Wykład 10
10.Zasada zachowania pedu II
10.1 Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowalismy sie układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy sie ukła-
dami, ktorych masa zmienia sie podczas obserwacji.
Przykładem niech bedzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy goracy gaz z duza
predkoscia, zmniejszajac w ten sposob swoja mase i zwiekszajac predkosc (rysunek po-
nizej).
v
s
v
m
dm
s
Spaliny opuszczaja silnik rakiety ze stała predkoscia wzgledem Ziemi. Predkosc
s
chwilowa rakiety wzgledem Ziemi jest rowna , zatem predkosc spalin wzgledem rakie-
ty jest dana zaleznoscia
wzg.
=  (10.1)
wzgl s
Jezeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z pred-
koscia to masa rakiety maleje o dm a jej predkosc rosnie o d , przy czym
0
d ms d m
= - (10.2)
d t d t
Obliczmy teraz całkowita szybkosc zmian pedu P układu
d prakiety d pspalin
d P
= +
dt d t d t
d P d(m ) d ms
= +
s
d t d t d t
d P d d m d ms
= m + + (10.3)
s
d t d t d t d t
Rownanie to uwzglednia fakt, ze w przypadku rakiety zmienia sie zarowno jej masa jak
i predkosc podczas gdy spaliny sa wyrzucane ze stała predkoscia. Zmiana pedu układu
jest zgodnie z II zasada dynamiki Newtona rowna sile zewnetrznej działajacej na układ.
10
-1
Uwzgledniajac zaleznosci (10.1) i (10.2) mozemy przekształcic rownanie (10.3) do po-
staci
d p d d ms
Fzew = = m + (10.4)
wzgl
d t d t d t
Ostatni wyraz w rownaniu (10.4) moze byc interpretowany jako siła wywierana na układ
przez substancje (spaliny), ktora z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwe
siły ciagu.
Jezeli ruch rakiety odbywa sie w przestrzeni kosmicznej to siły zewnetrzne Fzew sa
do zaniedbania i wtedy zmiana pedu rakiety jest rowna sile ciagu. Jezeli jednak ruch od-
bywa sie w poblizu Ziemi (np. tuz po starcie) to wowczas Fzew reprezentuje ciezar rakie-
ty i siłe oporu atmosfery i trzeba ja uwzglednic. Konstruktorzy rakiet staraja sie uzyskac
jak najwieksza siłe ciagu aby przezwyciezyc Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie ponad 3
mln kg wytwarzała przy starcie ciag 40 MN.
Obliczmy siłe ciagu dla rakiety o masie 15000 kg, ktora po spaleniu paliwa wazy 5000
kg. Szybkosc spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a predkosc wyrzucania gazow wzgledem
rakiety jest rowna 1500 m/s.
d M
F =
wzgl
d t
wiec
F = 1500 m/s�150 kg/s = 2.25�105 N
Zwrocmy uwage, ze poczatkowo (rakieta z paliwem) siła działajaca na rakiete skiero-
wana ku gorze jest rowna sile ciagu 2.25�105 N minus ciezar rakiety (1.5�105 N). Po
zuzyciu paliwa wynosi 2.25�105 N - 0.5�105 N = 1.75�105 N.
10.2 Zderzenia
10.2.1 Wstep
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działajace przez krotki czas w porownaniu do czasu obserwacji układu nazy-
wamy siłami impulsowymi. Takie siły działaja w czasie zderzen np. uderzenie piłki o
sciane czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie musza sie "doty-
kac", a i tak mowimy o zderzeniu np. zderzenie czastki alfa (4He) z jadrem jakiegos
pierwiastka (np. Au). Wowczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia mozemy podciagnac rowniez reakcje. Proton w trakcie zderzenia z ja-
drem moze wniknac do niego. Wreszcie mozemy rozszerzyc definicje zderzen o rozpa-
dy czastek np. czastka sigma rozpada sie na pion i neutron: Ł = Ą- + n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadaja cechy charakterystyczne dla zderzen:
" mozna wyraznie rozroznic czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
" prawa zachowania pedu i energii pozwalaja zdobyc wiele informacji o procesach na
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, ze niewiele wie-
my o siłach "podczas" zderzenia.
10
-2
10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie czesto nie znamy sił działajacych podczas zderzenia ale wiemy, ze musi
byc spełniona zasada zachowania pedu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet nie znajac szczegołow oddziaływania mozna w wielu
przypadkach stosujac te zasady przewidziec wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy tez nie. Jezeli tak to zderzenie nazywamy sprezystym, jezeli
nie toniesprezystym .
Jedyne prawdziwe zderzenia sprezyste (chociaz nie zawsze) to zderzenia miedzy
atomami, jadrami i czasteczkami elementarnymi. Zderzenia miedzy ciałami sa zawsze
w pewnym stopniu niesprezyste chociaz czasami mozemy je traktowac w przyblizeniu
jako sprezyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łacza sie mowimy, ze zderzenie jest cał-
kowicie niesprezyste. Np. zderzenie miedzy pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-
cisk wbija sie w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie sprezyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobrazmy
sobie dwie gładkie nie wirujace kule, poruszajace sie wzdłuz linii łaczacej ich srodki.
