Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie

Zamiejscowy Wydział Budownictwa i Instalacji Komunalnych w Turku

Kierunek: budownictwo

studia stacjonarne

rok III , semestr V

Ćwiczenie projektowe z konstrukcji metalowych

PROJEKT DOACHU O KONSTRUKCJI STALOWJ

Dane do projektu:

- całkowita długość budynku L = 30,0 m

- szerokość budynku B = 18,0 m

- rozstaw ram l = 6,0 m

- nachylenie połaci dachowej α = 28º

- wysokość przy okapie h ₀ = 6,0 m

- wysokość w kalenicy:

$h\ = \ h\ 0\ + \ \frac{B}{2} \bullet \ tg\ \alpha\ \ $

$h\ = \ 6,0\ + \ \ \frac{18}{2}\ \ \bullet \ 0,5317\ = \ 10,78$

h   =  10, 78 m

1. OBCIĄŻENIA

1.1. Obciążenia wiatrem wg PN-EN 1991-1-4

1). Podział na strefy obciążenia wiatrem – rysunek NB.1

Przyjęto, że rozpatrywany budynek znajduje się w I strefie obciążenia wiatrem na wysokości A< 300m.n.p.m.

2). Wartość podstawowa bazowej prędkości wiatru Vb,0 – tablica NA.1

v_b, 0  =   22 m/s

3). Przyjęto najbardziej niekorzystny współczynnik kierunkowy wiatru c_dir – tablica NB.2

c_dir   =  1, 0

4). Współczynnik sezonowy c_season – tablica NB.4

c_season   =  1, 0   

5). Bazowa prędkość wiatru V b – wzór 4.1

v_b   =  c_dir   •  c_season  •  v_b, 0

v_b   =    •  1, 0  •  22  =  22, 0 m/s

v_b   =  v_b, 0

6). Wysokość odniesienia – rysunek 7.4 -

Budynek, którego wysokość h jest mniejsza niż b, należy traktować jako jedną część o wysokości odniesienia równej:

z_e  =  h  =  10, 78 m

7). Kategoria terenu – tablica 4.1 , tablica NB. 3

Przyjęto, że teren odpowiada kategorii III (tereny podmiejskie).

Wymiar chropowatości terenu:

 z₀  =  0, 3 m

z_min =  5, 0 m

z_max  =  400, 0 m

8). Wartość charakterystyczna szczytowego ciśnienia prędkości wiatru q_p (z)

8.1) współczynnik turbulencji k₁:

k₁  =  1, 0    

8.2) współczynnik rzeźby terenu c₀ (z) – załącznik A3

c₀(z)   =  1, 0 - brak stoku

8.3) intensywność turbulencji – wzór 4.7

$\text{\ I}\text{v\ }(z)\ = \ \frac{k_{1}}{c_{0}\left( z \right)ln(\frac{z}{z_{0}})}$ = $\frac{1,0}{1,0*ln(\frac{8,41}{0,3})}$

$$\text{\ I}\text{v\ }(z)\ = \text{\ \ }\frac{1,0}{1,0 \times \ln\left( \frac{10,78}{0,3} \right)}\ = \ 0,279$$

8.4) współczynnik chropowatości c_r(z)– tablica NB.3

dla kategorii terenu III

$$c_{r}(z)\ \ = \ 0,8\ \times \ {(\frac{z}{10})}^{0,19}\text{\ \ }$$

$$c_{r}(z)\ \ = \ 0,8\ \times {\ (\ \frac{10,78}{10})\ }^{0,19} = \ 0,811\ $$

8.5) średnia prędkość wiatru  v_m(z)– wzór 4.3

v_m(z)  =  c_r(z)  x c₀(z)  ×   v_b

v_m(z) =  0, 811 •  1, 0  •  22, 0   =  17, 84 m/s

8.6) wartość charakterystyczna szczytowego ciśnienia prędkości wiatru  q_p(z)–

wzór 4.8

gęstość powietrza ρ  =  1, 25 kg/m3

q_p(z)  =  [ 1  +  7   ×  Iv (z) ]  ×  0, 5  × qv²m(z) 

q_p(z)  =  [ 1  +  7   ×  0, 279 ]  ×  0, 5  ×  1, 25  ×  [17, 84 ]² = 587, 39 N/m² 

= 0, 587  kN/m²

9). Wartości współczynnika ciśnienia zewnętrznego dla ścian pionowych budynków na rzucie prostokąta – tablica 7.1

proporcje budynku $\frac{h}{d}\ \ = \ \frac{10,78}{18} = \ 0,48\ \ \ \ \frac{h}{d}\ \ \leq \ \ 0,25$

obszar A c_pe, 10  =    − 1, 2

obszar B c_pe, 10 =   − 0, 8

obszar C c_pe, 10 =   − 0, 5

obszar D c_pe, 10 =   + 0, 7

obszar E c_pe, 10 =   − 0, 3

10). Współczynniki ciśnienia zewnętrznego dla dachów dwuspadowych – tablice 7.4a i 7.4b

