Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej
Wydział: Nauk o Materiałach i Środowisku
Kierunek: Inżynieria Środowiska
Temat: Zależność lepkości cieczy od temperatury.
Wstęp teoretyczny
Przesuwanie się warstw cieczy względem siebie napotyka opór zwany tarciem wewnętrznym spowodowanym lepkością cieczy. Jeżeli dwie warstwy cieczy odległe od siebie o dx wykazują stałą różnicę prędkości du, to siła, potrzebna do pokonania tarcia wewnętrznego w myśl wzoru Newtona równa jest:
$$\mathbf{F}\mathbf{=}\mathbf{\text{ηA}}\frac{\mathbf{\text{du}}}{\mathbf{\text{dx}}}$$
gdzie: A-pole powierzchni ulegającej przesuwaniu,
η-współczynik lepkości zwany lepkością dynamiczną
Z równania wynika, że jednostką lepkości jest 1[Pa*s]. Obok lepkości dynamicznej rozróżnia się również lepkość kinetyczną:
$$\mathbf{\nu}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\eta}}{\mathbf{\rho}}$$
która jest równa stosunkowi lepkości dynamicznej η do gęstości ρ. Odwrotność lepkości nosi nazwę płynności φ
$$\mathbf{\varphi}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\eta}}$$
Ciecze, których lepkość jest w danej temperaturze stała niezależnie od wielkości gradientu prędkości, noszą nazwę cieczy newtonowskich. Lepkość cieczy na ogół zmienia się znacznie
z temperaturą. W miarę wzrostu temperatury, w wyniku zwiększenia się energii kinetycznej cząstek, zmniejszają się siły przyciągania między cząsteczkami, czego efektem jest zmniejszenie tarcia wewnętrznego. Gazy zachowują się odwrotnie: wraz ze wzrostem ich temperatury rośnie lepkość, gdyż wzrasta liczba zderzeń między cząsteczkami. Arrhenius i Guzman wyrazili zależność lepkości od temperatury w postaci funkcji wykładniczej:
$$\mathbf{\eta}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{*}\mathbf{e}^{\frac{\mathbf{B}}{\mathbf{\text{RT}}}}$$
gdzie: A i B- stałe dla danej cieczy
R- stała gazowa
T- temperatura bezwzględna
Do analogicznego równia prowadzą teoretyczne rozważane nad lepkością cieczy. Każda cząstka cieczy zajmuję pewne położenie równowagi i nie może przejść do innego położenia równowagi w kierunki przepływu cieczy dopóki nie uzyska odpowiedniej energii zwanej "energię aktywacji lepkości". Cząstki, które mają energię większą od tej wartości, mogą się poruszać między sąsiednimi cząsteczkami. Liczba tych cząsteczek jest określona rozkładem Maxwella-Boltzmana, czyli płynność cieczy jest proporcjonalna do czynnika:
$$\mathbf{\varphi}\mathbf{\approx}\mathbf{e}^{\frac{\mathbf{-}\mathbf{E}}{\mathbf{\text{RT}}}}$$
gdzie: E jest energią aktywacji lepkości.
Stąd lepkość cieczy powinna być proporcjonalna do czynnika $e^{\frac{- E}{\text{RT}}}$
$$\mathbf{\eta}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{*}\mathbf{e}^{\frac{\mathbf{-}\mathbf{E}}{\mathbf{\text{RT}}}}$$
Równanie to odpowiada empirycznemu równaniu Arrheniusa-Guzmana.
Najczęściej stosowane są następujące metody pomiaru lepkości cieczy:
metody oparte na pomiarze czasu przepływu określonej objętości cieczy przez rurkę kapilarną pod wpływem znanej różnicy ciśnień,
metody oparte na pomiarze obrotu cylindra w cieczy,
metody oparte na pomiarze szybkości opadania kulki o odpowiednich wymiarach w znanej gęstości.
W ćwiczeniu zastosowano ostatnią z wymienionych metod.
Na kulkę znajdującą sie w cieczy działa siła ciężkości Q, pomniejszona wg prawa Archimedesa o siłę parcia P:
$$\mathbf{Q}\mathbf{-}\mathbf{P}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{*}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{*}\mathbf{g}$$
gdzie: r- promień kulki,
ρk -gęstość kulki,
ρc- gęstość cieczy,
g- przyśpieszenie ziemskie.
Początkowo kulka opada ruchem przyśpieszonym, jednak w miarę wzrostu prędkości opadania rośnie również siła tarcia wewnętrznego (skierowana przeciwnie do kierunku ruchu kulki), która w końcu równoważy siłę Q=P. Gdy taka równowaga tarcia wewnętrznego R wyrażona jest wzorem:
R=6*π*η*r*w
gdzie: w-prędkość opadania kulki.
Wobec tego gdy R=Q-P można napisać:
$$\mathbf{6}\mathbf{*}\mathbf{\pi}\mathbf{*}\mathbf{\eta}\mathbf{*}\mathbf{r}\mathbf{*}\mathbf{w}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{\pi}\mathbf{*}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{*}\mathbf{g}$$
skąd można wyliczyć lepkość:
$$\mathbf{\eta}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{9}}\frac{\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{*}\mathbf{g}\mathbf{*}\mathbf{t}}{\mathbf{s}}$$
gdzie: t- czas opadania kulki [s]
Wiskozymetry stosowane w tej metodzie mają kulki o ściśle określonych parametrach i określoną drogę opadania kulki. Dlatego powyższe równania można zapisać:
η=K*(ρk−ρc)*t
gdzie: K- stała kulki uwzględniająca stałe praz poprawki doświadczalne.
