3. PRAWO HUBBLE A
Już w 1912 roku V. M. Slipher odkrył, że linie widmowe prawie wszystkich galaktyk (za wyjątkiem
kilku najbliższych) przesunięte są w różnym stopniu w stronę długofalową  ku czerwieni. Jednak
dopiero w roku 1929 E. Hubble, badając skrupulatnie widma galaktyk o znanych już wówczas
odległościach (wyznaczonych różnymi metodami), stwierdził istnienie liniowej korelacji pomiędzy
przesunięciem ku czerwieni linii widmowych, a odległością do galaktyki. Interpretując to przesunięcie
widma jako efekt Dopplera wysunął śmiałą hipotezę, że Wszechświat jako całość ekspanduje i
wszystkie odległości w nim rosną z czasem, a prędkość wzajemnego oddalania się spełnia zależność:
V = H ·D (1)
gdzie D  odległość do galaktyki, zaś H  współczynnik proporcjonalności nazwany póz
niej stałą
Hubble a. Jak zobaczymy poniżej, określenie  stała nie jest w ogólności trafne, gdyż wielkość ta
zmienia się w kosmologicznej skali czasu. Lepiej jest więc używać nazwy  parametr Hubble a, zaś
dla wartości tego parametru w obecnym czasie T wprowadzono oznaczenie H i dla niego termin
 stała jest już w pełni adekwatny. Wielokrotnie weryfikowano obserwacyjnie wartość stałej Hubble a
H i pomiary te wciąż są powtarzane. Na ich podstawie przyjmuje się obecnie wartość
H = 65 ą 8 km/s/Mpc. Oznacza to, że z każdym megaparsekiem odległości prędkość oddalania się
obiektu od dowolnie wybranego punktu początkowego narasta o ok. 65 km/s. Ponieważ występujące w
jednostkach stałej Hubble a kilometry oraz megaparseki można wyrazić w metrach więc, po
uproszczeniu przez metry, podstawową jednostką dla wielkości H jest [S ] czyli odwrotność czasu.
Czas ten, czyli (H ) jest co do rzędu wielkości porównywalny z wiekiem Wszechświata.
Odkrycie Hubble a stało się inspiracją do poszukiwania takich modeli kosmologicznych, które
zawierałyby w sobie możliwość ekspansji. Omawiane one będą w rozdziale  Kosmologiczne
rozwi zania równa Einsteina .
Funkcjonowanie prawa Hubble a możemy zademonstrować graficznie na przykładzie modelu
Wszechświata o geometrii typu sferycznego. Niech naszą trójwymiarową przestrzeń reprezentuje
dwuwymiarowa powierzchnia sfery, na której wybieramy dwa punkty  np. galaktyki (1) i (2).
Promień tej sfery i jej środek nie należą już do naszej powierzchni  są poza nią, a więc jakby poza
tym modelowym wszechświatem. Oznaczamy sobie przez RT) promień sfery w chwili T zaś przez
(
RT + T) promień po pewnym czasie T. Podobnie odległości pomiędzy wybranymi punktami
(

oznaczymy odpowiednio przez D oraz D . Jak widać, punkty symbolizujące galaktyki oddaliły się od
siebie nie na skutek ruchów własnych po powierzchni, lecz na skutek ekspansji samej sfery.
Możemy więc napisać prostą proporcję:

DD
= (2)
RT) RT + T)
( (
StÄ…d:
(
RT + T)
D =·D (3)
RT)
(
Zmiana odległości pomiędzy punktami (1) i (2) będzie:
RT + T) - RT)
( (

D = D -D =·D (4)
RT)
(
Dzieląc stronami przez przyrost czasu T dostaniemy prędkość oddalania się
D RT + T) - RT)
( (
V = =·D (5)
TRT) · T
(
Rozpoznajemy w tym wyrażeniu znany iloraz różnicowy (w granicy pochodną). Możemy zrobić
więc podstawienie:

1 DR R
H = H(T) = := (6)
R DT R
po którym formuÅ‚a (5) uzyskuje postać prawa Hubble a V = H ·D. Widzimy wiÄ™c jawnie, że parametr
Hubble a H jest zmienny w czasie, a tempo tej zmiany zależy od typu modelu kosmologicznego. W
rozdziale o rozwiązaniach kosmologicznych pokażemy, że np. dla modelu o geometrii euklidesowej,
zależność H(T) jest
2
H(T) = (7)
3T
Pomiary Hubble a z lat 20. dotyczyły galaktyk o odległościach kilkadziesiąt (lub niewiele ponad
100) milionów parseków. W tej sytuacji względnie dobrym przybliżeniem było stosowanie
nierelatywistycznego wzoru Dopplera na przesunięcie ku czerwieni:
V
Z := = (8)
C
Gdy póz
niej odkryto bardziej odległe galaktyki oraz kwazary o bardzo dużych przesunięciach widm,
koniecznym stało się stosowanie relatywistycznego wzoru Dopplera:
V
1 +

C
Z := =- 1 (9)

V
1 -
C
Jak widać z niego, gdy Z " to V C. Obecnie najdalsze (i zarazem najstarsze)
zaobserwowane galaktyki i kwazary mają przesunięcia ku czerwieni Z > 5. Za najstarszy
obserwowany obiekt we Wszechświecie można uznać reliktowe promieniowanie tła, które w chwili
termodynamicznego oderwania się od materii miało temperaturę kilku tysięcy Kelvinów, obecnie zaś
ma K. Odpowiadające tej zmianie temperatury przesunięcie ku czerwieni termicznego
widma tego promieniowania, daje wartość Z rzędu
Problem odległości przy dużych wartościach Z
Prawo Hubble a w formie (1) może służyć do wyznaczania odległości do galaktyk i kwazarów. Przy
niezbyt dużych wartościach przesunięcia ku czerwieni (Z < 1) dobrym przybliżeniem jest stosowanie
wartości H . Jednak, jak to już stwierdziliśmy, parametr Hubble a zmienia się w czasie. Nie możemy
więc używać wartości H dla bardzo odległych obiektów (rzędu miliardów lat świetlnych), gdyż przed
miliardami lat wartość parametru Hubble a była istotnie różna od dzisiejszej. Jednocześnie, w chwili
emisji obserwowanego dziś światła takiej galaktyki była ona znacznie bliżej nas niż jest w tej chwili,
gdyż wszystkie odległości we Wszechświecie były wówczas mniejsze. Światło biegło od galaktyki do
nas, a w tym czasie Wszechświat rozszerzał się i to ze zmienną w czasie prędkością. Powstaje więc
problem  co w tym kontekście znaczy  odległość do galaktyki wyznaczana z prawa Hubble a. Czy
chodzi o odległość w chwili emisji widocznego dziś światła tej galaktyki, czy też o odległość do niej w
chwili obecnej.
Zagadnienie to zostało rozwiązane w latach 50. przez Mattiga. Przytoczymy tu końcowy rezultat
tego rozwiązania. Obecna odległość do galaktyki, D z obserwowaną wartością poczerwienienia  Z
wyraża się:
2C &!· Z + (&!- 2) ·[ 1 +&!· Z - 1]
D = · (10)
H &! (Z + 1)
gdzie:
Á
&! :=
Á
czyli stosunek średniej gęstości materii we Wszechświecie do tzw. gęstości krytycznej,
charakteryzującej Wszechświat o geometrii euklidesowej z K = 0.
Natomiast odległość D do tego samego obiektu w chwili wyemitowania obserwowanego dziś
światła wyraża się wzorem:
D
D = (11)
Z + 1
W szczególności dla euklidesowego modelu Wszechświata, (gdy &!= 1) formuła (10) upraszcza
siÄ™ do postaci:
2C 1
1
D = - (12)

H Z + 1

Widać z niej, że w granicy
2C
D (13)
H
Jest to właśnie odległość do horyzontu kosmologicznego. Ponieważ dla modelu euklidesowego
otrzymaliśmy zależność H(T) = więc podstawiając do (13) obecną chwilę T = T dostaniemy
D = 3CT jako współczesną odległość do horyzontu.
Dla małych wartości Z 1 możemy (11) rozwinąć w szereg względem Z:
2C 12C 1
1
D = - · Z + (14)

H Z + 1 H 2

Otrzymujemy wówczas:
V
D H = C · Z = C = C = V (15)
C
czyli znane liniowe prawo Hubble w postaci (1).
Przykładowo, dla jednej z galaktyk rekordzistek, obserwowana wartość Z = 5.25. Dla niej przy
&!= 1 oraz H = 5 KM/S/MPC = 2.10 ×10 S (czyli H = 15 mld lat), dostaniemy
D = 1 mld lat świetlnych, zaś D = D / .25 = 2. mld lat świetlnych.
prof. Jerzy Sikorski