obszar F c_pe, 10   =    − 1, 7

obszar G c_pe, 10   =    − 1, 2

obszar H c_pe, 10   =    − 0, 6

obszar I c_pe, 10   =    − 0, 6

obszar J c_pe, 10   =    − 0, 6 

11). Współczynnik ciśnienia wewnętrznego c_pi

przyjęto c_pi   =    + 0, 2 

12).Wartość wiatru w

w  =  (c_pe, 10 c_pi )  •  qp

A :  w   =   (  − 1, 2  −  0, 2 )  •  0, 587  =   − 0, 821

B :  w   =   (  − 0, 8  0, 2 )  •  0, 587  =   − 0, 587

C :  w   =   (  − 0, 5  0, 2 )  •  0, 587  =   − 0, 410

D :  w   =   ( 0, 7  0, 2 )   •  0, 587  =   0, 293

E :  w   =   (  − 0, 3  0, 2)   •  0, 587  =   − 0, 293

F :  w   =   (  − 1, 7  0, 2)   •  0, 587  =   − 1, 115

G :  w  =    (  − 1, 2  − 0, 2 )  •  0, 587  =    − 0, 821

H :  w  =   (  − 0, 6  0, 2 )  •  0, 587  =   − 0, 470

I :  w  =  (  − 0, 6  0, 2 )  •  0, 587  =   − 0, 470

J :  w  =  (  − 0, 6 − 0, 2)  •  0, 587  =   − 0, 470

1.2. Obciążenia śniegiem wg PN-EN 1991-1-3

1). Wartość charakterystyczna obciążenia śniegiem gruntu s_k – tablica NB.1

Przyjęto, że rozpatrywany budynek znajduje się w II strefie obciążenia śniegiem gruntu, na terenie, na którym nie występuje znaczące przenoszenie śniegu przez wiatr na budowlę z powodu ukształtowania terenu, innych budowli i drzew ( teren normalny).

s_k  =  0, 9 kN/m²

2). Współczynnik kształtu dachu μ₁ – punkt 5.3.2 i 5.3.3 tablica 5.2

μ₁ =  0, 8 - dla kąta spadku dachu 0º ≤ α ≤ 30º

3). Współczynnik ekspozycji C_e – tablica 5.1

C_e  =  1, 0

4). Współczynnik termiczny C_t – punkt 5.2(8)

C_t = 1, 0 - dla wszystkich innych przypadków

5). Wartość obciążenia śniegiem s - wzór 5.1

s  =  μ₁ •  C_e  •  C_t •  S_k

s  =  0, 8  •  1, 0  •  1, 0  •  0, 9  =  0, 72 kN/m²

s =  S_k × b = 0, 72 × 6, 0 = 4, 32 kN/m

1.3 Zestawienie obciążeń

2. DOBÓR PŁATWI

Obliczenia obejmują:

- sprawdzenie sztywności ciągłego stężenia bocznego,

- ustalenie klasy przekroju,

- nośność obliczeniową przekroju przy zginaniu,

- nośność płatwi ze względu na zwichrzenie,

- nośność obliczeniową przekroju przy ścinaniu,

- ugięcie w stanie granicznym użytkowalności.

Dane:

• Gatunek stali:    S 235

• Granica plastyczności: f_y = 235 N/mm²

• Moduł sprężystości: E = 210000 N/mm²

• Współczynniki częściowe: γ_M0 = 1, 0,     γ_M1 = 1, 0

• Współczynnik częściowy dla oddziaływania stałego przy obliczaniu górnej wartości obliczeniowej:

γ_G, sup = 1, 35

• Współczynnik częściowy dla oddziaływania stałego przy obliczaniu dolnej wartości obliczeniowej:

γ_G, inf = 1, 00

• Współczynnik częściowy dla oddziaływania zmiennego przy obliczaniu wartości obliczeniowej:

γ_Q = 1, 50

• Współczynnik redukcyjny: ξ = 0, 85

• Rozpiętość płatwi:                         L :  6000 mm

• Rozstaw płatwi: a_roz = 2550 mm

• Pochylenie połaci: α = 28⁰,              cos28⁰ = 0, 8829

• Ciężar warstw pokrycia dachu: 0, 70kN/m²

2.1. Charakterystyka geometryczna przekroju IPE 160

Wysokość przekroju  h  =  160 mm

Wysokość środnika hw  =  160  2  ×  7, 4  =  145, 2 mm

Grubość środnika tw  =  5, 0 mm

Szerokość stopki bf  =  82 mm

Grubość stopki tf   =  7, 4 mm

Promień zaokrąglenia r  =  9 mm

Pole przekroju A  =  20, 1 cm²

Momenty bezwładności:

Iy  =  869 cm⁴

Iz  =  68, 3 cm⁴

Moment bezwładności przy skręcaniu I_T  =  3, 61 cm⁴

Wycinkowy moment bezwładności Iw  =  3958 cm⁶

Wskaźnik sprężysty W_sp, y = 109 cm³

Wskaźnik plastyczności W_pl, y = 124, 3 cm³

Obciążenie płatwi :

Ciężar IPE 180 g_p  =  0, 0, 15 kN/m

Ciężar własny pokrycia dachu g_d  =  0, 70 kN/m²

Obciążenie śniegiem połaci s  = μ₁ •  C_e  •  C_t •  S_k  =  0, 72 kN/m²

Obciążenie wiatrem połaci w_e  =  q_p • (C_pe  C_pi)  = 0, 587 × (−1,2−0,2) =  − 0, 821 kN/m² ( ssanie)

Obciążenia stałe:

G_k  =  g_p  •  cos (28⁰ )   +  g_d  •  a_roz   •  cos (28⁰ )  

