INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Napięcie na końcach ruchomego przewodnika
Przewodnik o długości l porusza się z prędkością V w jednorodnym polu
magnetycznym o indukcji B. Razem z przewodnikiem poruszają się zawarte w nim
ładunki elektryczne. Na elektrony zawarte w przewodniku działa siła Lorentza, pod
wpływem której przemieszczają się one w kierunku jednego z końców.
Przemieszczanie się elektronów ustaje wtedy gdy siła Lorentza (FB) zostaje
zrównowa\
ona przez siłę elektrostatyczną (FE).
+ + + + r
FB = FE
=
=
=
B
"
"
"
"
" r
"
"
"
FE
U
BeV = eE ; E =
= =
= =
= =
r
l
V
e
l
U
BeV = e
=
=
=
r l
FB
"
"
" "
" "
"
"
_ _ _ _
U = BlV
=
=
=
Napięcie powstałe na końcach przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym
jest zatem efektem oddziaływania pola magnetycznego na ładunki zawarte w tym
przewodniku. Napięcie to mo\
e powodować przepływ prądu zwanego indukcyjnym.
Powstawanie prądu indukcyjnego. Reguła Lenza.
Prąd elektryczny mo\
e płynąć jedynie w obwodzie zamkniętym. Prąd indukcyjny
płynie w takim obwodzie zamkniętym, gdzie istnieją fragmenty obwodu stanowiące
z
ródło napięcia. Badania doświadczalne warunków powstawania prądu
r
r
S
N
" B
"
"
"
V
N
<"
B <"
<"
<"
<" ą <"
S <" ą <"
<" ą <"
<" ą <"
indukcyjnego prowadzą do wniosku, \
e prąd indukcyjny powstaje w takim obwodzie
zamkniętym, przez który przenika zmienny strumień indukcji magnetycznej.
22
Wiadomo, ze zmiany strumienia zachodzą wtedy, gdy zmienia się indukcja
magnetyczna ( B <" ), pole powierzchni obwodu (S <" ), lub kąt jaki tworzą linie sił
<" <"
<" <"
<" <"
pola z powierzchnią obwodu ( ą <" ). Kierunek prądu indukcyjnego mo\
na ustalić
ą <"
ą <"
ą <"
analizując siły działające na ładunki elektryczne, lub posługując się regułą Lenza:
Kierunek prądu indukcyjnego jest zawsze taki, aby przeciwdziałał tej zmianie
strumienia, która go wywołała.
Reguła ta wynika z zasady zachowania energii.
Siła elektromotoryczna indukcji
Napięcie, które powoduje przepływ prądu indukcyjnego nazywamy siłą
elektromotoryczną indukcji (SEM). Przesunięcie
r
poprzeczki na odcinku dx wymaga pracy elementarnej
"
"B
"
"
I
l
równej pracy jaką wykona wzbudzony tym ruchem prąd
indukcyjny.
dx
dW = EIdt E - SEM indukcji
=
=
=
Jeśli siła hamująca ruch poprzeczki (siła elektrodynamiczna) wynosi F, to
otrzymujemy:
-Fdx = EIdt
- =
- =
- =
-BIldx = EIdl
- =
- =
- =
l.dx
= dS - zmiana powierzchni obwodu
-BdS = Edt
- =
- =
- =
B.dS = dŚ
Ś - zmiana strumienia indukcji magnetycznej przenikającego przez ramkę
Ś
Ś
- d Ś = E d t
- Ś =
- Ś =
- Ś =
dŚ
Ś
Ś
Ś
E = -
= -
= -
= -
dt
SEM indukcji jest zatem pochodną strumienia indukcji magnetycznej po czasie.
Powy\
sza zale\
ność przedstawia związek między dwiema funkcjami ( E i Ś
Ś). Znając
Ś
Ś
zale\
ność Ś(t) mo\
na zatem ustalić zale\
ność E(t). Wartość średnia siły
Ś
Ś
Ś
elektromotorycznej wzbudzonej w czasie "
"t wynosi:
"
"
23
"Ś
"Ś
"Ś
"Ś
E =
=
=
=
(-)
(-)
(-)
(-)
"t
"
"
"
Znak (-) informuje, \
e napięcie E musi być takie, aby przeszkadzało zmianie
strumienia, która go wywołała.
