Fizyka jądrowa
Wybrane problemy
Opracowano np. skryptu prof. A. Rogalskiego
Wykład – 12a -
Fizyka jądrowa
Wybrane problemy
Opracowano np. skryptu prof. A. Rogalskiego
Wykład – 12a -
Fizyka jądrowa jest nauką o budowie jądra atomo-
wego, jego przemianach promieniotwórczych i jego
oddziaływaniach z innymi jądrami i cząstkami.
Rozdział ten poświęcamy głownie wyjaśnieniu
struktury i właściwości jąder atomowych. Przedsta-
wimy też praktyczne zastosowania oddziaływań
jądrowych, takich jak reakcji rozszczepienia i synte-
zy jądrowej. Opierając się na prawach podstawo-
wych będziemy próbowali przewidzieć rozmiary,
energię wiązania, poziomy energetyczne i inne
właściwości jąder atomowych.
Pojęcia wstępne
Pojęcia wstępne
Jądra można podzielić na dwie grupy:
jądra trwałe, czyli stabilne i
jądra nietrwałe, czyli promieniotwórcze.
Każde jądro składa się z protonów i neutro-nów
związanych siłami jądrowymi.
Ponieważ neutron i proton mają prawie taką
samą masę i bardzo zbliżone właściwości, więc
obydwa określa się nazwą nukleon
(m
n
= 1,674×10
–27
kg; m
p
= 1,672×10
–27
kg, czyli m
p
= 1836,1m
e
i m
n
= 1838,6m
e
).
Nazwa nuklid jest stosowana dla każdego jądra
większego niż nukleon.
X
A
Z
Nuklid pierwiastka o ogólnym symbolu chemicznym
X, mający liczbę nukleonów A, w tym liczbę
protonów Z, oznaczamy symbolem .
Nuklidy o tej samej liczbie Z noszą nazwę
izotopów
,
o tej samej liczbie A – izobarów
.
Jądra zawierające jednakowe liczby neutronów,
czyli N = A – Z = const, nazywamy izotonami.
Liczbę Z nazywamy liczbą atomową lub liczbą
porządkową, a liczbę A – liczbą masową.
W miarę wzrostu liczby atomowej Z, liczba
neutronów coraz bardziej przewyższa liczbę proto-
nów w jądrach kolejnych pierwiastków układu okre-
sowego (patrz rys.
N = Z
N
Z
0
Liczba neutronów N w miarę
wzrostu liczby atomowej Z coraz
bardziej przewyższa liczbę proto-
nów w jądrach kolejnych pier-
wiastków.
Wartość liczby A dla jądra atomowego jest bardzo
bliska masie odpowiadającego mu atomu. Nuklid
został wybrany dla zdefiniowania jednostki masy ato-
mowej (j.m.a. = 1,66×10
–27
kg) – wynosi ona dokła-
dnie 12. Dlatego mówimy, że skala masy atomowej
opiera się na jądrze . Jednostka masy atomowej, w
przeliczeniu na energię zgodnie ze wzorem Einsteina
E = mc
2
, jest równoważna energii 931 MeV.
C
12
6
C
12
6
Znanych jest obecnie 105 pierwiastków chemi-
cznych, z których przeważająca większość posiada
izotopy. Istnieje około 300 izotopów trwałych i
powyżej 1000 nietrwałych (promieniotwórczych).
Nukleony posiadają spin połówkowy, tj. ½ħ . Spin
jądra złożonego z parzystej liczby nukleonów jest
liczbą całkowitą (w jednostkach ħ). Natomiast spin
jądra złożonego z nieparzystej liczby cząstek jest
liczną połówkową (w jednostkach ħ). Jądra ato-mowe
oprócz spinu mają także momenty magnety-czne.
Jednostką momentu magnetycznego jądra jest
wprowadzony, analogicznie do magnetronu Bohra,
tzw. magnetron jądrowy
B
p
n
m
e
3
10
2
B
p
n
m
e
3
10
2
który jest zdefiniowany takim samym wzorem jak
magnetron Bohra, tylko masa elektronu m
e
jest
zastąpiona masą protonu m
p
. Magnetron jądrowy
jest razy mniejszy od wartości magnetronu Bohra.
