Funktory : *Negacja~p *Koniunkcja(iloczyn logiczny) p^q *Alternatywa(suma logiczna): pvq *alternatywa wykluczająca: pv_q *Implikacja(wynikanie): p=>q *Równoważność: p<=>q. Zdanie złożone-które jest zawsze prawdziwe niezależnie od wart. Log. Zdań składowych nazywamy TAUTOLOGIĄ. Zdanie złożone, które jest zawsze fałszywe, niezależnie od wart. Log. Zdań składowych naz. KONTRTAUTOLOGIĄ. Najważniejsze tautologie: *Prawo podwójnego przeczenia~(~p) *Prawo sprzeczności![p^(~p)] *Prawo wyłączonego środka: pv(~p) *Prawokontrapozycji: (p=>q)<=>[(~q)=>(~p)] *Prawo przechodniości implikacji: [(p=>q)^(q=>r)] =>(p=>r) *Prawo zaprzeczenia implikacji: ~(p=>q)<=>[(~p)v(~q)] *Prawo zaprzeczenia alternatywy: [~(pvq)]<=>[(~p)^(~q)]. Reguła „Modus Ponens”(r.odrywania)-jeżeli uznajemy prawdziwość poprzednika prawdziwej implikacji to musimy uznać również prawdziwość nastepnika tej implikacji [(p=>q) ^p] => q. Reguła „Modus Tollens” - jeżeli uznajemy fałsz następnika prawdziwej implikacji to musimy uznać również fałsz poprzednika tej implikacji [(p=>q)^(~q)]=>(~p). Kwantyfkatory- to symbole których używamy zamiast wyrażen dla każdego oraz istnieje. *OGÓLNY ұx (dla każego x) stanowi uogóln. Koniunkcji *SZCZEGÓŁOWY( egzystencjalny): Эx (istnieje x) stanowi uogóln. Alternatywy *SZCZEGÓLNY PRZYPADEK KWANTYFIKATORA SZCZEGÓŁOWEGO: Э!x (istnieje dokładnie jedno x). Ograniczenie zakresu kwantyfikatora- działa jak określenie dziedziny. Wszystkie prawa rachunku kwantyf. Zachowują swą własność gdy kwantyf. Będą miały ograniczony zakres. Własności kwantyfikatora: *Przemienności * Zaprzeczenie kwantyfikatora. *Roździelności. Macierze- m(wiersze), n(kolumny), nazywamy tablice elementów posiadających m wierszy i n kolumn, macierz wymiaru mxn, oznaczami dużymi literami (nazwy), elementy małe : Amxn= [a11,12.... a1n]=[aij]mxn. Macierze specjalne: *diagonalna-aij=o i≠jmacierz kwadratowa, która ma el. Nie zerowe tylko na głównej przekątnej. *Skalarna- aij={a dla i=j; Odla i≠j} jest to macierz diagonalna, której wszystkie el. Na głównej przekątnej są takie same. *Jednostkowa – aij={1, i=j; 0, i ≠j}macierz skalarna, gdzie wszystkie el. Na głównej przekątnej są 1. *Transponowanie-zamiana kolumn na wiersze lub odwrotnie. Atmxn = Anxm. *Dodawanie-dodajemy macierze o tych samych wymiarach A+B=C<=> ұ i=1,...,m; j=1,...n. cij=aij+bij *Mnożenie macierzy przez skalar- λ*A=B<=> ұ i=1,...,m; j=1,...n. bij=λ *aij *Mnożenie macierzy- macierz A możemy wymnożyć przez macierz B, jeżeli liczba kolumn macierzy a jest równa liczbie wierszy macierzy B. AmxnBnxk=Cmxk. Macierz odwrotna – niech dana będzie macierz kwadratowa A, macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A-1 również kwadratową , taką, że A*A-1= A-1*A=E. Nie każda macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną. Macierze, które nie posiadają macierzy odwrotnej, nazywamy OSOBLIWYMI. Operacje elementarne – *pomnożenie dowolnego wiersza lub kolumny przez liczbę różna od 0 *zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn *dodanie do elementów wybranego wiersza(kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza(kolumny) pomnożonych przez dowolną liczbę. Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementarnych- mając macierz Anxn,musimy dołączyć do niej macierz jednostkową Enxn i utworzyć macierz blokową [Anxn|Enxn]. Następnie za pomocą operacji elementarnych,dążymy,aby nasza macierz blokowa zyskała postać [E|B],gdzie macierz B będzie macierzą odwrotną. Macierze A i B nazywamy równoważnymi (A~B), jeżeli jedną da się otrzymać z drugiej poprzez ciąg operacji elementarnych. Macierz Blokowa(klatkowa)- nazywamy macierz, które przy pomocy dowolnej ilości linii dzielimy na mniejsze fragmenty zwane podmacierzami lub blokami,lub klatkami. Twierdzenie- Niech A-macierz nieosobliwa wymiaru mxn. Jeżeli macierz blokową [A|Enxn] uda się przy pomocyoper. Elem. Wykonywanych na wierszach przekształcic do postci [E|B], to, B=A-1. Postać kanoniczna(bazowa) Macierzy- nazywamy macierz blokową, równoważną macierzy A. Wyznacznik- jest to liczba przyporządkowana jednoznacznie każdej macierzy kwadratowej. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n(nxn) Wyznacznikami macierzy A nazywamy liczbę detA(|A|) zdefiniowaną następująco: dla n=1, det[a11]=a11; dla n>1, det[a11,a12,....V]= a11* (-1) 1+1 * M11+a12 (-1) 1+2 +...+a1n (-1)1+nMij. Metody obliczania wyznaczników: *dla macierzy stopnia n=1 det[a11]=a11. *Dla macierzy stopnia n=2 det[a11,a12,a21,a22]=a11* a22-a21*a21 *Metoda SARRUSA dla n=3 *Metoda LAPLACE'A- minorem elem. Aij nazywamy wyznacznik macierzy powstałej przez wykreślenie z danej macierzy wiersza o numerze i oraz kolumny o numerze j. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy aij* =(-1)i+j * Mij. Macierz dopełnień algebraicznych- nazywamy macierze której elemenatami są dopełnienia algebraiczne elementów danej macierzy. Własności wyznaczników- *Jeśli w macierzy znajd. Się W lub K złożona z samych zer to wyznacz. Macierzy=0 *Jeśli w macierzy znajd. Się dwa te same W lub K to =0. *Transponowanie nie zmiania wart. Wyzn. * Jeśli w macierzy zamienimy 2 W lub 2K to wartość wyzn zmienia sę na przeciwny. *Jeśli wybrany W lub K przemnożymy przez pewna liczbe to wart. Wyzn. Też przemnożymy przez ta liczbe. |* det(λ *A)= λn* det A |*Twierdzenie o wyznaczniku iloczynu dwóch macierzy: det (A* B)= det A* det B.| Metoda wyznaczn. Obliczania macierzy odwrotnej- Jeśli macierz jest nieosobliwa, to jej wyznacznik jest różny od zera A-1=1/det A* (A* )T. Rząd Macierzy- podmacierzą danej macierzy nazywamy macierz otrzym. Z danej macierzy przez wykreślenie pewnej ilości W i K. Nazywamy najwyższy stopień niezerowego wyznacznika wyjętego z tej macierzy. Wyznacznik wyjęty z macierzy- jest to wyzn. Dowolnej macierzy kwadratowej tej macierzy. Operacja elementarna nie zmienia rzędu macierzy. Macierz schodkowa- pierwszy niezerowy element w każdym W znajd. Się bardziej na prawo niż w wierszu poprzednim. Rząd macierzy schodkowej- jest równy liczbie jej niezerowych wierszy R(B)=2. Obliczając rząd dowolnej macierzy staramy się przy pomocy operacji elem. doprowadzić ją do postaci schodkowej. Układem kwadratowym równań liniowych- nazywamy układ postaci : {a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1 >a21x1+ a22x2 +..