Prądy wirowe
Jeśli zmienne pole magnetyczne przenika przez dowolny materiał przewodzący prąd
elektryczny, to wewnątrz tego materiału powstają prądy indukcyjne, zwane
wirowymi. Prądy wirowe powodują nagrzewanie ka\
dego przewodnika
umieszczonego w zmiennym polu
magnetycznym. Mo\
na je wykorzystywać
<"
B <" do topienia metali w tzw. piecach
<"
<"
indukcyjnych. Są one równie\
przyczyną
<"
I <"
<"
<"
strat energii w transformatorze, bowiem
powodują nagrzewanie się rdzenia
transformatora. Straty te mo\
na zmniejszyć przez wykonanie rdzenia z cienkich
blaszek co utrudnia przepływ prądów wirowych.
Indukcja własna
Jeśli przez zwojnicę płynie prąd zmienny, to
wewnątrz zwojnicy powstaje zmienne pole
B <"
<"
<"
<"
magnetyczne. Pole to powoduje powstanie na
końcach tej zwojnicy wtórnego napięcia
indukcyjnego. Zjawisko to nazywamy indukcją
I <"
<"
<"
<"
własną lub samoindukcją. W
przypadku długiego solenoidu, w którym
płynie prąd o zmiennym natę\
eniu I, przez ka\
dy zwój tego solenoidu przenika pole
magnetyczne o indukcji:
nI
B = �� = ��o
= ��0H = ��
= �� = ��
= �� = ��
Strumień indukcji magnetycznej
l
przenikający przez ka\
dy zwój wynosi :
nI
Ś = ��0 s
Ś = ��
Ś = ��
Ś = ��
l
SEM indukcji powstała w jednym zwoju wynosi:
dŚ
Ś
Ś
Ś
E1 = -
= -
= -
= -
dt
ns dI
E1 = -�� �"
= -�� �"
= -�� �"
= -�� �"
0
l dt
24
SEM indukcji wzbudzona na końcach solenoidu jest n razy większa i wynosi:
n2s dI
Es = -��o
= -��
= -��
= -��
l dt
dI
Es = -L
= -
= -
= -
dt
Współczynnik L zale\
y od cech charakterystycznych obwodu i nazywamy go
współczynnikiem samoindukcji, współczynnikiem indukcji własnej lub
indukcyjnością obwodu. Dla długiego solenoidu mo\
na wyrazić go wzorem:
n2s
L = ��o
= ��
= ��
= ��
l
Siła elektromotoryczna samoindukcji jest zatem proporcjonalna do wartości
pochodnej natę\
enia prądu po czasie. Korzystając z tej zale\
ności mo\
na ustalić
Es(t) jeśli znana jest zale\
ność I(t).
Średnia wartość SEM samoindukcji wyra\
ona jest wzorem:
"I
"
"
"
E = (-)L
= -
= -
= -
"t
"
"
"
Jednostką indukcyjności obwodu jest henr (H). Jest to indukcyjność obwodu, w
którym zmiana natę\
enia prądu o 1A w czasie 1s powoduje powstanie SEM
samoindukcji 1V.
Vs
H =
=
=
=
A
Indukcja wzajemna
Na wspólnym rdzeniu wykonanym z materiału ferromagnetycznego nawinięte są
dwa uzwojenia liczące n1 i n2 zwojów. Przez jedno z nich płynie prąd zmienny
wywołany zmiennym napięciem. Prąd ten wytwarza zmienny strumień indukcji
magnetycznej, który przenika równie\
przez drugie uzwojenie. Na końcach tego
uzwojenia powstaje SEM indukcji E.
25
dŚ
Ś
Ś
Ś
E = - n2
= -
= -
= -
n1 l n2
dt
n1I
Ś = �� s
Ś = ��0
Ś = ��
Ś = ��
l
n1n2s dI
E = -��
= -��
= -��
= -��
0
l dt
I <"
<"
<"
<"
" <" "
" <" "
" <" "
" <" "
" <" "
" <" "
" <" "
" <" "
dI
E = -L1,2
= -
= -
= -
dt
L1,2 - współczynnik indukcji wzajemnej obwodu.
Prądnica prądu zmiennego
Najprostszą prądnicę prądu zmiennego stanowi płaska
�
�
�
�
ramka o powierzchni S wirująca ze stałą prędkością
kątową � w jednorodnym polu magnetycznym o
�
�
�
�
�
�
�
S
indukcji B. Końce ramki połączone są z pierścieniami,
po których ślizgają się tzw. szczotki. Strumień indukcji
magnetycznej przenikający przez powierzchnię ramki
zmienia się w czasie.
