Starożytna matematyka

autor: Mironides Grek

Historia matematyki w starożytności jest tak naprawdę domeną starożytnych Greków. Inne niemniej rozwinięte cywilizacje posługiwały się takimi systemami liczbowymi, które uniemożliwiały skomplikowane obliczenia. Dotyczy to również Rzymian.

Rzymski system liczbowy powstał oparty prawdopodobniej na prymitywnym systemie karbów nacinanych na kościanych albo drewnianych „notatnikach”. Liczbę posiadanych owiec albo monet należnych do wypłaty znakowano zapewne na tabliczkach lub drążkach w taki sposób:
///////////////// , czyli 17
W nieznanym momencie dziejów, ktoś wprowadził usprawnienie, opierając się na systemie piątkowo-dziesiętnym aby ułatwić sobie odczytywanie liczb. Co piątą i co dziesiątą kreskę oznaczano dodatkowym nacięciem:
////V////X////V// , czyli 17
Wystarczy spojrzeć na własne dłonie, aby łatwo zrozumieć, dlaczego za punkty graniczne posłużyły wartości 5 i 10. Palce są najprostszym narzędziem matematycznym, a akurat w jednej dłoni jest ich 5, a w obu 10.
Krok następny w upraszczaniu zapisu to pominięcie znaków, zawartych już w wartości liczb „pełnych”.
XV//, czyli 17
Potem pojawiły się znaki dla opisania wielokrotności 5 i 10, czyli:
L - 50
C - 100
D - 500
M - 1 000
Upraszczanie systemu posunęło się jednak w pewnym momencie o „jeden krok za daleko”. Zamiast pisać XV//// wprowadzono zapis XIX, czyli regułę odejmowania mniejszej wartości z lewej strony.

Dotąd liczbę CCCCXXXXVIIII można było odczytywać jako prostą sumę wartości znaków 100 +100 +100 +100 +10 +10 +10 +10 +5 +4 = 449
A teraz stała się ona skomplikowanym tworem matematycznym CDXLIX, czyli (500 -100) + (50 -10) + (10 - 9 )= 400 + 40 +9 = 449
Skoro samo tylko odczytanie zapisanych liczb nie jest proste, to jak wykonywać na nich działania.
Spróbujmy szybko obliczyć:
CD * IV - CDIV
Obliczenia nasze, bo my akurat automatycznie posługujemy się systemem dziesiętnym i zapisem arabskim wyglądałyby na przykład tak:
[(500 -100) * (5 -1)] - [(500 -100) + (5 -1)] = (400 * 4) - (400 + 4) = 1 600 - 404 = 1 196, czyli
CD * IV - CDIV = MCXCVI

Niezbyt proste a przecież nie było to specjalnie skomplikowane działanie. Spróbujcie wykonać na liczbach rzymskich potęgowanie albo obliczyć pole koła.

Z takim systemem liczbowym Rzymianie nie mogli zagrozić dominacji greckiej myśli matematycznej. Kto chciał zrobić karierę jako inżynier albo finansista, ten musiał nauczyć się posługiwać systemem greckim.

Starożytni Grecy oparli się w matematyce na swoim alfabecie, kolejnym literom przypisując wartości liczbowe z zakresów 1 - 9, 10 - 90 i 100 - 900.

Łatwo zauważyć, że 24-literowemu alfabetowi dodano trzy znaki aby otrzymać komplet znaków do zapisu liczb. Odczyt zapisanych po grecku liczb polegał na ich prostym sumowaniu. (jeszcze prostszym, niż w starym zapisie rzymskim).
ΥΜΘ, to jest 400 +40 +9, czyli 449
Czyta się wiec niemal intuicyjnie.
ΥΜΘ - ΡΙΑ = ΤΛΗ
Powyższe działanie to 449 - 111 = 388

