d

xEd

2

d

zEd

2

d

xEd







































































1

M

M

M

M

N

N

zRd

zEd

yRd

yEd

Rd

Ed







Dla przekrojów klasy 1,2,3, można stosować
liniowe sumowanie wskaźników wykorzystania
nośności poszczególnych wypadkowych
naprężeń

ściskanie

zginanie

zginanie z siłą podłużną

zginanie z siłą podłużną

nośność na wyboczenie

STATECZNOŚĆ ELEMENTÓW PEŁNOŚCIENNYCH

krzywe wyboczenia

smukłość przy wyboczeniu
giętnym

smukłość przy wyboczeniu skrętnym i giętno-
skrętnym

nośność na zwichrzenie

41

Zadanie nr1:

Określić klasę przekroju kształtownika
gorącowalcowanego I200, ściskanego osiowo siłą
N. Kształtownik wykonany ze stali
S 235 H- f

y

= 235 MPa.

 

Dane
h = 200 mm;
s = 90 mm
g = 7,5 mm
t = 11,3 mm
r = 7,5 mm
A = 33,4 cm

2

.

 

 
 

 

 

Rys.Z1

x x

y

s

4

s

h

g

r

t

42

Klasę przekroju należy określać zgodnie z tablicą

5.2

PN-EN 1993-1-1. Klasa przekroju jest ustalana w
zależności od rodzaju kształtownika, rodzaju podparcia
ścianek oraz rozkładu naprężeń i stosunku smukłości
ścianek b/t. W tym konkretnym przypadku rozkład
naprężeń jest taki, jak na poniższym rysunku – element
jest osiowo ściskany.

b

środnik

43

Ustalenie

klasy

przekroju

polega

na

sprawdzeniu odporności przekroju na utratę
stateczności miejscowej ścianek.
Zgodnie z wytycznymi z normy należy
sprawdzić oddzielnie klasę przekroju dla półki i
środnika.

44

Środnik:

fy

235





f

y

– granica plastyczności stali

1

235

235

235







fy



mm

b

r

t

h

b

w

w

4

,

162

5

,

7

2

3

.

11

2

200

2

2























33

1

33

33

65

,

21

5

,

7

4

,

162

















w

w

t

b

45

Środnik kwalifikujemy do klasy I

46

Półka:









...

....

f

f

t

b

mm

b

r

g

s

b

f

f

75

,

33

5

,

7

5

,

7

5

,

0

45

5

,

0

5

,

0





















9

1

9

9

9

,

2

3

,

11

75

,

33

















f

f

t

b

47

Półkę również kwalifikujemy do klasy
I.
Cały kształtownik I200 jest
przekrojem pracującym
w klasie I.

Jeżeli jakakolwiek ze ścianek

kształtownika jest zakwalifikowana

do niższej klasy, to cały przekrój

również należy zakwalifikować do

niższej klasy.

(jeżeli pas jest klasy 1 a środnik klasy 2 to całość jest klasy 2)

DZIĘKUJE
ZA
UWAGĘ :)