ą
ą
ą
ą
R Ś = BS cosą � = �! ą = � t
Ś = ą � = �! ą = �
Ś = ą � = �! ą = �
Ś = ą � = �! ą = �
t
Ś = BS cos�t
Ś = �
Ś = �
Ś = �
SEM indukcji wzbudzona w wirującej ramce jest funkcją czasu i wynosi:
dŚ
Ś
Ś
Ś
E1 = -
= -
= -
= -
dt
E1 = BS�sin�t
= � �
= � �
= � �
Jeśli ramka liczy n zwojów, to wzbudzona w niej SEM indukcji jest n razy większa i
wynosi:
E = nBS� �
= �sin�t
= � �
= � �
E = Eo sin � �
�t ; Eo = nBS�
� �
� �
�0 - maksymalna wartość SEM indukcji (amplituda SEM indukcji).
�0
�0
�0
26
Napięcie skuteczne i natę\
enie skuteczne
Przez dwa identyczne opory R płyną dwa prądy: pewien prąd zmienny i prąd stały o
natę\
eniu Is, wywołany napięciem Us. Prąd zmienny w ciągu okresu wykonuje pracę
WT.
Jeśli prąd stały płynąc równie długo przez taki sam opór wykonuje taką samą pracę,
to Is i Us nazywamy odpowiednio natę\
eniem skutecznym i napięciem skutecznym
danego prądu zmiennego.
2
Us
2
WT = Is RT WT = T
= =
= =
= =
R
Aby określić natę\
enie i napięcie skuteczne prądu zmiennego trzeba znać pracę
wykonaną przez dany prąd zmienny w ciągu okresu.
1. Obliczanie napięcia skutecznego w przypadku impulsów prostokątnych.
U
W przypadku prostokątnych impulsów
U0
napięciowych istnieje mo\
liwość obliczenia
pracy prądu zmiennego w ciągu okresu
sumując prace wykonane przez ten prąd w
T t
poszczególnych przedziałach czasowych,
U0
-
-
-
-
poniewa\
płynie on wtedy pod wpływem
2
stałego napięcia.
2
U2 T 1 -U0 T U2T U2T 5 U2T
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł �ł
0 0 0 0
WT = �" + �" = + =
= �" + �" = + =
= �" + �" = + =
= �" + �" = + =
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
R 2 R 2 2 2R 8R 8 R
U2T 5 U2T 5
s 0
= �! Us = U0
= �! =
= �! =
= �! =
R 8 R 8
2. Obliczanie napięcia skutecznego, gdy znana jest zale\
ność mocy od czasu
A
atwo mo\
na wykazać, \
e pole figury zawartej pod wykresem mocy w funkcji czasu
jest miarą wykonanej pracy.
R Us Is R
"
"
" "
"
"
"
"
"
"
"
"
"
" "
"
WT
2
Us
2
Is RT = T
=
=
=
R
27
Z definicji mocy wynika, \
e miarą pracy
P
elementarnej jest pole wąskiego prostokąta
zawartego pod wykresem mocy w funkcji
dS
czasu:
P
dW
P = �! dW = P �" dt - dS
= �! = �" -
= �! = �" -
= �! = �" -
dt
dt
Praca wykonana w dowolnie długim
t
przedziale czasu jest sumą prac
elementarnych i odpowiada jej pole figury
zawartej pod wykresem mocy w funkcji czasu. Pozwala to na łatwe obliczenie pracy
wykonanej przez prąd zmienny, w przypadku gdy figura pd wykresem mocy jest
figurą regularną.
3. Natę\
enie skuteczne prądu sinusoidalnego
Przypuśćmy, \
e przez opór R płynie prąd zmienny wywołany o natę\
eniu:
I = I0 sin �
�t
�
�
Moc prądu sinusoidalnego jest funkcją czasu i wynosi:
2 2 2
P = I R = I R s in � t
= = �
= = �
= = �
0
Zale\
ność P(t) przedstawia poni\
szy wykres.
28
Praca wykonana przez ten prąd w ciągu okresu stanowi sumę prac elementarnych i
odpowiada jej pole figury pod wykresem. Pole to jest równe polu prostokąta o
2
I0R
podstawie T i wysokości . Praca prądu zmiennego wykonana w ciągu okresu
2
wynosi zatem:
2
I0R
WT = T
=
=
=
2
2
I0R I0
2
Is RT = T �! Is =
= �! =
= �! =
= �! =
2
2
Analogicznie mo\
na wykazać, \
e napięcie skuteczne takiego prądu wynosi:
U0
Us =
=
=
=
2
U\
ywając wartości skutecznych napięcia i natę\
enia, pracę prądu zmiennego
płynącego przez opór R mo\
na obliczać identycznie jak pracę prądu stałego.
Przyrządy pomiarowe prądu zmiennego mierzą wartości skuteczne napięcia i
natę\
enia.
