LICZBY WYMIERNE

Kajetan Leszczyński

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4…
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy literą
N.

N = {0, 1, 2, 3, 4,….}

Rozmieszczenie liczb naturalnych na osi liczbowej

0

1

2

3

4

5

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
4…
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą
C.

C = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}

Rozmieszczenie liczb całkowitych na osi liczbowej

-2

-1

0

1

2

3

Liczby wymierne

•

Liczbę nazywamy wymierną, jeśli można ją
przedstawić w postaci ułamka zwykłego gdzie a
jest liczbą całkowitą i b jest liczbą naturalną różną
od zera.

•

Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy
literą W.

•

Liczbami wymiernymi są wszystkie liczby
naturalne i całkowite, a także liczby mieszane i
ułamki dziesiętne.

•

np.

•

 

0

1

-1

1/
2

-1/3

-1,5

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględną określa się następująco:

•

Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta
sama liczba

•

Wartością bezwględną liczby ujemnej jest liczba do
niej przeciwna

np.

•

 

Kolejność wykonywania działań

•

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach
(zaczynamy od nawiasów, wewnątrz których nie
ma innych nawiasów)

•

Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie w tej
kolejności, w jakiej występują (od strony lewej do
prawej)

•

Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie –
także w kolejności występowania.

Dodawanie liczb

•

a + b = c

•

Liczby, które dodajemy nazywamy składnikami (a,
b), natomiast wynik dodawania to suma (c).
Symbol działania: +

•

Własności:
Liczba 0 jest elementem neutralnym w
dodawaniu liczb: a + 0 = a
Przemienność dodawania: a + b = b + a
Łączność dodawania: (a + b) + c = a + (b + c)

Odejmowanie liczb

•

a - b = c

•

Liczbę, od której odejmujemy nazywamy odjemną
(a), liczba, którą odejmujemy to odjemnik (b).
Wynik odejmowania to różnica (c). Symbol
działania: -

•

Własności:
Różnica dwóch jednakowych liczb jest zawsze
równa zero: a - a = 0
Jeżeli od dowolnej liczby odejmiemy zero, to liczba
ta nie zmieni się: a - 0 = a
Odejmowanie to dodanie liczby przeciwnej: a - b =
a + (-b)

Mnożenie liczb

•

a · b = c

•

Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (a, b), wynik
mnożenia to iloczyn (c). Mnożenie oznaczamy symbolem kropki,
czasami w miejsce kropki używa się znaku krzyżyka ×.
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb
naturalnych, określonego jako: a · b = a + a + ... + a, gdzie a
występuje b razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych samych
składników.

•

Własności:
Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb: a · 1 = a
Przemienność mnożenia: a · b = b · a
Łączność mnożenia: (a · b) · c = a · (b · c)
Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b
+ a · c

Dzielenie liczb

•

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.

•

a : b = c, gdzie b ≠ 0

•

Liczbę, którą dzielimy nazywamy dzielną (a), liczba, przez którą
dzielimy to dzielnik (b). Wynik dzielenia to iloraz (c). Dzielnik nie
może być równy zero. Dzielenie przez zero jest niewykonalne.
Symbol działania: :, /, ÷

•

Własności:
Iloraz dwóch jednakowych liczb jest zawsze równy jeden: a : a = 1
Jeżeli dowolną liczbę podzielimy przez 1, to liczba ta nie zmieni
się: a : 1 = a
Jeżeli zero podzielimy przez dowolną liczbę, to wynik jest równy
zero. 0 : a = 0

•

Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔ a = b · c
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.

•

Iloraz dwóch liczb często przedstawiamy w postaci ułamka.
a : b = a b , gdzie b ≠ 0

Dodawane liczb całkowitych

•

5 + 3 = 8

•

5 + (-3) = 5 – 3 = 2

•

-5 + 3 = -2

•

-5 + (-3) = -5 -3 = -8

Odejmowanie liczb całkowitych

•

5 - 3 = 2

•

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

•

-5 - 3 = -8

•

-5 - (-3) = -5 +3 = -2

Mnożenie liczb całkowitych

•

5 - 3 = 2

•

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

•

-5 - 3 = -8

•

-5 - (-3) = -5 +3 = -2

Dzielenie liczb całkowitych

•

15 : 3 = 5

•

15 : (-3) = -5

•

-15 : 3 = -5

•

-15 : (-3) = 5

Działania na ułamkach

Zamiana liczb na ułamek
niewłaściwy

•

Ułamek niewłaściwy to taki ułamek, w którym
licznik jest większy od mianownika np.

