Wykład XVII Mechanika kwantowa
Przekrój czynny i amplituda rozpraszania
Rozważamy sytuację, kiedy wiązka
cząstek pada na próbkę materiału  tarczę i tory
czÄ…stek ulegajÄ… zakrzywieniu. Definiujemy
dÃ
różniczkowy przekrój czynny , określając
d&!
prawdopodobieństwa na jednostkę czasu
P(&!)d&! zarejestrowania czÄ…stki w kÄ…cie
bryłowym d&! rozproszonej pod kątem
&! = (¸,Õ) :
dÃ
P(&!)d&! = S n d&!
,
d&!
gdzie n jest liczbą centrów rozpraszania w tarczy, a S jest strumieniem cząstek
wiązki, czyli liczbą cząstek padających na powierzchnię prostopadłą do
kierunku wiÄ…zki w jednostce czasu.
Jak pokazuje rysunek, liczba cząstek dN, które trafiają w
dN = Á A v dt
powierzchnię A w czasie dt, jest równa , gdzie
Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… czÄ…stek, a v ich prÄ™dkoÅ›ciÄ… prostopadÅ‚Ä… do
1 dN
powierzchni. A ponieważ S a" , znajdujemy strumień jako
A dt
S = Á v .
dÃ
Różniczkowy przekrój czynny ma wymiar
d&!
powierzchni. Jeśli trafi w nią cząstka wiązki, ulega
dÃ
à a"
rozproszeniu w kąt bryłowy d&! . Wielkość , to całkowity
+"d&!
d&!
przekrój czynny równy powierzchni, w którą musi trafić cząstka by ulec
rozproszeniu w jakikolwiek kÄ…t.
Rozważmy klasyczne zderzenie cząstek o promie-
niach a i b. Jak wynika z rysunku całkowity przekrój
czynny na oddziaływanie tych cząstek to à = Ą (a + b)2 ,
tzn. środek cząstki, powiedzmy, o promieniu b musi
trafić w powierzchniÄ™ à = Ä„ (a + b)2 , aby doszÅ‚o do
zderzenia.
1
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Kwantowo-mechaniczna definicja przekroju czynnego
Problem rozpraszania rozważamy w układzie centrum masy systemu
pocisk-tarcza. Ponieważ zakładamy nieobecność sił zewnętrznych, mamy do
czynienia z cząstką o masie zredukowanej układu pocisk-tarcza poruszającej
w potencjale reprezentującym oddziaływanie wzajemne. Przyjmujemy, że
cząstki padające na tarczę poruszają się wzdłuż osi z i postulujemy, że funkcja
falowa cząstek padających i rozproszonych ma na dużych odległościach od
tarczy przybiera następującą postać asymptotyczną
ëÅ‚ öÅ‚
1 eikr
ikz
Õ(r) = ìÅ‚
,
ìÅ‚e + f (&!) ÷Å‚
÷Å‚
r
V
íÅ‚ Å‚Å‚
2mE
gdzie k a" jest wektorem falowym cząstki o energii E i masie m. Człon
h
eikr
eikz
odpowiada fali padajÄ…cej, jest kulistÄ… falÄ… rozproszonÄ…, f (&!) to
r
amplituda rozpraszania, V jest czynnikiem wynikajÄ…cym z  normalizacji w
pudełku . Widzimy, że amplituda rozpraszania ma wymiar długości.
Prawdopodobieństwo rozproszenia cząstki na jednostkę czasu w kąt
bryłowy d&! równe jest
2
P(&!)d&! = N n v Õs(r) r2d&!
,
gdzie N i n sÄ…, odpowiednio liczbÄ… czÄ…stek
padających i cząstek tarczy, v jest prędkością
1 eikr
Õ (r) = f (&!)
względną, częścią
s
r
V
r2d&!
funkcji falowej odpowiadajÄ…cÄ… fali rozproszonej, a powierzchniÄ…
podstawy stożka pokazanego na rysunku. Ponieważ
dà N 2 dÃ
P(&!)d&! = Á nv d&! n v f (&!) r2d&! = Á nv d&!
, mamy czyli
d&! V d&!
dà 2
= f (&!) .
d&!
2
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Dalej będziemy zakładać, że, tak jak się dzieje w przypadku potencjałów
sferycznie symetrycznych, prawdopodobieństwo rozpraszania nie zależy od kąta
azymutalnego Õ . Wówczas f (&!) = f (¸ ) , a
Ä„ 1
dà 2 2
à a"
.
+"d&! = 2Ä„+"d¸sin¸ f (¸ ) = 2Ä„ +"d(cos¸) f (¸ )
d&!