Indukcyjność i pojemność w obwodzie prądu zmiennego
Kondensator stanowi przerwę w obwodzie prądu stałego, ale umieszczony w
obwodzie prądu zmiennego musi ustawicznie zmieniać swój ładunek, co umo\
liwia
przepływ prądu w tym obwodzie. Rozwa\
amy
UR
obwód zło\
ony z połączonych ze sobą szeregowo
trzech elementów: oporu R, kondensatora C i
R
"
"
"
"
zwojnicy L. Taki obwód jest nazywany
L
UL
U
obwodem RLC. Przyjmijmy, \
e w tym obwodzie
"
"
"
"
C
płynie prąd zmienny, sinusoidalny o natę\
eniu :
I = I0 sin � �t - faza natę\
enia.
�t, gdzie �
� �
� �
UC
Prąd taki jest wywołany napięciem zewnętrznym (U), oraz napięciami wtórnymi
powstałymi na końcach zwojnicy (UL) i na okładkach kondensatora (UC). O
natę\
eniu prądu płynącego przez opór R decyduje suma tych napięć. Korzystając z
prawa Ohma otrzymujemy:
U + UL + UC
+ +
+ +
+ +
I =
=
=
=
R
29
q
UC =
=
=
=
I0
I = I0 sin �t;
= �
= �
= �
C
q = cos �t
= �
= �
= �
dI dq
�
�
�
�
UL = -L I = -
= - = -
= - = -
= - = -
I0
dt dt
UC = cos �t
= �
= �
= �
UL = -LI0� sin �t I = I0 sin �t
= - � � = �
= - � � = �
= - � � = �
C�
�
�
�
IR = U + UL + U
= + +
= + +
= + +
C
I0
U = I0R sin �t + LI0� cos �t - cos �t
= � + � � - �
= � + � � - �
= � + � � - �
C�
�
�
�
�ł L� 1 łł
�ł � łł
�ł � łł
�ł � łł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
U = I0R�łsin �t + - cos �tśł
= � + - �
= � + - �
= � + - �
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł
R RC�
�
�
�łł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
L� 1
�
�
�
-
-
-
-
Wyra\
enie jest liczbą pozbawioną wymiaru. Ka\
dej liczbie
R RC�
�
�
�
rzeczywistej mo\
na przypisać kąt �, o tak dobranej wartości aby było spełnione
�
�
�
równanie:
1
L� -
� -
� -
� -
C�
�
�
�
tg� =
� =
� =
� =
R
U = I0R sin �t + tg� cos �t
= � + � �
= � + � �
= � + � �
( )
( )
( )
( )
I0R
U = sin �t cos � + sin � cos �t
= � � + � �
= � � + � �
= � � + � �
( )
( )
( )
( )
cos �
�
�
�
I0R
U = U sin(�t + �) U0 = �t + �
= � + � = � �
= � + � = � � - faza napięcia
= � + � = � �
0
cos �
�
�
�
Z powy\
szych rozwa\
ań wynika, \
e przyczyną prądu o natę\
eniu I = I0 sin �t jest
�
�
�
napięcie U = U0 sin (� �) . Napięcie to jest przesunięte w fazie. Kąt � nazywamy
�t +�) �
� �) �
� �) �
przesunięciem fazowym (przesunięcie fazy napięcia względem fazy natę\
enia).
Jeśli prąd zmienny płynie przez opór R, to stosunek chwilowej wartości napięcia do
chwilowej wartości natę\
enia jest równy stosunkowi odpowiednich wartości
maksymalnych, jak równie\
stosunkowi odpowiednich wartości skutecznych:
U0 Us
U
= = = R
= = =
= = =
= = =
I I0 Is
Jeśli prąd zmienny płynie przez obwód RLC , to stosunek wartości maksymalnych
napięcia i natę\
enia jest większy od oporu omowego i wynosi:
30
U0 U
R
s
= = = Z
= = =
= = =
= = =
I0 Is cos �
�
�
�
Stosunek ten nazywamy zawadą obwodu (impedancją obwodu).
R
Z =
=
=
=
cos�
�
�
�
Z = R 1 + tg2�
= + �
= + �
= + �
2
1
�ł �ł
�łL� �ł
�ł �ł
�ł �ł
2
Z = R + � -
= + � -
= + � - �ł
= + - �ł
�ł �ł
�ł
�ł �ł
�ł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł
C�
�
�
�łł
RL
sin2 � + cos2 � = 1
� + � =
� + � =
� + � =
Z 1
tg2� + 1 =
� + =
� + =
� + =
cos2 �
�
�
�
RL-RC
�
�
�
�
R
L� = RL - opór indukcyjny (induktancja)
� =
� =
� =
1/C�
� = RC - opór pojemnościowy (kapacytancja)
�
�
RC
RL - RC - opór bierny (reaktancja)
Związki między wielkościami charakteryzującymi obwód RLC, dla elementów
połączonych szeregowo mo\
na odtworzyć posługując się tzw. wykresem
wskazowym.
