Wydział: Fizyki	Środa; 8:15-11:00		Nr zespołu: 11
	23.03.2011
Imię i Nazwisko: Karolina Kominek	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:	Ocena końcowa:
Prowadzący: Jacek Gosk		Podpis prowadzącego:

BADANIE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO I TEMPERATUROWEGO METALI METODĄ ANGSTRÖMA

Cel ćwiczenia:

Przeprowadzone doświadczenie miało na celu zbadanie współczynnika przewodnictwa temperaturowego materiału badanego metodą Angströma. Dzięki niemu możliwe stanie się ustalenie, z jakiego materiału zbudowany był badany pręt.

Wstęp teoretyczny:

Współczynnik przewodnictwa cieplnego możemy wyznaczyć za pomocą prawa Fouriera, które ma postać:

(2.1)

gdzie: ,

λ- współczynnik przewodnictwa cieplnego,

c_v – ciepło właściwe materiału,

ρ- gęstość materiału.

Korzystając z własności rachunku różniczkowego dochodzimy do rozwiązania postaci:

(2.2)

Gdzie a i b przyjmują postać:

(2.3)

W punktach x₁ i x₂ równanie (2.2) przyjmuje wartości:

(2.4)

(2.5)

Wykorzystując amplitudy obu czasowych przebiegów temperatury (oznaczone T₁ i T₂) obliczamy współczynnik a. Z różnicy argumentów funkcji cosinus otrzymujemy natomiast parametr b. (2.6) (2.7)

Gdzie: Δl – odległość między badanymi elementami pręta,

Δφ – przesunięcie fazowe.

Zatem podstawiając równania(2.6) i (2.7) do zależności (2.3) otrzymujemy współczynnik k, który wynosi:

(2.8)

Dla równanie (2.8) ostatecznie przyjmuje postać:

(2.9)

Stąd:

(2.10)

Schemat i parametry aparatury:

Rys. 2.1. Schemat układu pomiarowego.

Δl=80mm

x=5s

Wyniki i ich opracowanie:

1.1. Okres fali.

Stosuje następujący sposób wyznaczenia okresu fali temperatury od czasu: umieściłam jeden ze znaczników w dowolnym punkcie wykresu fali. Drugi znacznik ulokowałam orientacyjnie dwie długości fali dalej.

Aby uzyskać mniejszą niepewność, zmierzyłam odcinek osi OX równy dwóm okresom fali. Pomiarów dokonałam trzykrotnie (w różnych punktach wykresu), pomnożyłam je przez 5 s (w celu uzyskania jednostki czasu) i podzieliłam przez dwa.

Punkty pomiarowe (na wykresie)	Wartość odczytana z wykresu	Okres badanej fali [s]	Częstość kołowa [1/s]
1	150	750	0,00133
2	152	760	0,00132
3	155	775	0,00129
	średnia	762	0,00131

Tab.1. Wyniki pomiarów okresu badanej fali.

Jako błąd przyjęłam połowę najmniejszej podziałki danej na wykresie. Jedna „kratka” miała długość 20 jednostek. Podzielona przez dwa i pomnożona przez 5 sekund daje 50 .

Okres fali możemy zapisać:

T = (762 ± 50) s.

Zarówno pierwsza, jak i druga z badanych fal posiada ten sam okres. Różnią je natomiast amplitudy i zachodzi między nimi przesunięcie w fazie.

Rys. 1. Szkic wykresu wyświetlonego na ekranie komputera dla fali temperatury w zależności od czasu.

Przebieg wykresów nie jest sinusoidalny, a w konsekwencji nie można w sposób precyzyjny określić ich amplitudy. Należy znaleźć sposób, aby jak najbardziej dokładnie ją odczytać. Szkic wykresu wyświetlanego na ekranie komputera przedstawia Rys. 2.

Poprowadźmy dwie proste I i II przechodzące przez punkty odpowiadające maximom lokalnym oraz minimom lokalnym. Prosta ta jest dopasowana metodą najmniejszych kwadratów. Można założyć, że te proste są równoległe. W rzeczywistości ich kierunki nie pokrywają się idealnie. W konsekwencji otrzymany wynik będzie obarczony pewnym błędem. Za „położenie równowagi” przyjmuje prostą równoległą do prostych a i b, położoną w połowie ich odległości. Amplitudą będzie zatem połowa odległości prostych a i b (na rysunku zaznaczono symbolami przez d i D). Znając współrzędne punktów w tym układzie dwuwymiarowym (odczytanych z wykresu) oraz dokonując obliczeń matematycznych otrzymujemy wzory prostych w postaci kierunkowej:

y=ax+b

Z dopasowania prostych:

I: y = 0,021x + 106,42

II: y = 0,016x + 95,89

Następnie należy wyznaczyć równanie trzeciej prostej, prostopadłej do prostych I i II i przechodzącej przez wybrany punkt.

Prosta prostopadła do prostej y = 0,021x +106,42, przechodząca przez punkt P₁=(800;123,22) ma równanie:

y_pr= -47,6x+38203,22

Szukamy teraz punktu przecięcia otrzymanej prostej z prostą II: P₂=(800,3;108,7).

Wystarczy już tylko obliczyć odległość punktów P₁ i P₂ leżących na prostej y_pr. Połowa tej odległości to szukana amplituda A.

A= ½ |P₂P₅|= 7,185 ^oC ≈ 7,26 ^oC

Dla sprawdzenia poprawności wykonano ponowne obliczenia, tym razem korzystając z punktu P₃=(700;121,12).