Rozmiar jądra
Najprostszym sposobem określenia rozmiaru i rozkładu masy
jądra jest rozpraszanie dyfrakcyjne wysokoenergetycznych czą-
stek. Wynikiem doświadczeń Rutherforda (1911 r.) polegają-
cych na rozpraszaniu cząstek a przez cienkie folie złota, było
odkrycie jądra atomowego i oszacowanie jego rozmiarów (pro-
mień mniejszy od 10
–14
m). Później jako wiązki o małej długo-ści
fali stosowano wysokoenergetyczne protony i neutrony. Wy-niki
tych pomiarów wykazują, że średni promień dla wszystkich
jąder oprócz najmniejszych jest dany wzorem
3
1
15
10
2
1
A
m
.
R
W fizyce jądrowej i fizyce cząstek elementarnych wiel-kość
10
–15
m pojawia się często i wprowadzono dla niej nazwę
fermii.
Jeżeli potraktujemy jądro jako kroplę cieczy jądrowej to liczba
cząstek na jednostkę objętości wynosi
Gęstość masy to iloczyn tej liczby i masy nukleonu
kg/m
3
=
kg/m
3
.
Wynika stąd, że 1 cm
3
materii jądrowej ważyłby 230 milionów
ton. Zauważmy również, że gęstość materii jądrowej nie zależy
od rozmiarów jądra, ponieważ jego objętość jest proporcjo-
nalna do liczby masowej A.
44
3
10
38
1
3
4
.
R
A
N
3
m
nukleonów
27
44
10
67
1
10
38
1
.
.
Nm
p
17
10
3
2
.
Energia wiązania jądra. Defekt
masy
Jądro można sobie wyobrazić jako kulistą, zwartą grupę neu-
tronów i protonów. Odpychającym siłom kulombowskim między
protonami przeciwdziałają silne, specyficzne siły jądrowe, które
działają między wszystkimi nukleonami. Związana jest z nimi
energia wiązania jądra. Energią wiązania nukleonu w jądrze na-
zywamy pracę potrzebną na usunięcie danego nukleonu z jądra
bez nadania mu energii kinetycznej.
Całkowita energia
wiązania jądra jest określona jako praca potrzebna na
rozłożenie jądra na jego składowe nukleony bez nadania
im energii kinetycznej.
Energię wiązania jądra określimy za pomocą ”niedoboru masy”
(defektu masy) jądra. Dokładne pomiary mas atomowych
poszczególnych nukleonów pokazały, że ich masa jest
zawsze większa o kilka dziesiątych procent od masy
jądra utworzonego z tych nukleonów.
Zgodnie ze wzorem Einsteina
j
n
p
w
M
m
Z
A
Zm
c
Mc
E
2
2
2
H
5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0
3
H
6
L i
7
L i
1 1
B
4
H e
C a F e Z n K r M o T e
S m
L u
H g
R a
2 4
M g
2 0
N e
1 6
O
1 2
C
0
1
2
3
4
5
6
7
8
L ic z b a m a s o w a A
M
eV
n
a
nu
kl
eo
n
Energia wiązania przy-
padająca na jeden nu-
kleon w funkcji liczby
masowej
Średnią energię wiązania jednego nukleonu w jądrze otrzyma-
my dzieląc całkowitą energię wiązania jądra E
w
przez liczbę
nukleonów A zawartych w jądrze. Wyniki doświadczalne poka-
zane są na rys. Widzimy, że krzywa osiąga płaskie maksimum
o wysokości 8,7 MeV w pobliżu A = 60, opada natomiast dla
mniejszych i większych wartości A, przy czym spadek dla ma-
lejących A nie jest monotoniczny, lecz wykazuje ostre maksi-
mum dla liczb masowych będących wielokrotnościami 4 (4,
12, 16,.....). Występują wzrosty energii wiązania dla magi-
cznych liczbach nukleonów: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 152 (Z
lub N).
Zauważono, że wśród nuklidów trwałych (niepromienio-
twórczych) przeważają jądra parzysto-parzyste, tzn. o parzy-
stych liczbach zarówno protonów jak i neutronów, co jest
uwidocznione w Tabeli.