R - R
-
-
R -
2
2 L C
Z = R + R - R Z = tg� =
= + - )
= � =
= + - )
= + - )
= � =
= � =
( )
(
(
(
L C
cos� R
�
�
�
Pomiędzy napięciami na poszczególnych
UR
elementach obwodu zachodzą następujące
związki:
R
"
"
"
"
L
UL
U 2
2 2
U = U + U - U
= + - )
= + - )
= + - )
( )
(
(
(
"
"
" R L C
"
C
UC
Istnieje mo\
liwość dobrania takiej
częstotliwości prądu płynącego przez obwód RLC, aby w obwodzie nie wystąpiło
przesunięcie fazowe.
1 1
� = 0 �! L� = � = � = 2Ą�
� = �! � = � = � = Ą�
� = �! � = � = � = Ą�
� = �! � = � = � = Ą�
C�
�
�
�
LC
31
1
� =
� =
� =
� =
2Ą LC
Ą
Ą
Ą
Tak określona częstotliwość prądu jest nazywana częstotliwością rezonansową.
Dla elementów RLC połączonych równolegle zachodzą związki, które mo\
na
odtworzyć z następującego wykresu wskazowego:
1
R 1
L
" Z
"
"
"
1 1
U C L R
-
-
-
-
"
"
"
"
�
�
�
�
RL RC
1
1
R
R
C
Praca i moc prądu zmiennego
Przyjmijmy, \
e w obwodzie płynie prąd zmienny o natę\
eniu I = I0 sin �t
�
�
�
wywołany napięciem U = U0 sin (� �). Praca elementarna wykonana przez taki
�t+�
� �
� �
prąd wciągu okresu wynosi:
dW = UIdt = U I0 sin �t sin �t + � dt
= = � � + �
= = � � + �
= = � � + �
( )
( )
( )
( )
0
1
dW = U I0 cos � - cos 2�t + � dt
= � - ( )
� + �
= � - ( )
= � - ( )
� + �
� + �
( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0
2
1
sin ą sin � = cos - � - cos + �
ą � =
ą � =
ą � =
(ą - � - (ą + �
(ą - � - (ą + �
) )
(ą - � - (ą + �
(ą ) (ą )
) )
) )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
Praca wykonana przez taki prąd w ciągu okresu stanowi sumę prac elementarnych i
T
1
W = U I0 � - cos 2�t + �
= � - ( )
� + �
= � - ( )
= � + �
� + �
( )
[ ]
[ ]dt
[cos � - ( )
[ ]
]
0
+"
+"
+"
+"
2
0
wynosi:
T
�łT łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
1
W = U I0 �ł cos �dt - cos 2�t + � dtśł
= � - ( )
� + �
= � - ( )
= � - ( )
� + �
� + �
( )
�ł śł
0 �ł śł
�ł śł
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
2
�ł 0 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
T T
cos�dt = cos� dt = Tcos�
� = � = �
� = � = �
� = � = �
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
0 0
32
T
1 T 1 �ł 4Ą łł
�ł Ą łł
�ł Ą łł
�ł Ą łł
�ł �ł
�ł
�ł
�ł
cos(2�t + �)dt = sin(2�t + �) = + ��ł - �śł =
� + � = � + � = + ��ł - �śł =
� + � = � + � = + ��ł - �śł =
� + � = � + � =
[ ] �ł �ł
[ ] �ł �ł
[ ] �ł �ł
[ ]
+" �łsin�ł T T + ��ł - sin�śł = 0
+" �ł
+" �ł
+" �ł
0
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
2� 2�
� �
� �
� �
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
0
1
U0 = 2Us
=
=
=
W = U0I0T cos�
= �
= �
= �
2
I0 = 2Is
=
=
=
W = UsIsT cos�
= �
= �
= �
Mo\
na uwa\
ać, \
e ka\
dy przedział czasu stanowi wielokrotność okresu. Wynika
stąd, \
e praca prądu zmiennego wykonana w dowolnym czasie t wynosi:
W = USISt cos�
= �
= �
= �
P = USIS cos�
= �
= �
= �
Moc prądu zmiennego wynosi:
Jeśli w obwodzie nie powstaje przesunięcie fazowe, to wzory na pracę i moc prądu
zmiennego nie ró\
nią się od wzorów na pracę i moc prądu stałego.