G_k =  0, 15  •  0, 8829   +  0, 70  •  2, 55  •  0, 8829   =  1, 71 kN/m

Obciążenia śniegiem:

Q_k, s =  s  •  a_roz  •  cos (28⁰ )   

 Q_k, s  =  0, 72  • 2, 55  •  0, 8829   =  1, 621 kN/m

Obciążenia wiatrem:

Q_k, w  =   w_e   • a_roz

Q_k, w  =    − 0, 821  •  2, 55  =   − 2, 09 kN/m

2.2. Kombinacje obciążeń stanu granicznego nośności (ULS)

- kombinacja 1 –

F_uls, e1  =  ξ  •  γ_G, sup  •  G_k  +  γ_Q  • Q_k, s

F_uls, e1  =  0, 85  •  1, 35  •  1, 71  +  1, 5  •  1, 621  =  4, 394 kN/m

- kombinacja 2 –

F_uls, e2  =   γ_G,inf  •  G_k  +  γ_Q  •  Q_k,w

F_uls, e2  =   1, 0  •  1, 71  −  1, 5  •  2, 09  =   −  1, 425 kN/m 

Maksymalny moment przęsłowy:

- kombinacja 1 –

M_{Ed, y, c1} =  0, 125  •  F_uls, e1  •  L²

M_{Ed, y, c1}  =  0, 125  •  4, 394  •  6, 0²  =  19, 773  kNm

-kombinacja 2 –

M_{Ed, y, c2}  =  0, 125  • F_uls, e2  •  L²

M_{Ed, y, c2} =  0, 125  •  (−1,425) •  6, 0²  =   − 6, 41 kNm

Maksymalna siła tnąca przy podporze:

- kombinacja 1 –

V_{Ed, z, e1}   =  0, 5  •  F_uls, e1 •  L 

V_{Ed, z, e1}   =  0, 5  •  4, 394   •  6, 0  =  13, 18 kN

-kombinacja 2 –

V_{Ed, z, e2}   =  0, 5  •  F_uls, e2 •  L 

V_{Ed, z, e2}   =  0, 5  •  (−1, 425)   •  6, 0  =   − 4, 275 kN

2.3 Wymiarowanie elementu

1. klasa przekroju przy zginaniu względem osi y-y

Współczynnik $\varepsilon\ = \ \sqrt{235/235}\ = \ 1,0\ $

Stosunek szerokości do grubości:

- środnika-

$\frac{c}{t} = \frac{h - 2t_{f} - 2r}{t_{w}} = \frac{160 - 2*7,4 - 2*9}{5,0} = 25,44 < 72\varepsilon = 72 \times 1,0 = 72$

(przy zginaniu środnik jest klasy 1)

-stopki-

$\frac{c}{t} = \frac{b_{f} - t_{w} - 2r}{2t_{f}} = \frac{82 - 5,0 - 2*9}{2 \times 7,4} = 3,97 < 9\varepsilon = 9 \times 1,0 = 9,0$

(przy zginaniu stopka jest klasy 1 )

Przy zginaniu względem osi y-y przekrój jest klasy 1

1. nośność obliczeniowa przekroju przy zginaniu względem osi y-y

$M_{c,y,Rd}\ = \ M_{pl,y,Rd}\ = \ \frac{W_{pl,y}\ \times \ f_{y}}{\gamma_{\text{MO}}}\ = \ \frac{124,3 \times 10^{3} \times 235}{1,0}\ = \ 29,2 \times 10^{6}Nmm = 29,2\ kNm$

Warunki nośności przekroju przy zginaniu:

-kombinacja 1 –

$$\frac{M_{y,Ed,c1}}{M_{c,y,Rd}} = \frac{19,773}{29,2} = 0,68 < 1,0$$

- kombinacja 2 –

$$\frac{M_{y,Ed,c2}}{M_{c,y,Rd}} = \frac{6,41}{29,2} = 0,22 < 1,0$$

1. nośność ze względu na zwichrzenie:

Moment krytyczny

M_cr = 33, 3 kNm

Smukłość względna:

$\lambda_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} \times f_{y}}{M_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{124,3 \times 10^{3} \times 235}{33,3 \times 10^{6}}} = 0,936$

W przypadku dwuteowników walcowanych można przyjąć:

λ_LT, 0   =  0, 4 

Sprawdzenie warunku nośności ze względu na zwichrzenie, ponieważ:

λ_LT  =  0, 936  >  λ_LT, 0

Współczynnik zwichrzenia:

W przypadku dwuteowników walcowanych, gdy h/b=1,95<2 oraz gdy korzysta się z powyższych wzorów, obowiązuje krzywa zwichrzenia b, wtedy parametr im perfekcji α_LT = 0, 34.

Gdy λ_LT, o=0,4 oraz β=0,75, otrzymuje się:

Φ_LT = 0, 5[1+0,34(0,936−0,4)+0,75×0, 936²]=0,92

$$\chi_{\text{LT}} = \frac{1}{0,92 + \sqrt{{0,936}^{2} - 0,75 \times {0,92}^{2}}} = 0,709$$

przy czym:

χ_LT = 0, 709 < 1, 0      oraz

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ χ}_{\text{LT}} = 0,709 < \frac{1}{\lambda_{\text{LT}^{2}}} = \frac{1}{0,92}$=1,086

Nośność belki na zwichrzenie:

$$M_{b,y,Rd} = \text{\ χ}_{\text{LT}} \times \frac{W_{pl,y}}{\gamma_{M1}} = 0,709 \times 124,3 \times 10^{3} \times \frac{235}{1,0} = 30,2 \times 10^{6}Nmm = 20,71\ kNm$$

Sprawdzenie nośności belki ze względu na zwichrzenie:

$$\frac{M_{y,Ed,c2}}{M_{b,y,Rd}} = \frac{6,41}{20,71} = 0,31 < 1,0$$

Warunek jest spełniony.

