PODSTAWY PROJEKTOWANIA

INŻYNIERSKIEGO

Wykład

Zarządzanie i Inżynierii

Produkcji

w roku akademickim

2014/2015

Podstawowe modele matematyczne

stosowane w projektowaniu

Definicja pojęcia modelowania

matematycznego

Modelowanie matematyczne to

użycie języka matematyki do

opisania zachowania jakiegoś układu

(na przykład układu automatyki,

biologicznego, ekonomicznego,

elektrycznego, mechanicznego,

termodynamicznego).

Model matematyczny opisuje dany

układ za pomocą zmiennych.

Wartości zmiennych mogą należeć

do różnych zbiorów: liczb

rzeczywistych, całkowitych, wartości

logicznych,ciągów znakowych i tym

podobnych.

Podstawowe cechy modeli

•

Model systemu jest z reguły uproszczeniem
rzeczywistości.

•

Model systemu powinien zewnętrznie, w
zakresie nas interesującym, zachowywać się
podobnie jak system, aczkolwiek może mieć
inną strukturę wewnętrzną.

•

Modele systemów mają z reguły znacznie
mniejszą ilość wejść i wyjść niż systemy
rzeczywiste.

•

Model systemu powinien cechować się łatwością
wykorzystania zgodnie z przeznaczeniem.

Cele tworzenia modeli

•

BADANIE – czyli model służy do wyjaśnienia
zachowania się sytemu w określonych
warunkach.

•

PROGNOZOWANIE – czyli model służy do
przewidywania zachowania się systemu w
przyszłości.

•

PROJEKTOWANIE – czyli model służy do
optymalizacji struktury i parametrów
projektowanego systemu.

•

KIEROWANIE – czyli model służy do
podejmowania decyzji w działającym systemie.

Podział modeli

Ze względu na ich

konstrukcję

•

Koncepcyjne albo jakościowe – np. model
Ptolemeusza systemu słonecznego lub model
systemu motywacji pracownika do wydajnej
pracy.

•

Fizyczne – np. model koryta rzeki w skali
laboratoryjnej, lub model samolotu testowany w
tunelu aerodynamicznym.

•

Analogowe – np. symulacja systemu sieci
wodociągowej za pomocą złożonego układu
elektrycznego, lub symulacja systemu
sterowania za pomocą analizatora analogowego.

• Matematyczne – w postaci układu

zależności matematycznych.

• Komputerowe – za pomocą

odpowiedniego programu
komputerowego. Modele takie budowane
są z równań matematycznych, zależności
statystycznych i reguł probabalistycznych.
Ich specyfiką jest możliwość symulowania
ewolucji systemu poprzez krokowe
zmiany parametrów wyjściowych.

Ze względu na ich relacje do

modelowego systemu

Problemy modelowania

matematycznego często klasyfikuje

się jako "czarne skrzynki" (ang.

black-box) lub "białe skrzynki" (ang.

white-box), w zależności od ilości

informacji

o układzie posiadanych przed

modelowaniem. Istnieją również

modele „szatych skrzynek” (ang.

gray-box) oraz „szklanych skrzynek”

(ang. glass-box).

White - box

Modele "białej skrzynki" są uważane

za prostsze, gdyż jeśli tylko wiedzy a

priori użyto poprawnie, to model
będzie zachowywał się zgodnie z

rzeczywistym układem.

Model białej skrzynki jest

najłatwiejszy do wdrożenia, gdyż

zasadniczo polega na opisaniu

pewnego wykonanego fragmentu

dokumentacji lub oprogramowania.

Black- box

W modelach "czarnej skrzynki" należy

wyznaczyć zarówno postać funkcji

wiążącej wielkości w układzie, jak i

wartości liczbowych parametrów

tych funkcji.

„Czarna skrzynka” może być użyta

poprzez odsyłacz lub poprzez

skopiowanie. Częściej stosowane

jest kopiowanie .

Gray- box

Element pośredni między modelem

czarnej,

a białej skrzynki. W modelu szarej

skrzynki konstruktor aktywu będzie
mógł określić, które części aktywu i

dla jakich użytkowników będą

widoczne.

Glass- box

W tym modelu zarówno budowa aktywu,

jak

i jego cechy zewnętrzne są widoczne,

chociaż nie można ich zmienić. Znajomość

budowy aktywu i zrozumienie zasad jego

działania sprzyjają właściwemu

stosowaniu, ale niemożność dokonania

jakichkolwiek zmian może być źródłem

frustracji.

Tworzenie modeli matematycznych

Tworzenie modelu matematycznego

obejmuje trzy główne etapy:

• specyfikację modelu
• identyfikację modelu
• weryfikację modelu

Optymalny system

dynamiczny

Zastosowana w nim optymalizacja

wraz z symulacją dynamiki, pozwala

na ocenę oraz wybór, takich

rozwiązań, które były najlepiej

oceniane przez pryzmat przyjetych

(zamodelowanych) kryteriów jakości.

Mierzyły one długookresowe skutki

polityk decyzyjnych, funkcjonujacych

w systemie, a dotyczących m.in.

produkcji, zapasów, sprzedaży,

zaopatrzenia w surowce.

Elementarne sprzężenia w optymalnym

modelu dynamicznym przy

maksymalizacji zysku

Elementarne sprzężenia w optymalnym

modelu dynamicznym przy minimalizacji

kosztów

Podsumowanie

Modele matematyczne pozwalaja

zobaczyć strukturę projektowanych

systemów oraz efekt wzmocnienia

występujący w tych strukturach.

Współdziałanie istniejących modeli

matematycznych wyznacza

dynamikę zachowań się systemu.

Trudności w wybieraniu modelu

matematycznego oraz jego wpływu

na zachowanie systemu jako całości,

moga byc przezwyciężone przez

dalsze badania deoretyczne oraz

przez szerszy niz ma to miejsce

obecnie opis struktur w modelach

złożonych systemów

w literaturze przedmiotu.

Bibliografia

1. Kasperska E.,Mateja-Losa E., Słota D., Some

dynamics balance of production via optimization and
simulation with System Dynamics method, in: Proc.
19

th

International Conference of the System Dynamics

Society, J. H. hines, V. G. Diker, R. S. Langer, J. I. Rowe,
ed., SDS, 2001, 1-18.

2. Kasperska E., Mateja-Losa E., Słota D., Optimal

dynamic balance of raw materials – some concept of
embedding optimization in simulation on system
dynamics models and vice versa, in: Proc. 20
International Conference of the SystemDynamics
Society, p. I. Davidsen, E. Mollona, V. G. Diker, R. S.
langer, J. I. Rowe, ed., SDS, 2002, 1-23.

3. Kasperska E., Mateja-Losa E., Modele

matematyczne wybranych archetypów
systemowych i ich symulacja, Zeszyty
Naukowe. Matematyka –Fizyka/Politechnika
Śląska, 2004, 91.

4. http://www.maths.com.pl/?q=analiza
5.

http://www.sms.am.put.poznan.pl/eskrypty_plik
i
/inzynieriasystemow/modeleimodelowanie.pdf

6. Opracowanie własne

Opracowała

Ewa Jabłońska

Koniec