Wartość skuteczną napięcia sinudoidalnego u(t) definiujemy jako pierwiastek kwadratowy z wartości średniej za okres z kwadratu wartości chwilowej :

Po przekształceniach otrzymujemy , że wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa wartości maksymalnej podzielonej przez √2.

Wartość symboliczną (zespoloną) wielkości sinusoidalnej

określamy za pomocą wzoru

gdzie

Prawo Ohma dla wartości symbolicznych

PPK

W dowolnym węźle suma algebraiczna prądów symbolicznych równa się zero.

NPK

W dowolnej pętli(oczku) suma algebraiczna wartości symbolicznych napięć równa się zero.

Impedancją Z dwójnika nazywamy iloraz wartości symbolicznych napięcia I prądu.

Jednostką główną impredancji w układzie SI jest Om.

Admitancją Y nazywamy iloraz wartości symbolicznych prądu I napięcia

gdzie G-konduktancja , B-susceptancja.

Jednostką główną admitancji w układzie SI jest 1S(simens)

Mocą czynną P dwójnika nazywamy wartość średnią za okrec mocy chwilowej :

Jednostką mocy czynnej w układzie SI jest 1W.

Moc bierna to składowa przemienna mocy chwilowej, której amplituda równa się wartości bezwględnej mocy biernej.

Jednostką w układzie Si jest VAR.

Mocą chwilową p dwójnika nazywamy iloczyn wartości chwilowych prądu i napięcia

Moc symboliczna dwójnika jest liczbą zespoloną o części rzeczywistej równej mocy czynnej oraz części urojonej równej mocy biernej:

gdzie I* oznacza wartość zespoloną sprzężoną z I.

Moduł mocy symbolicznej nazywamy mocą pozorną.

Jednostką mocy pozornej w układzie SI jest 1VA.

Moc czynna, bierna i pozorna tworzą trójkąt prostokątny mocy.

Z trójkąta mocy wynikają następujące związki.

Cewkę rzeczywistą charakteryzuje się określąjąc jej dobroć QL(z definicji) :

Dla połączenia : szeregowe QL=ωL/R , równoległe : QL=R/ωL

WLmax oznacza wartość maksymalnej energii zgromadzonej w polu magnetycznym cewki

WR(T) jest onergią rozproszoną w rezystancji cewki w ciągu okresu T

Dobroć kondensatora rzeczywistego ma postać(z definicji):

Dla połączenia : szeregowe : QC=1/ωCR , równoległe : QC=ωCR

WCmax oznacza wartość maksymalnej energii pola elektrycznego kondensatora

WR(T) jest onergią pobraną przez rezystancję w ciągu okresu T

Stan ,w którym odbiornik pobiera z rzeczywistego źródła maksymalną moc czynną nazywamy dopasowaniem odbiornika do źródła ze wględu na moc czynną.

Weźmy pod uwagę przedstawiony obwód utworzony z rzeczywistego źródła energii i odbiornika.

Celem badań jest znalezienie takiej impedancjii odbiornika Z=R+jX, dla której obiornik pobiera z danego źródła maksymalną moc czynną.

Warunkiem koniecznym do tego aby funkcja osiągneła maksimum jest zerowanie się pochodnej Pm(R) względem R.

Ostatecznie otrzymujemy , że dla R=Rw zachodzi :

A zatem dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc czynną zachodzi dla :

Rezonans napięć

W szeregowym połączeniu elementów R,L,C impedancja wyraża się wzorem:

a napięcia na poszczególnych elementach wynoszą :

W zależności od relacji zachodzącej pomiędzy wL i 1/wC rozróżniamy 3 przypadki:

1)

Napięcie U wyprzedza prąd I – obód o charakterze indukcyjnym

2)

Prąd I wyprzedza napięcie U – obwód ma charakter pojemnościowy

3)

Prąd I jest w fazie z napięciem U – w obwodzie zachodzi rezonans napięć

Rezonans napięć występuje wówczas gdy napięcie UL i UC kompensują się, przy czym wartości skuteczne tych napięć są na ogół znacznie większe od wartości skutecznej napięcia U. Istnienie dużych odpowiedzi przy małym pobudzeniu o ściśle określonej częstotliwości jest ogólną cechą charakterystyczną rezonansu w układach fizycznych.

Rezonans zachodzi gdy pulsacja omega spełnia równanie :

tą pulsację oznaczymy "omega r" i nazwiemy pulsacją rezonansową ,przy czym:

Energia cewki równa się :

Energia kondensatora :

Suma enegrii cewki i kondensatora w stanie rezonansu jest w każdej chwili stała i wynosi :

Uniwersalna krzywa rezonansowa :

Dobroć w stanie rezonansu:

Im większa dobroć tym obwód jest bardziej selektywny(węższe pasmo przepuszczania).

Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu ze składowej stałej oraz funckji sinusoidalnych , jeżeli ta funkcja spełnia warunki Dirichleta:

1) W każdym przedziale długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna,

2) W każdym przedziale o długości T funkcja f(t) ma co najwyżej skończoną liczbę maksimów i minimów,

3) Funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów

Szereg Fouriera (1-sza postać)

gdzie

Poszczególne wyrazy szeregu nazywamy harmonicznymi rzędu k (k=0,1,2,3,...)

Więc :

jest wartością stałą zwaną harmoniczną zerową.

Jest funkcją sinusoidalną o takiej samej pulsacji jak funkcja wymuszająca f(t) i nosi nazwę pierwszej lub podstawowej harmonicznej.

Pozostałe składniki (harmoniczna druga,trzecia...) określamy mianem wyższych harmonicznych.

Druga postać szeregu Fouriera :

gdzie :

Twierdzenie Parsevala :

Jeżeli f(t)i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta , to zachodzi zależność :

Gdy f(t)=g(t) :

Ponieważ Amk jest amplitudą k-tej harmonicznej, więc wartość skuteczna tej harmonicznej wynosi:

Stąd wynika wzór określający wartość skuteczną funkcji f(t)

Wykres wskazowy – wektorowe przedstawienie prądów i napięć w obwodach zasilanych prądem sinusoidalnie zmiennym z uwzględnieniem faz, opóźnień prądów względem napięć i odwrotnie.

Stała czasowa – czas, po którym prąd lub napięcie nieustalone osiągnęłoby wartość ustaloną gdyby jego narastanie miało charakter liniowy

-dla kondensatora τ=R*C

-dla cewki τ=L/R

Interpretacja geometryczna stałej czasowej :

Zamiana połączenia szeregowego RL na równoległy

Z=√(R^2+XL^2)

tgφ=XL/R

Y=1/Z=1/√(R^2+XL^2)

G=Y*cosφ

BL=Y*sinφ

R=1/G

XL=1/BL

Wpływ cewki i kondensatora na wyższe harmoniczne

-Jndukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia

-Pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu

Cewki sprzężone magnetycznie

Przyjmijmy, że dwie cewki są położone blisko siebie w taki sposób, że strumień magnetyczny jednej cewki przenika również drugą. W takiej sytuacji mamy do czynienia z cewkami sprzężonymi magnetycznie.

Transformator powietrzny