Sprawdzenie nośności belki przy ścinaniu przy podporze:

Warunek stateczności miejscowej przy ścinaniu:

$$\frac{h_{w}}{t_{w}} = \frac{160 - 2 \times 7,4}{5,0} = 29,4 < 72\frac{\varepsilon}{\eta} = 72\frac{1,0}{1,2} = 60$$

Środnik nie jest wrażliwy na niestateczność przy ścinaniu.

Pole przekroju czynnego:

A_v, z = A − 2b × t_f + (t_w+2r)t_f = 20, 1 × 10² − 2 × 82 × 7, 4 + (5,0+2×9) × 7, 4 = 966, 6 mm²

A_v,  z = 966, 6 mm²

Lecz nie mniej niż 𝜼h_wt_w = 1, 2 × (160−2×7,4) × 5, 0 = 871, 2 mm²

(przyjęto 𝜼=1, 2).

Obliczeniowa nośność przekroju przy ścinaniu:

$V_{pl,z,Rd} = \frac{A_{v,z}\left( \frac{\text{fy}}{\sqrt{3}} \right)}{\gamma_{M0}}$=$\frac{966,6 \times \left( \frac{235}{\sqrt{3}} \right)}{1,0} = 131,0 \times 10^{3}N = 131,0kN.$

Warunki nośności przy podporze:

Kombinacja1: $\frac{V_{z,Ed,c1}}{V_{pl,z,Rd}} = \frac{13,18}{1310} = 0,1 < 1,0$

Kombinacja2: $\frac{V_{z,Ed,c2}}{V_{pl,z,Rd}} = \frac{4,2}{131,0} = 0,03 < 1,0$

Rozkład momentu zginającego i siły tnącej jest taki, że można nie brać pod uwagę wpływu siły poprzecznej na nośność przekroju przy zginaniu.

Stan graniczny użytkowalności (SLS):

Kombinacja3:

G_k + Q_k, s = 1, 71 + 1, 621 = 2, 772 kN/m

Ugięcie belki całkowite:

$$w_{\text{tot}} = \frac{5\left( G_{k} + Q_{k,s} \right)L^{4}}{384\text{EI}_{y}} = \ \frac{5 \times 2,772 \times 6000^{4}}{384 \times 210 \times 10^{3} \times 869 \times 10^{4}} = 25,63\ mm$$

Ugięcie belki maksymalne:

w_max = w_tot = 25, 63 mm

Ugięcie od obciążeń (G_k+Q_k, s) wynosi L/234.

Kombinacja4:

Q_k, s = 1, 621 kN/m

Ugięcie od obciążenia śniegiem:

$$w_{3} = \frac{5Q_{k,s}L^{4}}{384\text{EI}_{y}} = \frac{5 \times 1,621 \times 6000^{4}}{384 \times 210 \times 10^{3} \times 869 \times 10^{4}} = 14,99\ mm$$

Ugięcie od obciążenia Q_k, s wynosi L/400

Ugięcie pionowe płatwi nie powinno przekraczać wartości granicznej:

$$w_{s} = \frac{1}{200}L = \frac{1}{200}6000 = 30,0\ mm$$

Warunki stanu granicznego użytkowalności:

w₃ = 14, 99 mm < w_max = 25, 63 mm < w_s = 30, 0 mm

Warunki są spełnione.

3. Sprawdzanie nośności prętów kratownicy.

• Pas górny:

W pasie górnym kratownicy, największa siła występuje w pręcie 5.

Ściskanie: N_Ed= -350 kN

Rozciąganie: N_Ed= 24,9 kN

Sprawdzenie nośności zostanie wykonane tylko dla tego elementu, gdyż w pozostałych elementach pasa, wartości sił są mniejsze.

Pas górny składa się z profilu typu HEB 120 wykonany ze stali S235

HEB 120

• h=120 mm

• b=120mm

• t_w=6,5 mm

• t_f=11,0 mm

• r=12,0mm

• A=34,00cm²

• I_y=864,0cm⁴ I_z=318,0cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Warunki geometryczne ścianki środnika: ε = 1

$\frac{c}{t} = \frac{h - 2t_{f} - 2r}{t_{w}} = \frac{120 - 2*11 - 2*12}{6,5} = 11,4 < 33\varepsilon$

Warunki geometryczne ścianki pasa(stopki):

$\frac{c}{t} = \frac{b - t_{w} - 2r}{2t_{f}} = \frac{120 - 6,5 - 2*12}{2*11} = 4 < 9\varepsilon$

Przekrój sprawdzonego dwuteownika spełnia warunki dot. przekroju klasy 1

Wyboczenie w płaszczyźnie kratownicy:

$$L_{\text{cr}} = \frac{L}{cos28} = \frac{2,25}{0,883} = 2,54m$$

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (y-y) α = 0, 34

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{y}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*854*10^{- 8}}{6,45} = 2773,5\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{34*10^{- 4}*235*10^{3}}{2773,5}} = 0,537$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,34(0,537−0,2)+0, 537²]=0,7