+a2nxn=b2> an1x1+...+annxn=bn} układ ten możemy zapisać w post. macierzowej. Ann* Xn1=Bn1. **** sp.1 AX=B| *A-1, X=A-1 *B. Warunek,że macierz jest osobliwa. sp.2 Uogólnienie matody wyzn. W=|A|= |A11* A12 * A1n>..| # Wxi= | a11a12; a1,i-1; b1; a1, i+1; a1n>.. | # Xi= Wxi/W, i=1,2,3,...n. Jednorodny układ równań liniowych- to ukłąd,w którym wszystkie wyrazy wolne są=0. Układ taki ma zawsze rozwiązanie zerowe. Istnieją przypadki niezerowych rozwiązań. Warunkiem jest aby rząd macierzy współczynników był mniejszy od l niewiadomych r(A)<n. Rozwiązaniem układu równań liniowych-Jest to przyporządk. Wartości niewiadomym,które spełniają każde z równań składowych. Inaczej Jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich równań.Układ Cramera- układ kwadratowy w którym macierz A jest nieosobliwa, a wzory metodą Cramera. Wzory Cramera- jeśli detA ≠0, to układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami: xi=Wxl/W, i=1,2,...,n. Metoda eliminacji Gaussa-rozwiązując układ m o n niewiadomych należy za pomocą operacji element. Wyłącznie na wierszach,sprowadzić macierz rozszerzoną [A|W] do postawic [E|R]. Twierdzenie Kroneckera-Capellego- mówi o ilości rozwiązań układów równań liniowych. Układ „m” równań o „n” niewiadomych ma rozwiązanie, jeżeli rząd macierzy układu jest równy rzędowi macierzy dołączonej układu R(A)=K(A+). Ponadto zachodzą następujące zależności: *Jeżeli R(a)=R(a+) = n to układ jest oznaczony *jeżeli R(A)= R(A+) k <n to układ jest nieoznaczony, a jego rozwiązanie zależy od n-k parametrów, *Jeżeli R(A) ≠ R(A+), to układ jest sprzeczny. Operacje element.na układzie równań liniowych-sytuacje identyczne jak podczas liczenia macierzy odwrotnej. Działamy tylko na wierszach. Macierz rozszerzona (uzupełniona, dołączona)-to macierz,któa zawiera wszystkie współczynniki układu, a jej ostatnią kolumną są wyrazy wolne tego układu. Rozwiązanie bazowe niejednorodnego układu równań liniowych-jeżeli spełniony jest warunek R(A)=R(A+)<n, to układ posiada rozwiązanie ogólne, w którym k zmiennych jest bazowych, a n-k niebazowych. Rozwiązaniem bazowym-nazywa się rozwiązanie szczególne, otrzymane przy załązeniu, że n-k zmiennych jest równe zeru, układ posiada nie więcej niż (n/k) rozw. Bazowych. Równoważne układy równań liniowych-nazywamy tak, jeżeli jeden układ da się otrzymać z drugiego,poprzez ciąg operacji element. Zgodny układ równań liniowych-nazywamy tak gdy posiada rozwiązania. Nieoznaczony układ równań liniowych- układ równań liniowych posiadający nieskończenie wiele rozwiązań. STATYCZNY MODEL PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH. Równania bilansowe: {x11+x12+ .. x1n+y1=Y1>...