A
N
Z
Liczna
trwałych
nuklidów
parzyste
parzyste parzyste
161
nieparzy
ste
nieparzyste 4
nieparzys
te
parzyste nieparzyste 50
nieparzy
ste
parzyste
54
Modele struktury jądra
atomowego
Powstało szereg modeli jąder atomowych, stanowiących
uproszczone teorie o ograniczonym zakresie stosowalności.
Najbardziej rozpowszechnionymi modelami są:
> model kroplowy,
> model powłokowy,
> model kolektywny.
Każdy z tych modeli jest w stanie wyjaśnić pewne właściwo-
ści, nie odwołując się do wszystkich szczegółowych właści-
wości sił jądrowych.
Model kroplowy
Model kroplowy, zaproponowany przez N. Bohra w 1939 r., po-
wstał na gruncie podobieństw między jądrem atomowym a
kroplą cieczy, takich jak:
> stała gęstość materii jądrowej i energii wiązania na jeden
nukleon,
> stała gęstość cieczy nieściśliwej i stała jej energia wiązania
na jednostkę objętości.
Model ten pozwolił na opisanie szeregu właściwości jąder, ta-
kich jak masa i energia wiązania oraz zawiązanych z tym zaga-
dnień stabilności, a ponadto pewnych faktów z fizyki rozszcze-
pienia jądra.
W modelu kroplowym jądro przyjmuje się w przybliżeniu jako
kulę, której gęstość jest wewnątrz stała i raptownie spada do
zera przy przekraczaniu powierzchni. Promień kuli jest propor-
cjonalny do A
1/3
, pole powierzchni do A
2/3
, a objętość kuli zaś do
A.
Ponieważ średnia energia wiązania E
n
przypadająca na jeden
nukleon w jądrze jest w przybliżeniu stała, więc w pierwszym
przybliżeniu energia wiązania jest proporcjonalna do liczby
masowej A, czyli
(19.6)
gdzie a jest współczynnikiem proporcjonalności.
Zapis (19.6) jest równoważny stwierdzeniu, że każdy nukleon
w jądrze podlega identycznemu oddziaływaniu. W rzeczywi-
stości tak nie jest, ponieważ nukleony leżące w pobliżu powie-
rzchni jądra podlegają siłom napięcia powierzchniowego, tj. si-
łom skierowanym w głąb jądra. Należy więc we wzorze (19.6)
uwzględnić poprawkę na energię napięcia powierzchniowego.
Ponadto wiemy, że energia wiązania maleje dla dużych i ma-
łych liczb masowych.
A
E
w
Model powłokowy
Model powłokowy jądra atomowego powstał w analogii do
istniejących powłok elektronowych atomu. Jak wiemy, istnieją
atomy bardzo trwałe pod względem chemicznym i nieaktywne
– są to atomy gazów szlachetnych. Atomy tych gazów mają
całkowicie obsadzone powłoki elektronowe, przy czym zapeł-
nienie następnej powłoki prowadzi do utworzenia atomu kolej-
nego pierwiastka gazu szlachetnego. Jak już poprzednio zazna-
czono, wśród jąder atomowych szczególną trwałością wyró-
żniają się jądra o pewnych, ściśle określonych liczbach proto-
nów i neutronów, nazywanych liczbami magicznymi. W zwią-
zku z tym wysunięto hipotezę, że pod względem energety-
cznym budowa jądra podobna jest do budowy atomu, nukle-
ony w jądrze poruszają się tak, że ich stany o danej energii
tworzą poszczególne powłoki. Stwierdzono, ze powłoki energe-
tyczne jądra obsadzone są przez protony i neutrony w sposób
niezależny (patrz rys. 19.3).
V
r
r
R
R
E
b n
E
F
E
0
~
1
r
( a ) ( b )
Uproszczony wykres energii poten-
cjalnej neutronu (a) i protonu (b)
wewnątrz jądra o promieniu R.
Dla jądra składającego się z wielu nukleonów głębokość studni
dla neutronu wynosi około 40 MeV. Na proton działa jeszcze
dodatkowy potencjał sił kulombowskich i dlatego wewnątrz ją-
dra ściany jego studni potencjału są podniesione, a na zew-
nątrz potencjał maleje z odległością jak 1/r. Nie są możliwe
zderzenia między nukleonami, ponieważ w zderzeniach winna
następować zmiana energii, a wszystkie poziomy poniżej
energii Fermiego są zapełnione.