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{0,7 + \sqrt{{0,7}^{2} - {0,537}^{2}}} = 0,87$$

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (z-z) α = 0, 49

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{z}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*318*10^{- 8}}{6,45} = 1020,8\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{34*10^{- 4}*235*10^{3}}{1020,8}} = 0,885$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,49(0,885−0,2)+0, 885²]=1,06

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{1,06 + \sqrt{{1,06}^{2} - {0,885}^{2}}} = 0,61$$

$$N_{b,Rd} = \frac{X*A*f_{y}}{\gamma_{M1}} = \frac{0,61*43,1*10^{- 4}*355*10^{3}}{1,0} = 487,4$$

487, 4kN > 350kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{350}{487,4} = 0,72 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność przy ściskaniu wykorzystana w 72 %.

• Nośność pasa górnego elementu na rozciąganie:

$$N_{b,Rd} = \frac{A*f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{34*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 799\ kN$$

799kN > 24, 9kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{24,9}{799} = 0,03 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność przy rozciąganiu wykorzystana w 3 %.

Pręty skratowania 60x60x4,0

H 60x60x4,0

• h=60 mm

• b=60mm

• t_w=4,0 mm

• t_f= 4,0mm

• r=2,6 mm

• A=8,8 cm²

• I_y=45,4 cm⁴ I_z=45,4 cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Warunki geometryczne rury: ε = 1

$\frac{c}{t} = \frac{60}{4,0} = 15 < 33\varepsilon$

Przekrój sprawdzanej rury kwadratowej spełnia warunki dot. przekroju klasy 1

Najbardziej wytężone pręty skratowania 16 i 19

Ściskanie: N_Ed= -82,6 kN

Rozciąganie: N_Ed= 12,0 kN

Wyboczenie z płaszczyźnie kratownicy:

L_cr = 2, 8

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (y-y)

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{y}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*45,4*10^{- 8}}{7,84} = 119,9\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{119,9}} = 1,31$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,21(1,31−0,2)+1, 31²] = 1, 47

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{1,47 + \sqrt{{1,47}^{2} - {1,31}^{2}}} = 0,49$$

$$N_{b,Rd} = \frac{X*A*f_{y}}{\gamma_{M1}} = \frac{0,49*8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 119,74kN$$

101.4 kN  > 82, 6 kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{82,6}{101.4} = 0,81 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność przy ściskaniu wykorzystana w 81 %.

• Nośność na rozciąganie:

$$N_{b,Rd} = \frac{A*f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 206,8\ kN$$

206, 8 kN > 12, 0 kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{12,0}{206,8} = 0,06 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność przy rozciąganiu wykorzystana w 6 %.

Pręt łączący 13

Ściskanie: nie występuje

Rozciąganie: N_Ed= 176,5 kN

H 60x60x4,0

• h=60 mm

• b=60mm

• t_w=4,0 mm

• t_f= 4,0mm

• r=2,6 mm

• A=8,8 cm²

• I_y=45,4 cm⁴ I_z=45,4 cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Wyboczenie z płaszczyźnie kratownicy:

L_cr = 6, 00

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (y-y)

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{y}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*45,4*10^{- 8}}{36} = 26,1\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{26,1}} = 2,81$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,21(2,81−0,2)+2, 81²] = 4, 72

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{4,72 + \sqrt{{4,72}^{2} - {2,81}^{2}}} = 0,12$$

$$N_{b,Rd} = \frac{X*A*f_{y}}{\gamma_{M1}} = \frac{0,12*8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 24,82\ kN$$

Warunek został spełniony.

• Nośność na rozciąganie:

$$N_{b,Rd} = \frac{A*f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{8,8*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 206,8\ kN$$

206, 8 kN > 176, 5 kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{176,5}{206,8} = 0,85 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W elemencie tego przekroju nośność przy rozciąganiu wykorzystana w 85 %.

Pręt skratowania o przekroju 50x50x4,0

H 50x50x4,0

• h=50 mm

• b=50mm

• t_w=4,0 mm

• t_f=4,0 mm

• r=2,6 mm

• A=7,2 cm²

• I_y=24,1 cm⁴ I_z=24,1 cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Warunki geometryczne rury: ε = 1

$\frac{b}{t} = \frac{50}{4,0} = 12,5\ < 33\varepsilon$

Przekrój sprawdzonej rury kwadratowej spełnia warunki dot. przekroju klasy 1

Najbardziej wytężone pręty skratowania 14 i 23

Ściskanie: N_Ed= -40,8 kN

Rozciąganie: N_Ed= 6,4 kN

Wyboczenie z płaszczyźnie kratownicy:

L_cr = 1, 4

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (y-y)  α = 0, 21

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{y}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*24,1*10^{- 8}}{1,96} = 254,6\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{7,2*10^{- 4}*235*10^{3}}{254,6}} = 0,81$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,21(0,81−0,2)+0, 81²] = 0, 89

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{0,89 + \sqrt{{0,89}^{2} - {0,81}^{2}}} = 0,79$$

$$N_{b,Rd} = \frac{X*A*f_{y}}{\gamma_{M1}} = \frac{0,79*7,2*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 133,7$$

133, 7kN > 40, 08kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{40,08}{133,7} = 0,3 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność wykorzystana w 30 %.