}. Macierz Leontiefa- L=E-A Statyczny model międzygałęziowy Leontiefa- zakładając, że zależności między poszczególnymi produkcjami gałęzi gospodarki są statyczne, tzn. nie zmieniają się w czasie: *Współczynnik kosztów(techniczny współczynnik produkcji): (dla każdego) i=1...,n; k=1...,n; aik=xik/Yk. Informuje on ile jednostek produktu i-tej gałęzi jest potrzebnych do wyprod. Jednej jednostki prod. k-tej gałęzi. Wektor-uporządkowana para punktów(P1,P2) tworząca odcinek skierowany. Wektor o początku w P1=(x1y1z1) i P2=(x2y2z2) : P1P2->. Współrzędne P1P2-> = [x2-x1 itd.]; Ogólnie wektor- a=[ax,ay,az]; Długość wektora- |a|=PIERWIASTEK ax2+ay2+az2. Wektory są równe: a=[ax,ay,az]i b=[bz,by,bx], jeżeli ax=bx ^ay=by^ az=bz. Wektory o tych samych współrzędnych, mogą być zaczepione w różnych punktach płaszczyzny, bądz przestrzeni. Wektory kolinealne(współliniowe)- nazywamy tak jeśli isnieje ax/bx=ay/by=az/bz=λ. Współrzędne wektorów są proporcjonalne. Kolinearne-graficznie równoległe. Wersorem niezerowego wektora a-nazywamy wektor a, jednostkowy, kolinealny z wektorem a, o zwrocie zgodnym z wektorem a, taki,że a=|a|* a*. ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW- nazywamy liczbę a ○ b, zdef.: a ○ b = {|a| * |b| cos alfa, a≠0 i b≠0>.. 0, a=0 v b=0}. Jeżeli a=[ax,ay,az] i b=[bx,by,bz], to a○b= ax* bx, ay* by, az* bz. WŁASNOŚCI: * a○b=b○a, *(a○b)○c≠ a○(b○c), *a○(b+c)=a○b+a○c, * λ-stała, λ*(a○b)= ( λa)○b=a○(λb), *a○a= |a|2, *Jeśli a┴b, to a○b=0. ILOCZYN WEKTOROWY- nazywamy wektor taki,że: 1. jest ┴ do a i do b. 2. Jego zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej. 3.Jego długość wynosi |c|=|a|* |b|* sinE. (rys.). Jeśli a=[ax..] i b=[bx..], to wektor c=[cx..],taki, że c=a *b,ma współczynnik cx=det[ay,az>by,bz]; cy=det[ax,az>bx,bz]; cz=det[ax,ay>bx,by]. Kąt między wektorami- cos fi=a◌b/|a|* |b|. Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego-długość wektora będącego iloczynem a*b jest równa polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach. Iloczyn mieszany 3wektorów-nazywamy tak liczbę(a,b,c) zdef. Następ.: (a,b,c)= (a*b)○c, Jeżeli a=[ax..],b=[bx..], c=[cx..], to iloczyn mieszany. (abc)=det[ ax...>bx...>cx..]. Interpretacja geometryczna- wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów a,b,c, jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach.(rys.) Wektory są komplanarne(współpłaszczyznowe)-jeśli są równoległe do jednej płaszczyzny (abc)=0. Równania płaszczyzny- przechodzącej przez punkt Po=(xo,yo,zo) i prostopadłej od wektora n->=[A,B,C] A(o-xo)+B(y-yo)+ C(z-zo)= 0. Równianie ogólne Ax+ By+Cz+D=0- równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora n->=[A,B,C].Wektor normalny płaszczyzny- to wektor prostopadły do płaszczyzny ∏, oznaczony jak n->. Równanie normalne: cos fi x(x-xo) + cosfi y(y-yo) + cos fi z(z-zo)=O – równanie płaszczyzny, której wektor normalny tworzy z osiami układu kąt fix,fiy,fiz. (RYS.) n->=[nx,ny,nz], i-[1,0,0], cos fi x= n->oi/|n->| *|i|= nx/|n->| *1= nx/|n->|, cos fiy=ny/|n->|, cos fiz=nz/|n->|, [cosfiz, cos fiy, cos fiz]-wersor wektora normalnego n->. Równanie odcinkowe: x/a+y/b+z/c=1 – równianie płaszczyzny przechodz. Przez pkt{a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),będące na odpowiednich osiach. (RYS.). Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 pkt.: P1=(x1,y1,z1), P2=(x2,y2,z2), P3=(x3,z3,y3). Det[x-x1,y-y1,z-z1 ->x2-x1,y2-y1,z2-z1->x3-x1,y3-y1,z3-z1]=0. (RYS.) Prostą L określają jednoznacznie: *2 różne punkty P1,P2 *płaszczyzny przecinające się(ich wspólne krawędź wyznacza prosta). *punkt Po i niezerowy wektor V-> równoległy do prostej L. V->-wektor kierunkowy prostej. (RYS.) Punkt P=(x,y,z) będzie należał do L, jeśli PoP-> || V->. (Wzory,przekształcenia). Równanie prostej: a). Kanonicznej(kierunkowe) x-xo/m=y-yo/n=z-zo/P-równianie prostej przechodzącej przez pkt. (xo,yo,zo) i równoległej do wektora V->=[m,n,p]. b). równanie parametryczne: {x=xo-mt>.. y=yo-nt> z=zo+ pt,tER. c). równanie prostej przechodzącej przez 2 różne pkt.: V->=P1P2->=[x2-x1,y2-y1,z2-z1]; x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1; {x=x1+(x2-x1) *t>.. analogicznie y,z, tER-prosta, tE<0,1>-odcinek P1P2->. d). równanie krawędziowe: {A1x+B1y+c1z+D1=0>.. A2x+B2y+ C2z+ D2=0 – równanie prostej będącej częścą wspólną dwóch przecinających się płaszczyzn. (rys). Odległość punktu od płaszczyzny-jest to długość odcinka łączącego ten pkt z płaszczyzną,prostopadłego do tej płaszczyzny d= |Axo+Byo+Czo+D| / pierwiastek A2+B2+C2. Odległość punktu od prostej- jest to długość odcinka łączącego punkt zdaną prostą prostop. do tej prostej d= |PoQxV->| / |V->|. Odległość dwóch prostych skośnych- jest to odległość odcinka łączącego obie proste i prostopadłego do obu tych prostych d=|(V-> V2-> P1P2->)| / |V1-> x V2->|. Zasada indukcji matematycznej stosujemy często przy dowodzeniu tweirdzeń dotyczących liczb naturalnych. Ciągi liczbowe- to fukcje określone na zbiorze liczb naturalnych. Wynikami mogą być dowolne liczby rzeczywiste. Silnia- jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb naturalnych zdef. nastepująco: { Qo=O'=1, n'=1 * 2 *3 ... n >.. an*1= am(n*1), n'= 1* 2* 3*4 =24. (n/k)-symbol Newtona- jest to funkcja okreslona na parach liczb naturalnych, której wartościami są liczby naturalne. Istnieje n należące Do N należące do k. Dla n+N i kE {0,1,...n-1} prawdziwe są równości.: * (n/1)=(n/0)=1, *(n/1)=(n/n-1)=n, *(n/k)=(n/n-k), *(n+1/k+1)=(n/k)+(n/k+1). Dwumian Newtona- (x+y)n= (n/o)xn+(n/1)xn-1y+(n/2)xn-2y2+(n/3)xn-3y3+...+(n/n)yn. Trójkąt Pascala – Tworza go Symbole Newtona kolejnych liczb naturalnych. STRUKTURY KOMBINATORYCZNE. Permutacja-jest to dowolne uporządkowanie wszystkich elementów danego zbioru w linii wszystkich permutacji zbioru n elementowego Pn=n'. Wariacja bez powtórzeń- to każde uporządkowanie k-elementów wybranych spośród n-elementów Vkn=n!/(n-k)!. Wariacja z powtórzeniami- to każde uporządkowanie k-elementów wybranych z n-elementów Wkn=nk. Kombinacja-każdy wybór k-elementów ze zbioru n-elementowego Ckn=(n/k).