•

Zamiana liczby całkowitej na ułamek niewłaściwy:

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

•

 

Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, mnożymy

mianownik ułamka przez liczbę całkowitą i do tego dodajemy licznik

ułamka. Tak otrzymaną liczbę wpisujemy do licznika ułamka

niewłaściwego, a mianownik przepisujemy bez zmian.

Zamieniając liczbę całkowitą na ułamek

niewłaściwy w mianowniku wpisujemy 1 a

liczbę całkowitą w liczniku

Dodawanie i odejmowanie
ułamków

•

Przypomnijmy zasadę: aby wykonać dodawanie lub
odejmowanie ułamków zwykłych, musimy
sprowadzić do wspólnego mianownika.

•

 

Wspólnym mianownikiem dla
liczb 3 i 2 jest liczba 6

Dodajemy liczniki a mianowniki

pozostają bez zmian

5
6

− 1

4

=

10
12

− 3

12

=

7

12

 

Wspólnym mianownikiem dla liczb
6 i 4
Jest liczba 12

Mnożenie ułamków

•

Aby pomnożyć przez siebie dwa ułamki, mnożymy
przez siebie liczniki i oddzielnie mianowniki,
pamiętając

o

potrzebie

zamiany

ułamka

mieszanego na ułamek niewłaściwy i możliwości
skracania ułamka.

•

 

Aby skrócić ten

ułamek, licznik i

mianownik dzielimy

przez wspólny dzielnik

czyli 6

Aby skrócić to

działanie, dzielimy

licznik (10) i mianownik

(2) przez wspólny

dzielnik czyli 2.

Dzielenie ułamków

•

Aby podzielić dwa ułamki, mnożymy pierwszy
przez odwrotność drugiego.

•

 

Zamieniamy liczby

mieszane na ułamki

niewłaściwe

Pierwszy ułamek

mnożymy przez

odwrotność drugiego

Jeżeli jest możliwe,

skracamy ułamki. W

naszym przypadku dzielimy

licznik pierwszego i

mianownik drugiego

ułamka przez liczbę 5

Zamieniamy ułamek

niewłaściwy na liczbę

mieszaną,

Ułamki dziesiętne

•

Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których
mianownikami są liczby 10, 100, 1000, 10000….

•

Ułamki dziesiętne zapisujemy najczęściej
wykorzystując przecinek dziesiętny.

•

 

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

•

Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego zaokrąglanej liczby jest mniejsza od 5
(0, 1, 2, 3 lub 4), to nie zmieniamy ostatniej
zachowanej cyfry.

•

Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub
równa 5 ( 5, 6, 7, 8, 9), to ostatnią z zachowanych
cyfr zwiększamy o 1.

•

25,37459 ≈ 25,37

•

25,37459 ≈ 25,4

•

Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n ≥ 2
nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy
jest równy liczbie a.

•

 

Potęga o wykładniku naturalnym

podstawa

wykładnik

•

Gdy wykładnik potęgi jest równy 1, wówczas w
zapisie pomijamy 1:

•

Gdy wykładnik potęgi jest równy 0, wówczas
przyjmujemy:

•

Np.

•

 

Potęga o wykładniku naturalnym

Pierwiastek

•

= 5

•

 

Symbol pierwiastka
drugiego stopnia

Liczba
podpierwiastkowa

Wartość pierwiastka

Pierwiastek drugiego stopnia

•

Arytmetycznym

pierwiastkiem

drugiego

stopnia z liczby nieujemnej nazywamy taką
liczbę nieujemną, która podniesiona do
kwadratu

równa

jest

liczbie

podpierwiastkowej.

•

= 9

•