• Nośność na rozciąganie:

$$N_{b,Rd} = \frac{A*f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{7,2*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 169,2\ kN$$

191kN > 6, 4kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{C,\ Rd}} = \frac{6,4}{169,2} = 0,04 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność wykorzystana w 4%.

Pas dolny:

W pasie dolnym kratownicy, największa siła występuje na w pęcie 1, tuż przy podporze,

Ściskanie: N_Ed= -9,8 kN

Rozciąganie: N_Ed= 308,8 kN

Sprawdzenie nośności zostanie wykonane tylko dla tego elementu, gdyż w pozostałych elementach pasa, wartości sił są mniejsze.

Pas dolny składa się z profilu typu HEB 100 wykonany ze stali S235

HEB 100

• h=100 mm

• b=100mm

• t_w=6,0 mm

• t_f=10,0 mm

• r=12,0mm

• A=26,00cm²

• I_y=450,0cm⁴ I_z=167,0cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Warunki geometryczne ścianki środnika: ε = 1

$\frac{c}{t} = \frac{h - 2t_{f} - 2r}{t_{w}} = \frac{100 - 2*10 - 2*12}{6,0} = 9,7 < 33\varepsilon$

Warunki geometryczne ścianki pasa(stopki):

$\frac{c}{t} = \frac{b - t_{w} - 2r}{2t_{f}} = \frac{100 - 6,0 - 2*12}{2*10} = 3,6 < 9\varepsilon$

Przekrój sprawdzonego dwuteownika spełnia warunki dot. przekroju klasy 1

Wyboczenie w płaszczyźnie kratownicy:

L_cr = 3, 00

• Sprawdzenie nośności elementu ściskanego na wyboczenie (y-y) α = 0, 34

$$N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}*EI_{y}}{L_{\text{cr}}^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*210*10^{6}*450*10^{- 8}}{9} = 1035,26\ kN$$

$$\lambda = \sqrt{\frac{A*f_{y}}{N_{\text{cr}}}} = \sqrt{\frac{26*10^{- 4}*235*10^{3}}{1035,26}} = 0,768$$

ϕ = 0, 5[1+α(λ−0,2)+λ²] = 0, 5[1+0,34(0,768−0,2)+0, 768²] = 0, 89

$$X = \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^{2} - \lambda^{2}}} \leq 1,0$$

$$X = \frac{1}{0,89 + \sqrt{{0,89}^{2} - {0,768}^{2}}} = 0,746$$

$$N_{b,Rd} = \frac{X*A*f_{y}}{\gamma_{M1}} = \frac{0,746*26,0*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 455,8$$

455, 8 kN > 9, 8 kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{b,\ Rd}} = \frac{9,8}{455,8} = 0,02 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność wykorzystana w 2%.

• Nośność pasa górnego na rozciąganie:

$$N_{b,Rd} = \frac{A*f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{26*10^{- 4}*235*10^{3}}{1,0} = 611\ kN$$

611kN > 308, 8 kN

$$\frac{N_{\text{ED}}}{N_{b,\ Rd}} = \frac{308,8}{611} = 0,51 < 1,0$$

Warunek został spełniony.

W najbardziej wytężonym elemencie tego przekroju nośność wykorzystana w 51%.

4.Nośność spoin pachwinowych, metoda uproszczona:

Połączenie słupka nr 6 (RK 60x60x4,0) z pasem górnym

Dane:

h=60mm

b=60mm

t_w=4,0 mm

t_f= 4,0mm

r=2,6 mm

A=8,8 cm² = 880mm²

stal S235; f_y = 235 N/mm²

f_u = 360N/mm²

F_ED = N_Ed = 82 kN

1. Przyjęto wymiary spoiny:

wokół przekroju rurowego: a_wf =  a_ww = 4 mm >  a_w, min. = 3 mm

l_min. = 30 mm < l_w = 4 x60 mm = 240 mm < 150a = 150 * 4 = 600 mm

2. Pole przekroju spoin:

A_w = a_w*l_w = 4 * 240 = 960 mm²

3. Określenie najbardziej wytężonego punktu spoiny i obliczenie składowych naprężenia

w tym punkcie:

Ze względu na obciążenie osiowe cała spoina jest obciążona równomiernie, a naprężenia

w spoinach wynoszą:

$$\tau_{w} = \frac{F_{\text{Ed}}}{A_{w}} = \frac{82*10^{3}}{960} = 85,5\ N/\text{mm}^{2}$$

4. Obliczanie wytrzymałości spoiny na ścinanie:

β_w = 0, 8

$$f_{vw,d} = \frac{f_{u}/\sqrt{3}}{\beta_{w}{*\gamma}_{m2}} = \frac{360/\sqrt{3}}{0,8*1,25} = 207,8\ N/\text{mm}^{2}$$

5. Sprawdzenie warunku nośności:

$$\tau_{w} = 85,5\frac{N}{\text{mm}^{2}} < 207,8\ \frac{N}{\text{mm}^{2}} = f_{vw,d}$$

Nośność spoin jest wystarczająca.