0 -1
Rozkład na fale parcjalne
Przyjmujemy, że potencjał oddziaływania jest sferycznie symetryczny,
więc funkcję falową można zapisać w postaci
" l
Õ(r,¸ ,Õ) =
" "C Rl (r)Ylm(¸,Õ) ,
lm
l=0 m=-l
Ylm(¸,Õ)
gdzie to harmoniki sferyczne. Skoro przyjęliśmy, że rozpraszanie nie
zależy od kÄ…ta azymutalnego Õ , wiÄ™c jedynÄ… dopuszczalna wartoÅ›ciÄ… m jest
Yl0(¸,Õ) ~ Pl (cos¸ ) Pl (cos¸ )
m = 0 . Ponieważ , gdzie jest wielomianem
Legendre a, rozkład funkcji falowej przyjmuje postać
"
Õ(r,¸ ) = Rl (r)Pl (cos¸ )
"C .
l
l=0
Rozkład danej wielkości na sumę wkładów o określonych l nosi nazwę
rozkładu na fale parcjalne.
Gdy zasiÄ™g potencjaÅ‚u jest skoÅ„czony, równanie Schrödingera dla dużych r
jest równaniem swobodnym. Rozwiązanie takiego równania we współrzędnych
sferycznych zapisujemy jako
" l
Õ(r,¸ ,Õ) =
" "C Rl (r)Ylm(¸,Õ) ,
lm
l=0 m=-l
gdzie radialna część funkcji falowej równa jest
Rl (r) = Al jl (kr) + Blnl (kr)
,
przy czym jl (x) i nl (r) to tzw. sferyczne funkcje Bessela, które dla x >> l(l + 1)
można przybliżyć jako
1 Ä„l 1 Ä„l
öÅ‚ öÅ‚
jl (x) H" sinëÅ‚ x - ÷Å‚ ìÅ‚
, nl (x) H" - cosëÅ‚ x - ÷Å‚
.
ìÅ‚
x 2 x 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Tak zatem radialną część funkcji falowej, opisującej rozpraszanie na potencja-
łach o skończonym zasięgu, zapisujemy jako
1 Ä„l
Rl (r) ~ sinëÅ‚kr - + ´l öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ .
kr 2
íÅ‚ Å‚Å‚
´l
Powyższy wzór można traktować jako definicję przesunięcia fazowego .
Funkcja falowa przyjmuje postać
"
Cl Ä„l
Õ(r,¸ ) = sinëÅ‚kr - + ´l öÅ‚Pl (cos¸ )
ìÅ‚ ÷Å‚
"
kr 2
íÅ‚ Å‚Å‚
l=0
"
Cl ëÅ‚ iÄ„l iÄ„l öÅ‚
= Pl (cos¸ )ìÅ‚expëÅ‚ikr - + i´l öÅ‚ - expëÅ‚- ikr + - i´l öÅ‚÷Å‚. (*)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
"
ìÅ‚
2ikr 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
l=0 íÅ‚ Å‚Å‚
Uwaga: Ściśle rzecz biorąc powyższy wzór, który występuje bodaj we wszystkich
podręcznikach mechaniki kwantowej, jest matematycznie niepoprawny, gdyż przy
sumowaniu po l do nieskończoności następuje w którymś momencie naruszenie warunku
kr >> l(l +1) . Jednak wyprowadzenia wykorzystujące takie (rozbieżne) szeregi są poprawne,
jeśli nie wykonywane jest sumowanie po l, a rozważane są jedynie wyrazy o określonym l.
Problem opisany jest w pracy: R. Maj and St. Mrówczyński, Inaccurate use of asymptotic
formulas, American Journal of Physics 72, 922 (2004).
Teraz dokonujemy rozkładu na fale parcjalne asymptotycznej funkcji
eikr
Õ(r,¸ ) = eikz + f (¸ )
falowej , gdzie pominęliśmy czynnik normalizacyjny.
r
Falę padającą rozkładamy dzięki matematycznej tożsamości
"
exp(ikz)= exp(ikr cos¸ )= +1)il jl (kr)Pl (cos¸ ) .
"(2l
l=0
1 Ä„l
öÅ‚
PrzybliżajÄ…c funkcje Bessela dla x >> l(l +1) jako jl (x) H" sinëÅ‚ x - ÷Å‚
i zauważając,
ìÅ‚
x 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„l
öÅ‚
że il = expëÅ‚i dostajemy
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
"
(2l +1) Ä„l Ä„l
öÅ‚ öÅ‚P (cos¸ )
exp(ikz) = expëÅ‚i sinëÅ‚kr - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
" l
kr 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
l=0
"
(2l +1)
= Pl (cos¸ ) (exp(ikr)- exp(- ikr + iÄ„l)).