Otrzymana amplituda A = 7,13 ^oC ≈ 7,1 ^oC .

Wartość średnia: A_śr=7,18 ^oC ≈ 7,2 ^oC.

Przyjmujemy błąd 0,3 ^oC. Jest on wyznaczony przez obserwacje wykresu w powiększeniu, gdzie jego linie miały grubość jednego piksela i tworzyły tzw. „ząbki”. Wysokość takich nierówności wynosiła na ogół właśnie 0,3 ^oC, co stanowiło podstawę wyznaczania niepewności temperatury.

Możemy więc zapisać amplitudę temperatury w punkcie x₁ w następujący sposób:

A₁ = (7,2 ± 0,3) ^oC.

Porównując otrzymaną wartość amplitudy z wartościami, jakie otrzymalibyśmy poprzez odjęcie igrekowych wartości dla minimalnych i maksymalnych temperatur potwierdzam wcześniejsze przypuszczenia.

Analogiczne postępowanie przeprowadzam dla punktu przy chłodnicy.

Amplituda wynosi:

A₂ = 3,13 ≈ (3,1 ± 0,3) ^oC.

Początkowo obliczyliśmy równanie prostej prostopadłej do prostej I. Mogliśmy wybrać prostąII. Parametry otrzymanej w ten sposób prostej nieznacznie się różnią, lecz nie ma towiększego wpływu na końcowy wynik, rozbieżności są niewielkie.

Widzimy, iż rzeczywiście odległości d są w przybliżeniu równe

1.2. Przesunięcie fazowe

Przesunięcie fazowe ustalono odczytując z wykresu różnice Δt na osi OX pomiędzy ekstremami lokalnymi dla punktów x₁ (od strony grzałki) i x₂ (od strony chłodnicy). Przedstawia to rys. 2.

Rys.2

Rys.2. Przesunięcia fazowe funkcji temperatury.

Odczytane wartości Δt zamieszczono w tabeli 4.Przesunięcie fazowe wyznaczam ze wzoru , gdzie τ=10 min = 600 s. Wyniki, podobnie jak w przypadku wyznaczania okresu fali pomnożono przez 5.

	Δt [s]	Δφ
	150	1,57
	125	1,31
	115	1,2
Średnia	130	1,36

Tab. 2. Wartości przesunięcia fazowego Δφ.

Błąd pomiaru oparty został na obserwacjach wykresu temperatury i był szacowany głównie ze względu na tzw. „obszary martwe”, czyli otoczenia ekstremum funkcji, gdzie przyjmuje ona tą samą wartość.

Błąd wynosi 3 jednostki * 5 sekund = 15 s.

Δt = (130 ± 15) s

Zatem przesunięcie fazowe obarczone jest niepewnością ±0,16s, co można zapisać jako 

Δφ = 1,36 ± 0,16

1.3. Wyznaczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego.

Wzór na wyznaczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego k :

Podstawiając dane: Δl = 0,08 m,

Δt = 130 s,

A₁ = 7,2 ^oC = 280,2 K

A₂ = 2,1 ^oC = 275,3 K

Otrzymujemy współczynnik k = 0,0014 [m²/s]

Wyznaczamy niepewność tego wyniku korzystając ze wzoru na różniczkę zupełną:

Uwzględniono niepewności:

Długości Δl – 0,001 m,

Różnicy czasu Δt – 15s,

Amplitudy temperatury A – 0,3 ⁰C.

Następnie wyliczamy współczynnik λ na podstawie danych z tab. 5.

Lp.	Materiał / symbol	Gęstość  [kg/m³]	Ciepło właściwe cw [kJ/kgK]	 [W/mK]
1	Duraluminium Pa6	2800	0,883	164,5
2	Miedź Cu-99,8%	8950	0,385	386,0
3	Mosiądz M-58	8520	0,385	110,6

Tab. 3. Tablicowe właściwości fizyczne duraluminium, miedzi i mosiądzu.

Otrzymany współczynnik λ (wyliczony ze wzoru i uwzględniający niepewność wyznaczenia Δλ = Δkc_vρ) wynosi:

· Dla duraluminium Pa6: λ = 346,13 ≈ (346 ± 15) W/mK

·Dla Miedzi Cu-99,8%: λ = 483,40 ≈ (482 ± 21 W/mK

· Dla Mosiądzu M-58: λ = 459,22 ≈ (459 ± 20) W/mk

Wnioski:

Doświadczenie potwierdza prawidłowość metody Angströma do wyznaczania współczynnika przewodnictwa cieplnego. Stosując tą metodę i dokonując obliczeń uzyskano wartość współczynnika λ.

Wymagane rozwiązanie równania różniczkowego (2.2) zostało sprawdzone (na podstawie prawa Fouriera) i dało pomyślny wynik.

Obliczone wartości współczynników λ dla duraluminium i mosiądzu znacznie różnią się od wartości tablicowych, z czego wnioskujemy, że badany pręt nie był wykonany z tych materiałów.

Wartość współczynnika przewodnictwa temperaturowego i cieplnego λ dla Miedzi Cu-99,8% odpowiadającą w przybliżeniu wartości tablicowej. Rozbieżność może wynikać z niedostatecznej precyzji pomiaru.

Najprawdopodobniej pręt użyty w doświadczeniu został wykonany z Miedzi Cu-99,8%