Połączenie pasa górnego (HEB 120) z blachą węzłową

Dane:

h =120 mm

b =120 mm

t_w = 6, 5 mm

t_f = 11, 0 mm

r = 12mm

A = 34 cm² = 3400 mm²

$F_{\text{ED}} = F_{w,Rd} = N_{t,Rd} = \frac{A_{w}f_{y}}{\gamma_{m0}} = \frac{3400*235}{1} = 799*10^{3} = 799\ kN$

stal S235; f_y = 235 N/mm²

f_u = 360N/mm²

1. Przyjęto wymiary spoiny:

na środniku: a_ww = 6mm >  a_w, min. = 3 mm

na pasach: a_wf = 6mm >  a_w, min. = 3 mm

l_min. = 30 mm < l_ww = d = 122 mm < 150a = 150 * 6 = 900 mm

d = h − 2(t_f+r) = 120 − 2(11+12) = 74 mm

$$c = \frac{\left( b - t_{w} - 2r \right)}{2} = \frac{\left( 120 - 6,5 - 2*12 \right)}{2} = 44,75\ mm$$

pole przekroju spoin:

A_w = 2 * (a_ww*l_ww + a_wf*b_f + 2 * a_wf * c = 2 * (6*74+6*120+2*6*44,75) = 3402mm²

3. Określenie najbardziej wytężonego punktu spoiny i obliczenie składowych naprężenia

w tym punkcie:

Ze względu na obciążenie osiowe cała spoina jest obciążona równomiernie, a naprężenia

w spoinach wynoszą:

Naprężenia w spoinach:

$$\sigma_{\bot} = \tau_{\bot} = \frac{F_{\text{Ed}}}{\sqrt{2}*A_{w}} = \frac{799*10^{3}}{\sqrt{2}*3402} = 166,1\ N/mm$$

4. Sprawdzanie warunku nośności

Stal S235, współczynnik korelacji β=0,8

wartość współczynnika częściowego bezpieczeństwa γ_M2 = 1, 25

$$\sqrt{\sigma_{\bot} + 3*({\sigma_{\bot}}^{2} + {\tau_{\parallel}}^{2})} < \frac{f_{u}}{\beta_{w}*\gamma_{M2}}$$

$$\sqrt{166,1 + 3*({166,1}^{2} + 0^{2})} = 332,2\frac{N}{mm^{2}} < \frac{360}{0,8*1,25} = 360\ N/mm$$

oraz

$$\sigma_{\bot} = 166,1\frac{N}{mm^{2}} < 0,9*\frac{360}{1,25} = 259,2\ N/mm$$

Nośność spoin jest wystarczająca.

Sprawdzenie nośności styku montażowego wykonanego z dwuteownika HEB 120 z blachą czołową o grubości 16 mm wykonanych ze stali S235. Obliczeniowa siła rozciągająca ma wartość 54,9 kN.

HEB 120

• h=120 mm

• b=120mm

• t_w=6,5 mm

• t_f=11,0 mm

• r=12,0mm

• A=34,00cm²

• I_y=864,0cm⁴ I_z=318,0cm⁴

• f_y=235*10⁶ Pa

• E=210*10⁹Pa

Blacha czołowa:

• h=140 mm

• b=140mm

• t_p=16,0 mm

Śruby M16 kl. 8.8

• d=16 mm

• A=201 mm

• A_s=157 mm

• f_yb=640 N/mm²

• f_ub=800 N/mm²

• d₀=18mm

• $F_{t,Rd} = \frac{k_{2}*f_{\text{ub}}*A_{s}}{\gamma_{M2}} = \frac{0.9*800*157}{1,25} = 90432\ N$

a_w = a_f = 6mm

Częściowy współczynnik bezpieczeństwa:

γ_M2 = 1, 25

Rozstaw śrub:

p=60mm>2,2d₀=39,6

e=30 mm>1,2d₀=21,6

w=80mm

$$m = \frac{w - t - 2*0,8*a_{w}*\sqrt{2}}{2} = \frac{80 - 6,5 - 2*0,8*6*\sqrt{2}}{2} = 29,9mm$$

$$n = e_{\min} = \frac{140 - 80}{2} = 30mm < 38,6\ mm = 1,25*m$$

$$m_{2} = \frac{h - p - 2*t_{f} - 2*0,8*a_{f}*\sqrt{2}}{2} = \frac{120 - 60 - 2*11,0 - 2*0,8*6,0*\sqrt{2}}{2} = 12,2\ $$

$$\lambda_{I} = \frac{m}{m + e} = \frac{29,9}{29,9 + 30} = 0,5$$

$$\lambda_{2} = \frac{m_{2}}{m + e} = \frac{12,2}{12,2 + 30} = 0,29$$

$$l_{\text{eff}} = \left\{ \begin{matrix} l_{eff,cp} = 3,14*m + p = 3,14*29,9 + 60 = 153,9mm \\ l_{eff,nc} = 0,5*p + \alpha*m - \left( 2*m + 0,625e \right) = 0,5*60 + 6*29,9 - 78,5 = 130,9 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$M_{pl,Rd} = 0,25*l_{\text{eff}}*t_{p}^{2}*\frac{f_{y}}{\gamma_{M0}} = 0,25*130.9*16^{2}*235 = 1,968*10^{6}\text{Nmm}$$

$$F_{t,Rd} = min\left\{ \begin{matrix} F_{T1,Rd = \frac{4*M_{\text{pl.Rd}}}{m}} \\ F_{T2,Rd} = \frac{2*M_{pl,2Rd + n\sum_{}^{}F_{t,Rd}}}{m + n} \\ F_{T3,Rd} = \sum_{}^{}F_{t,Rd} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$F_{t,Rd} = min\left\{ \begin{matrix} F_{T1,Rd = \frac{4*1,968*10^{6}}{29,9} = 263277N} \\ F_{T2,Rd} = \frac{2*1,968*10^{6} + 30*90432}{59,9} = 111001N \\ F_{T3,Rd} = 2*90432 = 180864N \\ \end{matrix} \right.\ $$