Nic dziwnego, że to właśnie Grecy opracowali reguły arytmetyki i geometrii, odkryli wartość liczby Π, opracowali wzór na sinus kąta i wiele innych praw matematycznych. W szeregu obok Euklidesa, Pitagorasa, Talesa, Archimedesa czy Apolloniosa trudno znaleźć jakieś rzymskie nazwisko. Inna rzecz, że na setki lat niedoskonałość greckiego systemu liczbowego blokowała jednak badania matematyczne. Dopiero dopracowany przez Arabów w średniowieczu, a wynaleziony przez Hindusów system dziesiętny, zawierający specyficzną wartość „0” oraz pojęcie „liczby ujemnej” pozwolił popchnąć matematykę do przodu.

Warto jeszcze wspomnieć, że w czasach starożytnych funkcjonowała jeszcze szkoła chaldejska, oparta na babilońskim systemie liczbowym, który miał tradycje sięgające 4000 lat przed naszą erę. Ten system był sześćdziesiątkowy czyli zawierał znaki dla oznaczenia liczb os 1 do 59 a potem przez dodawanie różnych znaczków otrzymywano wielokrotności. Tym systemem posługiwali się głównie astronomowie i geografowie np. Ptolemeusz.
Co ciekawe to pozostałości tego systemu mamy do dzisiaj w postaci podziału jednostek czasu: minuta to 60 sekund, 1godzina = 60 min. oraz w miarach kątowych, gdzie kąt pełny to 6 razy 60 stopni. Mimo tak dziwnego systemu liczbowego chaldejscy uczeni potrafili obliczyć, że 1 rok = 365,25 dnia! Ich systemem liczbowym podobno posługiwał się jeszcze przy swoich pracach Leonardo da Vinci,
a współcześnie używają go astrologowie do obliczanie i opisywania koniunkcji gwiazd i planet.

PROSTSZA NOTACJA I WYNALAZEK ZERA

Żeby napisać liczbę 3577, trzeba było użyć aż 22 znaków, ponieważ trzeba było napisać 3 razy cyfrę oznaczającą tysiąc, 5 razy cyfrę oznaczającą sto, 7 razy cyfrę dziesięć i 7 razy cyfrę jeden. Dlatego pisarzy egipscy starali się jak najbardziej uprościć budowę i pisownię cyfr i tak doszli do notacji zwanej hieratycznš . Nowe kształty cyfr ledwo już przypominały swoje prototypy.

Dwa tysiące lat póŧniej pisarze i matematycy greccy z takich samych powodów stworzyli notacje numeryczne równoważne z systemem hieratycznym egipskim. Oznacza to że wszystkie wielokrotności dziesiątki aż do 90, wszystkie wielokrotności setki aż do 900 i tak dalej miały swoje oznaczenia, ale w odróżnieniu od Egipcjan ci pisarze nie upraszczali stopniowo pierwotnego rysunku cyfr , lecz używali w charakterze cyfr kolejnych liter swojego alfabetu.

Wynalazek numeracji alfabetycznej przyniósł niezłe rozwiązanie problemu oznaczania liczb, gdyż dzięki temu można było np. liczbę 768 przedstawić za pomocą zaledwie trzech cyfr. Ale jeszcze daleka była droga do naszego nowoczesnego systemu. Ponieważ pisarze egipscy , uczeni greccy i arytmetycy żydowscy wciąż trzymali się starej metody dodawania. Tymczasem inne narody wpadły na inną regułę. Przykładem są Chińczycy. ¯eby np. napisać liczbę 19 piszą znak dziesiątki, a za nim na prawo cyfrę odpowiadającą reszcie, czyli w tym przypadku - dziewiątki. Dwudziestkę przedstawiają pisząc liczbę 2 przed znakiem dziesiątki. Ogólnie, pełne dziesiątki, setki, tysiące i dziesiątki tysięcy wyraża się pisząc odpowiednie znaki i dopisując odpowiednie czynniki z lewej strony. A więc wielokrotności 10, 100, 1000, 10000 przedstawia się na zasadzie mnożenia. Liczby pośrednie pisze się stosując jednocześnie zasadę mnożenia i dodawania. ¯eby np. wyrazić cyfrę 79564 pisze się symbol 10000 poprzedzony cyfrą 7, potem 1000 poprzedzone cyfrą 9, symbol 100 poprzedzony 5, symbol 10 poprzedzony 6 i wreszcie 4. Wynalazek tej nowej zasady (mnożenia) był korzystny z dwóch powodów: pozwolił uniknąć uciążliwego powtarzania tego samego symbolu oraz zmniejszył liczbę symboli do zapamiętania.