W przypadku nieuwzględnienia przesunięcia fazowego otrzymujemy tzw. pracę
pozorną, względnie moc pozorną prądu zmiennego. Dla odró\
nienia jej od pracy czy
mocy rzeczywistej, pracę pozorną wyra\
amy w woltoamperosekundach, a moc
pozorną - w woltoamperach.
Ą
Ą
Ą
Ą
Jeśli przesunięcie fazowe jest bliskie to moc takiego prądu jest równa zeru. Prąd
2
taki nazywamy bezwatowym.
Energia pola magnetycznego
Przez zwojnicę o indukcyjności L płynie prąd stały o natę\
eniu I0. W wyniku
przerwania obwodu i ponownego połączenia jego końców pole magnetyczne zanika.
W obwodzie płynie prąd indukcyjny, a energia
r
pola magnetycznego przekształca się w energię
B
cieplną. Praca elementarna wykonana przez
zanikający prąd indukcyjny wynosi:
I0
�
�
�
�
dI
dW = EIdt
=
=
=
E = -
= -
= -
=
-L
�
�
�
�
= -
dW = -LIdI
= -
= -
dt
33
Praca wykonana przez prąd, którego natę\
enie maleje do zera stanowi sumę prac
elementarnych i wynosi:
0
W = dW = - LIdI
= = -
= = -
= = -
"
"
"
"
+"
+"
+"
+"
I0
0
�ł łł
�ł łł
�ł I2 łł
�ł łł
1
2
W =
=
=
=
W = LI0
=
=
=
�!
�!
�!
�!
�ł-L 2 śł
�ł- śł
�ł- śł
�ł- śł
2
�ł �łI
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
0
Sumowanie prac elementarnych mo\
na równie\
wykonać metodą całkowania
graficznego. Wartość pracy elementarnej wykonanej przez prąd samoindukcji
wynosi:
dW = LIdI
=
=
=
Y =
=
=
= LI
dW = YdI
=
=
=
Y
Y jest liniową funkcją natę\
enia prądu, a zatem
jej wykresem jest linia prosta. Miarą pracy
LI0
elementarnej jest pole wąskiego prostokąta
zawartego pod wykresem funkcji Y. Praca
Y
wykonana przy zmianie natę\
enia prądu o I0 jest
dI
równa sumie prac elementarnych i odpowiada jej
pole trójkąta zawartego pod wykresem.
I
I0
1 1
2
W = I0LI0 = LI0
= =
= =
= =
2 2
W przypadku długiego solenoidu, w którym płynie prąd , gęstość energii pola
magnetycznego wynosi:
�� n2s
��
��
1 ��
2 o
LI0
nI0 nI0
W 1
2 l 2
= = I0 = ��
= = = ��
= = = ��
= = = ��
0
V lS lS 2 l l
W 1
= BH
=
=
=
Ostatecznie otrzymujemy:
V 2
34
Induktor
Induktor jest urządzeniem, które słu\
y do otrzymywania wysokiego napięcia. Na
rdzeniu wykonanym z miękkiej stali nawinięte jest uzwojenie pierwotne wykonane z
grubego, izolowanego drutu. Uzwojenie to jest zasilane ze z
ródła prądu stałego o
napięciu kilku woltów. Przepływ prądu powoduje
powstanie pola magnetycznego i namagnesowany
rdzeń przyciąga młoteczek przerywacza. W ten
sposób obwód zostaje przerwany. Rdzeń ulega
rozmagnesowaniu a odskakujący młoteczek
ponownie zamyka obwód. Uzwojenie pierwotne
wytwarza zatem zmienne pole magnetyczne. Pole to
I
przenika przez uzwojenie wtórne nawinięte na ten
sam rdzeń, liczące wiele tysięcy zwojów cienkiego
drutu. W ka\
dym zwoju powstaje SEM indukcji, w wyniku czego na końcach
uzwojenia wtórnego połączonych z iskiernikiem powstaje wysokie napięcie
umo\
liwiające np. powstawanie wyładowań iskrowych. Z powodu du\
ej
indukcyjności uzwojeń, w momentach rozłączenia obwodu powstaje znaczne
napięcie samoindukcji, co prowadzi do iskrzenia na styku przerywacza. Aby nie
dopuścić do zniszczenia styku stosuje się kondensator o du\
ej pojemności, włączony
równolegle do przerwy iskrowej. Zmiany natę\
enia prądu w uzwojeniu pierwotnym i
odpowiadające im zmiany napięcia na końcach uzwojenia wtórnego induktora
U
przedstawiają zamieszczone obok
wykresy. Prąd w uzwojeniu wtórnym jest
zmienny, równie\
co do kierunku. Silne
skoki napięcia powstają podczas
t
przerywania prądu w uzwojeniu
I
pierwotnym.