"
2ikr
l=0
4
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Rozkładając amplitudę rozpraszania jako
"
Al
f (¸ ) = Pl (cos¸ )
"
2ik
l=0
dostajemy
eikr
Õ(r,¸ ) = eikz + f (¸ )
r
(**)
"
1
= Pl (cos¸ ) [(2l +1+ Al ) exp(ikr)- (2l +1)exp(- ikr + iÄ„l)]
"
2ikr
l=0
Funkcję falową mamy więc zapisaną na dwa sposoby (*) i (**). Równość
obu postaci dla wszystkich r wymaga, żeby były sobie równe współczynniki
Pl (cos¸ )eikr
przy i przy Pl (cos¸ )e-ikr . A zatem
Å„Å‚ Ä„l
öÅ‚
ìÅ‚
l
ôÅ‚C expëÅ‚- i + i´l ÷Å‚ = (2l +1) + Al ,
2
ôÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
òÅ‚
ôÅ‚C expëÅ‚i Ä„l i´l öÅ‚ (2l +1) exp(iÄ„l),
=
ìÅ‚ - ÷Å‚
l
ôÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ół
co daje
Ä„l
Cl = (2l +1) expëÅ‚i + i´l öÅ‚
Al = (2l +1)(exp(i2´l )-1)
ìÅ‚ ÷Å‚ oraz .
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie więc mamy
"
(2l +1)
f (¸ ) = (exp(i2´l )-1)Pl (cos¸ )
"
2ik
l=0
Widzimy, że przesuniÄ™cia fazowe sÄ… tak zdefiniowane, że gdy znikajÄ… (´l = 0) ,
( f (¸ ) = 0)
amplituda rozpraszania jest zerowa . Metodę rozkładu na fale
parcjalne stosuje się zwykle wtedy, gdy już kilka pierwszych wyrazów szeregu
daje zadawalajÄ…cy wynik.
dÃ
Różniczkowy przekrój czynny dany jest wzorem
d&!
2
"
dà 2
= f (¸ ) =
"(2l +1) (exp(i2´l )-1)Pl (cos¸ ) .
d&! 2ik
l=0
5
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
CaÅ‚kowity przekrój czynny à obliczamy w nastÄ™pujÄ…cy sposób
1
dà 2
à = d&! = 2Ą
+" +"d(cos¸) f (¸)
d&!
-1
1
" "
Ä„
=
""(2l +1)(2l'+1)(exp(i2´l)-1)(exp(-i2´l')-1)Pl (cos¸)Pl'(cos¸).
+"d(cos¸)
2k2
l=0 l'=0
-1
Korzystając z warunku ortogonalności wielomianów Legendre a
1
2
ll'
+"d(cos¸ )Pl (cos¸ )Pl'(cos¸ ) = ´ ,
2l +1
-1
znajdujemy
"
Ä„
à =
"(2l +1)(exp(i2´l )-1)(exp(-i2´l )-1) .
k2
l=0
Ponieważ
(exp(i2´l )-1)(exp(- i2´l )-1) = (exp(i´l )- exp(- i´l ))(exp(- i´l )- exp(i´l )) = 4sin2 ´l ,
ostatecznie otrzymujemy
"
4Ä„
à =
"(2l +1)sin2 ´l
k2
l=0
Twierdzenie optyczne
"
f (¸ = 0) =
Pl (cos¸ = 1) = 1
Ponieważ , wiÄ™c "(2l +1) (exp(i2´l )-1) .
2ik
l=0
Obliczmy urojonÄ… część amplitudy  rozpraszania do przodu (¸ = 0 )
"
f (¸ = 0) - f *(¸ = 0) 1 (2l +1)
!f (¸ = 0) = = (exp(i2´l )+ exp(- i2´l )- 2)
.
"
2i 2i 2ik
l=0
2
Ponieważ exp(i2´l )+ exp(- i2´l )- 2 = (exp(i´l )+ exp(- i´l )) = -4sin2 ´l , mamy
4Ä„
à = !f (¸ = 0)
k
Twierdzenie optyczne, będące fundamentalnym wynikiem teorii rozpraszania,
wiąże się w istocie z zasadą zachowania prawdopodobieństwa. Ugięcie o kąt
zerowy odpowiada właściwie brakowi rozproszenia. Prawdopodobieństwo zaś
braku rozproszenia określa prawdopodobieństwo rozproszenia na dowolny kąt,
co wiąże się z całkowitym przekrojem czynnym.
6