Możliwe są jedynie takie zderzenia, w których nukleony za-
mieniają się miejscami, ale za względu na nierozróżnialność
cząstek efekt wypadkowy jest zerowy. A więc silne oddzia-
ływanie nukleonów w jądrze nie musi się wiązać z wieloma
zderzeniami i z korelacją ich ruchów, jak to przewiduje model
kroplowy; nukleony mogą poruszać się niezależnie.
Ze względu na większą trwałość, izotopy o magicznych
liczbach nukleonów występują w przyrodzie w szczególnie
dużych ilościach. Zaliczamy do nich między innymi takie
pierwiastki jak
Do opisania ruchu nukleonów wewnątrz jądra stosuje się
prawa mechaniki kwantowej, co potwierdzają np. przemiany
promieniotwórcze jąder, w których emitowana cząstka lub
foton gamma g unosi zawsze ściśle określoną porcję energii.
Oznacza to, że energia jądra może przyjmować tylko pewne
ściśle określone wartości, co jest zgodne z prawami
mechaniki kwantowej.
.
Pb
,
Cu
,
O
,
He
208
82
40
20
16
8
4
2
Model kolektywny
W modelu powłokowym poszczególne składniki jądra poruszają
się niezależnie od siebie. Model kroplowy sugeruje coś wręcz
przeciwnego, gdyż w kropli cieczy nieściśliwej ruch każdej czą-
stki składowej jest ściśle skorelowany z ruchami sąsiadujących
z nią cząstek. W celu usunięcia sprzeczności między tymi mo-
delami wprowadzono inny doskonalszy model o szerszym za-
kresie stosowalności. Jest nim kolektywny model jądra zapro-
ponowany w 1953 r. przez A. Bohra (syna twórcy modelu ato-
mu) i B. Mottelsona. W modelu tym nukleony poruszają się
niezależnie (jak w modelu powłokowym) w polu sił jądrowych.
Jednak potencjał związany z tymi siłami nie jest potencjałem
statycznym (jak w modelu powłokowym), lecz jest potencja-
łem o zmiennym kształcie. Deformacje tego potencjału od-
zwierciedlają pewne skorelowane ruchy nukleonów w jądrze.
Siły jądrowe
Trwałe wiązania między nukleonami w jądrze wskazują na
istnienie w jądrach atomowych specyficznych sił, tzw. sił jądro-
wych (oddziaływania silne). Przedstawimy poniżej specyficzne
cechy tych sił:
Oddziaływania te nie możemy wyjaśnić za pomocą klasy-
cznych
oddziaływań
grawitacyjnych
czy
elektromagnetycznych. Te oddziaływania są zbyt słabe by
wyjaśnić dużą energie wiązania nukleonów w jądrze. Gdyby
założyć oddziaływanie grawitacyjne, to energia wiązania
między nukleonami byłaby 10
38
razy mniejsza od wartości
otrzymywanej eksperymental-nie. Również założenie o
elektrycznym charakterze sił jądro-wych jest nierealistyczne;
są one nadal słabe a ponadto wystę-pują tylko między
naładowanymi nukleonami (protonami) i w dodatku są
odpychające.
Siły jądrowe są przyciągające.
Są krótko zasięgowe. Zanikają na odległości około 2×10
–15
m,
co oznacza, że nukleony będące w większej odległości nie
oddziałują ze sobą za pośrednictwem sił nukleonowych.
> Siły jądrowe są niezależne od ładunku. Oznacza to, że nie
rozróżniają one protonów od neutronów. Biorąc pod uwagę
oddziaływanie protonu z protonem, należy oczywiście uwzglę-
dnić dodatkowo kulombowskie odpychanie między nimi. O ła-
dunkowej niezależności sił jądrowych świadczą np. wyniki ba-
dań rozpraszania nukleonów na deuterze. Świadczą o niej rów-
nież
dane
dotyczące
energii
wiązania
par
jąder
zwierciadlanych, tzn. takich jąder, dla których liczba protonów
w jednym jest równa liczbie neutronów w drugim. Weźmy
najprostszy przy-kład tego typu jąder: i ; w obu jądrach
mamy 3 nukleony, z tym, że w – zwanym trytonem – mamy
2n i 1p, a w odwrotnie – 2p i 1n. Energie wiązania obu tych
jąder są nastę-pujące: – 8,49 MeV, – 7,72 MeV. Jeżeli
oddziaływanie między nukleonami jest ładunkowo niezależne,
to energie wiązania obu tych jąder powinny być takie same.