Nośność środnika belki przy rozciąganiu:

$$F_{t,wb,Rd} = b_{\text{eff}}*t_{\text{wb}}*\frac{f_{y}}{\gamma_{M0}} = 130,9*6,5*235 = 199949,7N$$

Ostateczna nośność pojedynczego rzędu śrub jest mniejsza z nośności blachy czołowej przy zginaniu i środnika belki przy rozciąganiu. Decyduje tutaj nośność środnika belki, a więc nośność połączenia wynosi:

F_Rd = 2 * F_{t, wb, Rd} = 2 * 199949, 7N = 399899N = 399, 9kN > 54, 9kN = F_Ed

Warunek nośności połączenia jest spełniony.

Sprawdzenie nośności styku montażowego dwuteownika HEB 100 z rurą kwadratową za pomocą połączenia zakładkowego na śruby .

Obliczeniowa siła rozciągająca ma wartość 176,5 kN.

stal gatunku S235 → t ≤ 40mm

f_y = 235 N/mm²

f_u = 360N/mm²

Śruby M16 kl. 8.8

• d=16 mm

• A=201 mm

• A_s=157 mm²

• f_yb=640 N/mm²

• f_ub=800 N/mm²

• d₀=18mm

blacha:

t₁ = 6mm

t₂ = 10mm

d₀ = 8mm

1. Sprawdzenie poprawności rozmieszczenia łączników:

e₁ = 30mm > 1, 2d₀ = 9, 6

e₂ = 25mm > 1, 2d₀ = 9, 6

p₁ = 60mm > 2, 2d₀ = 17, 6

p₂ = 30mm > 2, 4d₀ = 19, 2

L_j = 2 * p₁ = 2 * 60 = 120mm  ≤ 15 * d = 15 * 16 = 240 mm  → zlacze nie nalezy do kategori polaczen dlugich 

Nośność śruby na ścinanie:

założono, że płaszczyzna ścinania nie przechodzi przez część gwintowaną śruby, zatem α_v = 0, 6. Nośność na ścinanie w jednej płaszczyźnie wynosi:

$$F_{v,Rd} = \frac{a_{v}*f_{\text{ub}}*A_{s}}{\gamma_{M2}} = \frac{0,6*800*157}{1,25} = 60,288*10N = 60,28kN$$

śruba jest dwucięta, zatem:

2 * F_v, Rd = 2 * 60, 28kN = 120, 56kN

Nośność śruby na docisk:

$$F_{b,Rd} = \frac{k_{1}{*\alpha}_{b}*f_{u}*t*d}{\gamma_{M2}}$$

• śruby skrajne w kierunku obciążenia i skrajne prostopadłe do obciążenia:

$$\alpha_{b} = min. = \left\lbrack \alpha_{d} = \frac{e_{1}}{3*d_{0}} = \frac{30}{3*18} = 0,55;\ \frac{f_{\text{ub}}}{f_{u}} = \frac{800}{360} = 2,22;\ \ 1,0 \right\rbrack = 0,55$$

$$k_{1} = 2,8*\frac{e_{2}}{d_{0}} = 2,8*\frac{25}{18} = 3,88\ \geq 2,5$$

zatem:

$$F_{b,Rd} = \frac{3,88*0,55*360*16*20}{\gamma_{M2}} = 19669,44N = 196,7kN$$

• śruby pośrednie w kierunku obciążenia i skrajne prostopadłe do obciążenia:

$$\alpha_{b} = min. = \left\lbrack \alpha_{d} = \frac{p_{1}}{3*d_{0}} - \frac{1}{4} = \frac{60}{3*18} - \frac{1}{4} = 0,86;\ \frac{f_{\text{ub}}}{f_{u}} = \frac{800}{360} = 2,22;\ \ 1,0 \right\rbrack = 0,86$$

k₁ = 2, 5

zatem:

$$F_{b,Rd} = \frac{2,5*0,86*360*16*20}{\gamma_{M2}} = 198144N = 198,1\ kN$$

2. Sprawdzanie nośności grupy łączników:

Najmniejszą otrzymaną wartością jest nośność śruby na ścinanie Fv,Rd = 120,6 kN, dlatego nośność grupy łączników jest iloczynem liczby łączników nb i nośności na ścinanie Fv,Rb.

F_Rd =  n_b * F_v, Rd = 4 * 120, 6 = 482, 4kN

3. Sprawdzenie nośności przekroju netto:

- pole przekroju osłabionego łącznikami wynosi:

A_net. = (b−2*d_o) * t₂ = (2e₂+p₂−2*d_o) * t₂ = (2*25+30−2*18) * 10 = 440mm²

Nośność blachy:

$$N_{u,Rd} = \frac{0,9*\ A_{\text{net.}}*f_{u}}{\gamma_{M2}} = \frac{0,9*440*360}{1,25} = 214048N = 214\ kN$$

Warunek:

F_Rd = 482, 4kN  ≥ N_Ed176, 5 kN

N_u, Rd = 214 kN  ≥  N_Ed176, 5 kN

Nośność jest wystarczająca do przeniesienia założonego obciążenia.