Obliczenia
Dane dotyczące kulki:
| Nr | Średnica [mm] | Gęstość kulki [g/cm3] | Stała kulki K [(cP*cm3)/(g*s) |
|---|---|---|---|
| 6 metalowa | 10,0000 | 7,690 | 40,500000 |
Obliczamy lepkość cieczy w poszczególnych temperaturach (1 cP = 0.001 Pa*s):
η = K * (ρk−ρc) * t [((cP*cm3)/(g*s)) * (g/cm3) * s = cP]
η1 = 40, 5 * (7,69−0,9982) * 18, 34 = 4970,46 [cP] = 4,970 [Pa*s]
η2 = 40, 5 * (7,69−0,99704) * 13, 74 = 3724,43 [cP] = 3,724[Pa*s]
η3 = 40, 5 * (7,69−0,99564) * 12, 12 = 3285,99 [cP] = 3,285 [Pa*s]
η4 = 40, 5 * (7,69−0,99403) * 10, 5 = 2847,46 [cP] = 2,847 [Pa*s]η5 = 40, 5 * (7,69−0,99221) * 7, 28 = 1974,77 [cP] = 1,974 [Pa*s]
Wykres funkcji log ƞ = f(1/T)
Na podstawie otrzymanych punktów obliczamy metodą najmniejszych kwadratów równanie prostej regresji.
Metoda najmniejszych kwadratów:
| xi | yi | xi * yi | xi2 |
|---|---|---|---|
| 0,0034 | 0,70 | 0,00238 | 0,000012 |
| 0,0034 | 0,58 | 0,00197 | 0,000012 |
| 0,0033 | 0,52 | 0,00171 | 0,000011 |
| 0,0032 | 0,45 | 0,00144 | 0,000010 |
| 0,0032 | 0,30 | 0,00096 | 0,000010 |
| Σ | 0,0165 | 2,55 | 0,00846 |
$\mathbf{a}\mathbf{=}\frac{(0,0165*2,55 - 5*0,00846)}{({0,0165}^{2} - 5*0,000055)} = \frac{- 0,000225}{- 0,00000275} = \ $81,8
$$\mathbf{b}\mathbf{=}\frac{2,55}{5} - 81,8*\left( \frac{0,0165}{5} \right) = 0,51 - 0,26994 = 0,24$$
y = ax + b
y = 81,8x + 0,24
Obliczenieenergiiaktywacji:
lnƞ = E/RT +const
E = lnƞ *RT [(J/mol*K)*K = J/mol]
R = 8,31 J/mol*K
E1 = 1,60 * 8,31 * 293 = 3895,73 [J/mol]
E2 = 1,31 * 8,31 * 298 = 3244,05 [J/mol]
E3 = 1,19 * 8,31 * 303 = 2996,33 [J/mol]
E4 = 10,5 * 8,31 * 308 = 2687,45 [J/mol]
E5 = 0,68 * 8,31 * 313 = 1768,70 [J/mol]
3.Tabela wyników
Temperatura T[K] |
Nr pomiaru | Czas opadania kulki[s] | Czas średni opadania kulki [s] | Gęstość cieczy [kg/m3] |
Lepkość cieczy [Pa*s] |
log ƞ | 1/T |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 293 | 1 | 18,6 | 18,34 | 998,2 | 4,970 | 0,696 | 0,00341 |
| 2 | 18,2 | ||||||
| 3 | 18,3 | ||||||
| 4 | 18,5 | ||||||
| 5 | 18,1 | ||||||
| 298 | 1 | 14,3 | 13,74 | 997,04 | 3,724 | 0,571 | 0,00336 |
| 2 | 14,6 | ||||||
| 3 | 13,6 | ||||||
| 4 | 13,1 | ||||||
| 5 | 13,1 | ||||||
| 303 | 1 | 12,2 | 12,12 | 995,64 | 3,285 | 0,516 | 0,00330 |
| 2 | 12,1 | ||||||
| 3 | 12,4 | ||||||
| 4 | 11,9 | ||||||
| 5 | 12,0 | ||||||
| 308 | 1 | 10,9 | 10,5 | 994,03 | 2,847 | 0,454 | 0,00325 |
| 2 | 10,6 | ||||||
| 3 | 10,2 | ||||||
| 4 | 10,5 | ||||||
| 5 | 10,3 | ||||||
| 313 | 1 | 7,5 | 7,28 | 992,21 | 1,974 | 0,295 | 0,00320 |
| 2 | 7,3 | ||||||
| 3 | 7,3 | ||||||
| 4 | 7,1 | ||||||
| 5 | 7,2 |
4. Wnioski
Z przeprowadzonego doświadczenia można wywnioskować, że wraz ze wzrostem temperatury, prędkość opadania kulki rośnie, co może oznaczać, że tarcie wewnętrzne pomiędzy kulką a wodą jest coraz mniejsze. Wynika z tego fakt, że wraz z podnoszeniem temperatury gęstość i lepkość wody maleją. Maleją również siły wzajemnych oddziaływań. Na podstawie pomiarów wiskozymetrem Hopplera można skonstruować wykres zależności log η od 1/T. Wszelkie uzyskane błędy mogą być spowodowane niedokładnością podczas pomiaru czasu opadania kulki, złym określeniu momentu przejścia kulki pomiędzy zaznaczonymi kreskami a także wahaniami temperatury wewnątrz wiskozymetru Hopplera podczas pomiarów. Błędy mogą wynikać również z niedokładności podczas ustawiania temperatury na termostacie oraz błędnych odczytów z termometru wewnątrz wiskozytometru.