Ponieważ jednak w jądrze
mamy dwa protony, to jego
energia wiązania powinna być mniejsza o energię odpychania
obu protonów. Proste obliczenia energii oddziaływania
kulombowskiego dają 0,72 MeV, co jest w dobrej zgodności z
różnicą energii wiązania obu jąder wynoszącą 0,77 MeV.
H
3
1
H
3
2
H
3
1
H
3
2
H
3
2
Siły jądrowe wysycają się, co wskazuje że każdy nukleon
oddziałuje z najbliższymi sąsiednimi nukleonami. Gdyby każdy
z A nukleonów jądra oddziaływał ze wszystkimi A–1 pozosta-
łymi, wówczas energia wiązania jądra musiałaby być propor-
cjonalna do A(A–1), a zatem zależeć od kwadratu nukleonów.
Ponieważ energia wiązania jest proporcjonalna do A wnosimy,
że nukleon nie oddziałuje ze wszystkimi pozostałymi, lecz że
oddziaływanie jądrowe ulega wysyceniu już na kilku wiąza-
niach. Mamy więc analogię do wysycania wiązań chemicznych;
np. wiązanie między atomami wodoru wysyca się już dla dwu
cząstek H
2
, a energia wiązania kropli ciekłego wodoru jest w
przybliżeniu równa sumie energii wiązania wysyconych
struktur H
2
czyli proporcjonalna do liczby atomów wodoru.
Siły jądrowe zależą od orientacji spinów oddziałujących nu-
kleonów. Wynika stąd, że nie są siłami centralnymi.
Siły jądrowe są siłami wymiennymi. Wysycanie wązań
chemicznych tłumaczy się tym, że wiązanie polega na ciągłej
wymianie elektronów między atomami. Przez analogię, można
założyć, że również siły jądrowe są wymienne i że istnieje
cząstka wymieniana między nukleonami.
Przemiany jądrowe
Jądra atomowe niektórych pierwiastków są nietrwałe i samo-
rzutnie przekształcają się w jądra innych pierwiastków, czemu
towarzyszy wysyłanie różnego rodzaju promieniowania. Prze-
miany (rozpady) te noszą historyczne nazwy przemian α, β, γ
a towarzyszące im promieniowania – odpowiednio promienio-
wanie α, β, γ. Promieniowanie α stanowi strumień jąder helu ,
promieniowanie β – strumień elektronów, a promieniowanie γ
– strumień kwantów promieniowania elektromagnetycznego o
dużej energii.
Naturalną radioaktywność obserwujemy w przypadku jąder
ciężkich, które w układzie okresowym pierwiastków zajmują
miejsca za ołowiem. Jednakże istnieją także jądra o mniejszej
liczbie masowej wykazujące naturalną radioaktywność. Są to
izotopy potasu
, węgla
, rubidu ,
ziem rzadkich – lantanu, samaru, lutetu, a także indu i renu.
He
4
2
K
40
19
C
14
6
Rb
87
37
Promieniotwórczość naturalna
Zjawisko naturalnej promieniotwórczości zostało odkryte w
związkach uranu w 1896 roku przez A.H. Becquerela. P. Curie i
M. Skłodowska-Curie odkryli, że smolista ruda uranowa emitu-
je promieniowanie 4-krotnie większe od promieniowania uranu
a następnie odkryli dwa nowe pierwiastki radioaktywne (polon
i rad ) wysyłające cząstki α, β, γ.
We wszystkich przemianach jądrowych spełnione są
prawa zachowania ładunku, liczby nukleonów, energii i
pędu.