t
Transformator
Transformator słu\
y do uzyskiwania zmian napięcia prądu zmiennego. Na rdzeniu
wykonanym z miękkiej stali są nawinięte dwa uzwojenia liczące ró\
ne ilości
zwojów. Do uzwojenia pierwotnego
liczącego n1 zwojów zostaje włączone
"
"
"
"
"
"
"
"
zmienne napięcie o wartości skutecznej
U1
n2
n1 U2
U1. Wewnątrz uzwojenia powstaje
"
"
"
"
"
"
"
"
zmienne pole magnetyczne, które
35
przenika do uzwojenia wtórnego liczącego n2 zwojów. W ka\
dym zwoju powstaje
SEM indukcji i na końcach uzwojenia wtórnego powstaje zmienne napięcie o
wartości skutecznej U2. Je\
eli do uzwojenia pierwotnego zostanie przyło\
one
napięcie sinusoidalne U = U0 sin �t , to z powodu znacznej indukcyjności tego
�
�
�
uzwojenia popłynie w nim prąd, którego natę\
enie jest przesunięte
Ą
Ą
�ł�t - Ą
�ł
�ł �ł
�ł� - Ą
�ł
�ł
Ą
Ą
Ą
Ą
I'= I0 sin�ł � - = -I0 cos�t
= = - �
= � - = - �
= = - �
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
w fazie praktycznie o
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
2
2
Strumień indukcji magnetycznej wytworzony w uzwojeniu pierwotnym jest wprost
proporcjonalny do natę\
enia płynącego prądu i wynosi:
Ś = -Ś0 cos�t
Ś = -Ś �
Ś = -Ś �
Ś = -Ś �
Chwilowe natę\
enie prądu płynącego przez uzwojenie pierwotne mo\
na określić z
prawa Ohma:
dŚ
Ś
Ś
Ś
U'- n1
-
-
-
dŚ
Ś
Ś
Ś
dt
I' = �! I'R1 = U'-n1
= �! = -
= �! = -
= �! = -
dt
R
1
dŚ
Ś
Ś
Ś
dŚ
Ś
Ś
Ś
R1 H" 0 �! U'= n1
H" �! =
H" �! =
H" �! =
= Ś0� sin �t
= Ś � �
= Ś � �
= Ś � �
dt dt
U'= Ś � sin�t
= Ś0�n1 �
= Ś � �
= Ś � �
Przez uzwojenie wtórne przenika ten sam strumień indukcji magnetycznej.
Powoduje to powstanie na jego końcach napięcia chwilowego:
dŚ
Ś
Ś
Ś
U''= - n2
= -
= -
= -
dt
U''= Ś0�n2 sin�t
= Ś � �
= Ś � �
= Ś � �
U1 U01 Ś0�n1 n1
Ś �
Ś �
Ś �
= = =
= = =
= = =
= = =
U2 U02 Ś0�n2 n2
Ś �
Ś �
Ś �
Wynika stąd, \
e stosunek liczby zwojów w uzwojeniu pierwotnym do liczby
zwojów w uzwojeniu wtórnym jest równy stosunkowi napięć skutecznych na
końcach tych uzwojeń. Stosunek ten nazywamy przekładnią transformatora.
36
U1 n1 n1 I2
= =
= =
= =
= =
U2 n2
n2 I1
W praktyce zachodzi jednak pewne rozpraszanie strumienia indukcji magnetycznej i
stosunek napięć nieco ró\
ni się od stosunku liczby zwojów.
Sprawnością transformatora nazywamy stosunek mocy pobieranej z uzwojenia
wtórnego do mocy dostarczonej do uzwojenia pierwotnego:
U2I2
� =
� =
� =
� =
U1I1
Sprawność transformatorów dochodzi do 98%.
Istnieją trzy zasadnicze przyczyny strat energii w obwodzie transformatora:
1. Ciepło Joule a Lenza.
W ka\
dym przewodniku, w którym płynie prąd wydziela się ciepło Q = I2 R t.
Straty spowodowane w ten sposób mo\
na zminimalizować przez stosowanie
przewodów wykonanych z bardzo dobrych przewodników (miedz
, aluminium), o
odpowiednio du\
ym przekroju poprzecznym.
2. Prądy wirowe.
Powstają one w rdzeniu transformatora i są wywołane przez zmienne pole
magnetyczne. Aby zmniejszyć straty wywołane przez prądy wirowe rdzenie
transformatorów wykonuje się z cienkich blaszek.
3. Histereza \
elaza.