Masy kul m1 i m2, predkosci przed zderzeniem i a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na
1 2
rysunku ponizej.
m2 v2 m2 u2
m1 v1 m1 u1
Z zasady zachowania pedu otr
m1 + m2 = m1u1 + m2u2 (10.5)
1 2
Poniewaz zder zyste to ener i-
nicja). Otr
2 2 2 2
m1 m2 m1u1 m2u2
1 2
+ = + (10.6)
2 2 2 2
Pr
m1( - u1) = m2(u2 - ) (10.7)
1 1
a r
2 2 2 2
m1( - u1 ) (um -= ) (10.8)
1 2 2 2
10
-3
Dzielac rownanie (10.8) przez rownanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy załozeniu
`" u1 i `" u2)
1 2
+ u1 = + u2
1 2
a po uporzadkowaniu
- = u2 - u1 (10.9)
1 2
Rownanie to mowi nam, ze w opisanym zderzeniu wzgledna predkosc zblizania sie cza-
stek przed zderzeniem jest rowna wzglednej predkosci ich oddalania sie po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy rownania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znalezc u1 i u2. Wy-
starcza wiec dowolne dwa. Biorac dwa liniowe rownania (10.7) i (10.9) obliczmy
�ł - m2 �ł �ł 2m2 �ł
m1 �ł �ł �ł
�ł
u1 = + (10.10)
�ł
m1 + m2 �ł 1 �ł m1 + m2 �ł 2
�ł łł �ł łł
oraz
�ł 2m1 �ł �ł m2 - m1 �ł
�ł �ł �ł
�ł
u2 = + (10.11)
�ł
m1 + m2 �ł 1 �ł m1 + m2 �ł 2
�ł łł �ł łł
Rozpatrzmy kilka interesujacych przypadkow:
" m1 = m2
wtedy u1 = 2 oraz u2 = 1
czyli czastki wymieniły sie predkosciami.
" = 0
2
wtedy
�ł - m2 �ł �ł 2m1 �ł
m1 �ł �ł
�ł �ł
u1 = oraz u2 =
�ł �ł
m1 + m2 �ł 1 m1 + m2 �ł 1
�ł łł �ł łł
" jezeli jeszcze dodatkowo m1 = m2
wtedy u1 = 0 oraz u2 = (wymiana predkosci)
1
" natomiast gdy m2 >> m1 to wtedy:
u1 E"  oraz u2 E" 0
1
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu czastki lekkiej z bardzo ciezka (spoczywaja-
ca) np. piłka uderza o sciane.
" wreszcie sytuacja odwrotna m2 << m1.
Wtedy u1 E" 1 oraz u2 E" 2 .
1
Predkosc czastki ciezkiej (padajacej) prawie sie nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze musza byc spowalniane aby podtrzymac proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z sprezyscie z jadrami (spoczywajacymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu były ciezkie jadra to neutrony zderzajac sie "odbijałyby" sie nie
10
-4
tracac nic z predkosci. Gdyby natomiast spowalniaczem były czastki lekkie np. elektro-
ny to neutrony poruszałyby sie wsrod nich praktycznie bez zmiany predkosci. Zatem
trzeba wybrac moderator (spowalniacz) o masie jader porownywalnej z masa neutro-
now.
Przy zderzeniach niesprezystych energia kinetyczna nie jest zachowana.
Roznica pomiedzy energia kinetyczna poczatkowa i koncowa przechodzi np. w ciepło
lub energie potencjalna deformacji.
Przykład 1
Jaka czesc swej energii kinetycznej traci neutron (m1) w zderzeniu centralnym z jadrem
atomowym (m2) bedacym w spoczynku?
2
m1 1
Poczatkowa energia kinetyczna: Ek1 =
2
2
m1u1
Koncowa energia kinetyczna: Ek 2 =
2
Wzgledne zmniejszenie energii kinetycznej:
2 2 2
Ek1 - Ek 2 - uu
1 1 1
= = 1-
2 2
Ek1
1 1
Poniewaz dla takiego zderzenia:
�ł - m2 �ł
m1 �ł
�ł
u1 =
�ł
m1 + m2 �ł 1
�ł łł
wiec
2
�ł �ł
Ek1 - Ek 2 m1 - m2 4m1m2
= 1- �ł �ł
=
�ł
Ek1 m1 + m2 �ł (m1 + m2 )2
�ł łł
Ek1 - Ek 2
" dla ołowiu m2 = 206 m1 wiec = 0.02 (2%)
Ek1
Ek1 - Ek 2
" dla wegla m2 = 12 m1 wiec = 0.28 (28%)
Ek1
Ek1 - Ek 2
" dla wodoru m2 = m1 wiec = 1 (100%)
Ek1
Wyniki te wyjasniaja dlaczego parafina, ktora jest bogata w wodor jest dobrym spowal-
niaczem (a nie ołow).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Słuzy do pomiaru predkosci pociskow. Składa sie z bloku drewnianego o masie M, wi-
szacego na dwoch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, majacy predkosc pozioma ,
wbija sie w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiacym w
nim pociskiem) wychyla sie i podnosi na maksymalna wysokosc h.
10
-5
m v
h
M
Z zasady zachowania pedu otrzymujemy
m = (m + M)u
Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):
(m + M )u2
= (m + M )gh
2
Po rozwiazaniu tych dwoch rownan otrzymujemy:
m + M
= 2gh
m
Wystarczy wiec zmierzyc wysokosc h oraz masy m i M aby moc wyznaczyc predkosc
pocisku .
Na zakonczenie sprawdzmy jaka czesc poczatkowej energii zostaje zachowana w
tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek  po-
cisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymuje-
my
1
(m + M )u2 (m + M )gh
m
2
= =
2
1
m + M
2
1 m + M
�ł
m
m�ł 2gh
�ł �ł
2
2 m
�ł łł
Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek
m/(m+M) E" 0.025. Oznacza to, ze zachowane zostaje tylko 0.25% poczatkowej energii
kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.
10
-6