Ze względu na pierwsze i drugie z nich w przemianie α jądro
pochodne ma liczbę masową i atomową mniejszą odpowiednio
o 4 i 2 od odpowiednich liczb jądra macierzystego
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
W przemianie β liczba masowa nie ulega zmianie, a liczba
atomowa zmienia się o 1 (rozpad b przemieszcza pierwiastek
w tablicy Mendelejewa o jedno miejsce w prawo)
e
Y
X
A
Z
A
Z
0
1
1
Reguły te stanowią tzw. prawo przesunięć F. Soddy’ego i K.
Fajansa. Ilustracją tych przemian jest np. rozpad radu, który
odbywa się z wydzieleniem radonu i cząstki α
He
Rn
Ra
4
2
222
86
226
88
Istnieje również promieniotwórczość sztuczna; okazuje się, że
jądra atomowe utworzone w wyniku reakcji jądrowych są w
wielu przypadkach promieniotwórcze. Jądra takie nazywa się
więc sztucznie promieniotwórczymi.
Proces rozpadu promieniotwórczego jest procesem samoist-
nym. Liczba dN rozpadających się jąder w przedziale czasu t i
t + dt, powinna być proporcjonalna do przedziału czasu dt i do
liczby N jąder, które do chwili t jeszcze się nie rozpadły:
(19.27)
gdzie λ jest stałą rozpadu. Znak minus wskazuje, że dN jest
liczbą ujemną, gdyż N maleje z czasem. Całkując powyższe
równanie, otrzymujemy
(19.28)
We wzorze tym N
0
jest liczbą jąder promieniotwórczych w chwili
początkowej, a N(t) liczbą jąder, które po czasie t nie uległy
jeszcze rozpadowi. Zależność (19.28) jest nazywana prawem
rozpadu promieniotwórczego i została wykreślona na rys.
19.4.
dt
t
N
dN
t
e
N
t
N
0
N
0
N / 2
0
N / 4
0
N / 8
0
N / 1 6
0
0 T 2 T 3 T 4 T
Li
cz
ba
a
to
m
ów
C z a s
Rys. 19.4. Krzywa opisująca prawo
rozpadu promieniotwórczego. Wy-
kres obejmuje przedział czasu
odpowiadający czterem okresom
połowicznego zaniku.
Liczba dN żyje łącznie przez czas równy tdN = tλN(t)dt.
Stąd średni czas życia jądra pierwiastka promieniotwórczego
wynosi
0
0
0
1
1
dt
te
dt
t
tN
N
t
Widzimy więc, że stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu
życia danego pierwiastka promieniotwórczego, a więc czasu, w którym
liczba jąder promieniotwórczych, która nie uległa rozpadowi maleje e-
krotnie.
Czas połowicznego zaniku T
1/2
jest definiowany jako wartość t,
dla której N = N
0
/2. Wstawiając to do równania (19.28),
otrzymujemy
czyli
(19.30)
W przypadku gdy jądro pochodne rozpadu promieniotwórcze-
go jest również jądrem promieniotwórczym, wówczas powsta-
je cały łańcuch przemian promieniotwórczych, zwany również
rodziną promieniotwórczą.
2
1
0
0
2
/
T
exp
N
N
2
2
2
1
ln
ln
T
/
Istnieją cztery rodziny promieniotwórcze; ich nazwy pochodzą
od nazw pierwszych, macierzystych pierwiastków:
rodzina toru
(T
1/2
= 1,3910
10
lat),
rodzina uranu
(T
1/2
= 4,510
9
lat),
rodzina aktynu
(T
1/2
= 7,110
8
lat),
rodzina neptunu
(T
1/2
= 2,210
6
lat).
Przejścia pomiędzy poszczególnymi członami rodzin promienio-
twórczych odbywają się poprzez kolejne rozpady a, b i kończą
się na trwałych izotopach ołowiu (trzy rodziny). Czasy połowi-
cznego zaniku podane są powyżej w nawiasach. . Ponieważ li-
czba masowa zmienia się tylko w przejściach a, liczby atomo-
we wszystkich pośrednich członków szeregów promieniotwór-
czych można opisać wzorem
Pb
Th
208
82
232
90
Pb
U
206
82
238
92
Pb
Ac
207
82
235
89
Bi
Np
209
83
237
93
m
n
A
4
gdzie n jest liczną całkowitą, a m = 0, 2 i 3, odpowiednio dla szeregu
toru, uranu i aktynu.