Konieczność ustawicznych zmian stanu namagnesowania rdzenia wią\
e się z
nieustannymi obrotami domen magnetycznych. W wyniku tarcia wydziela się ciepło.
Straty spowodowane histerezą \
elaza mo\
na zmniejszyć wykonując rdzeń
transformatora ze szczególnie miękkich materiałów ferromagnetycznych.
Prawa Maxwella
Wokół przewodnika z prądem istnieje pole magnetyczne. Zgodnie z prawem
Ampere a zachodzi związek:
37
=
=
=
B r
"H dl = I
"
"
"
||
H
r
Krą\
enie H po konturze zamkniętym jest równe natę\
eniu
prądu przepływającego przez ten kontur.
r
H|| Jeśli w obwodzie prądu zmiennego znajduje się
kondensator, to pomiędzy okładkami tego kondensatora
istnieje zmienne pole elektryczne. Przez powierzchnię
zamykającą jedną z okładek przenika zmienny strumień natę\
enia pola
elektrycznego. Zgodnie z prawem Gaussa zachodzi
równość:
Q
�E =
� =
� =
� =
+ + + + + + + + + + + + +
��0
��
��
��
� - strumień całkowity natę\
enia pola przenikający
�
�
�
E
powierzchnię, która zamyka ładunek Q. - - - - - - - - - - - -
Pochodna strumienia natę\
enia pola po czasie wynosi:
d�E 1 dQ 1
�
�
�
= = Ip
= =
= =
= =
dt ��0 dt ��0
�� ��
�� ��
�� ��
Zmiana strumienia jest zatem równowa\
na przepływowi prądu. Wynika stąd, \
e
chocia\
między okładkami kondensatora nie płynie prąd elektryczny, to wokół linii
sił zmiennego pola elektrycznego musi istnieć pole magnetyczne. Zgodnie z prawem
Ampere a otrzymujemy:
d�E
�
�
�
= = ��0
= = ��
= = ��
"H dl = Ip = �� dt
"
"
"
||
Jeśli przez pewien kontur zamknięty przepływa prąd elektryczny i przenika zmienne
pole elektryczne, to dla tego konturu zachodzi związek:
�
�
�
= + ��
= + ��
= + ��
"H dl = I + ��0 d�E
"
"
"
||
dt
Powy\
sza zale\
ność jest określona jako pierwsze prawo Maxwella. Jego istotą jest
związek między polem elektrycznym jako przyczyną i polem magnetycznym jako
skutkiem. Przyczyną pola magnetycznego jest nie tyle prąd płynący w przewodniku
co pole elektryczne, które ten prąd wywołało. Zmienne pole elektryczne jest
przyczyną zmiennego, wirowego pola magnetycznego.
38
Jeśli przez obwód zamknięty przenika zmienne
pole magnetyczne, to w tym obwodzie powstaje
N prąd indukcyjny. Zgodnie z prawem indukcji
Faradaya, SEM indukcji wyra\
a się wzorem:
dŚ
Ś
Ś
Ś
SEM = -
= -
= -
= -
dt
Napięcie, które jest przyczyną prądu indukcyjnego jest sumą ró\
nic potencjałów
liczonych wzdłu\
obwodu.
SEM =
=
=
=
"dV
"
"
"
Ró\
nica potencjałów na odcinku dl obwodu wią\
e się z natę\
eniem pola
elektrycznego skierowanym wzdłu\
dl:
dV
E|| = �! dV = E||dl
= �! =
= �! =
= �! =
dl
SEM =
=
=
=
"E dl
"
" ||
"
Prawo indukcji Faradaya mo\
na zatem zapisać w postaci:
Ś
Ś
Ś
= -
= -
= -
"E dl = - dŚ
"
"
"
||
dt
Sumę po lewej stronie równania nazywamy krą\
eniem wektora E po konturze
zamkniętym. Powy\
szą zale\
ność nazywamy drugim prawem Maxwella.
Prawo to stanowi uogólnienie prawa indukcji Faraday a. Jego istotą jest związek
między polem magnetycznym jako przyczyną i polem elektrycznym jako skutkiem.
Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne, wirowe pole elektryczne. Prąd
elektryczny jest skutkiem istnienia pola elektrycznego.
Ruchomy ładunek elektryczny wytwarza
zmienne pole magnetyczne. Zmienne pole
"
magnetyczne jest z kolei przyczyną zmiennego,
wirowego pola elektrycznego. Oznacza to, \
e
ruchomy ładunek jest przyczyną powstania ciągu pól: magnetycznego i
elektrycznego. Taki ciąg pól nazywamy falą elektromagnetyczną. y
ródłem fali jest
ka\
de zmienne pole elektryczne lub magnetyczne.
39