Ważną regułe numeracji stworzyli na początku II tysiąclecia p.n.e uczeni mezopotamscy. Bazą była liczba 60. W tej numeracji istniały tylko dwa znaki: "gwóŧdŧ" pionowy oznaczający 1 i tzw. "piątka " oznaczająca 10. Liczby od 1 do 59 były reprezentowane na zasadzie dodawania, tj. przez powtarzanie każdego z tych znaków tyle razy, ile trzeba. Np. liczbę 19 przedstawiano jako jedną "piątkę" + dziewięć "gwoŧdzi". Ale powyżej 59 notacja była pozycyjna. Np. liczbę 69 przedstawiało się jako jeden "gwóŧdŧ" i dziewięć "gwoŧdzi". ¯eby napisać liczbę 75 pisano jeden "gwóŧdŧ" oraz jedną "piątkę " z pięcioma "gwoŧdziami" (=1*60+15).

A więc numeracja babilońska była analogiczna do naszego współczesnego systemu, różniła się tylko bazą i sposobem tworzenia cyfr.

Gdy stosujemy zasadę pozycyjną, przychodzi moment, kiedy trzeba mieć do dyspozycji jakiś znak oznaczający, że jednostek pewnego rzędu w danej liczbie nie ma. Np. gdy chcemy napisać liczbę 10 w naszej pisowni pozycyjnej decymalnej. Dziesięć to baza systemu, trzeba więc napisać jedynkę na drugim miejscu, żeby oznaczała jedną dziesiątkę. Ale jak zaznaczyć, gdy na pierwszym miejscu nic nie można napisać? Stopniowo uświadamiano sobie, że to owo nic trzeba koniecznie czymś wyrazić. To coś , co ma wyrażać nic to właśnie zero.

Z początku Babilończycy próbowali pokonać tę trudność zostawiając puste miejsce tam, gdzie w rozkładzie liczby wg bazy 60 brak było jakiejś potęgi sześćdziesiątki. Ale problem nie był przez to w zupełności rozwiązany, ponieważ mniej orientujący się lub mniej dokładni pisarze często zapominali o tym pustym miejscu. Poza tym trudno było wyrazić brak jednostek w dwóch kolejnych rzędach. Ostatecznie wszystkie wieloznaczności znikły w III w. p.n.e., ponieważ wprowadzono znak podwójnego "gwoŧdzia" na oznaczenie braku jednostek jakiegoś rzędu "sześćdziesiątkowego". I tak narodziło się pierwsze zero babilońskie, pierwsze w historii.

Dwa tysiące lat po matematykach babilońskich i niezależnie od nich uczeni chińscy odkryli tę samą zasadę numeracji. Stworzyli oni bardzo pomysłowy system pozycyjnej numeracji, używając do tego kresek pionowych i poziomych. Bazą była dziesiątka. Pięć pierwszych oznaczano odpowiednią ilością pionowych kresek pisanych rzędem; żeby przedstawić 6 pisano poziomą kreskę na górze, a od jej środka w dół prowadzono pionową, dalsze zaś liczby oznaczano prowadząc od tej kreski poziomej w dół już nie jedną ale odpowiednio dwie, trzy lub cztery pionowe. Liczby wyższych rzędów przedstawiano na zasadzie pozycyjnej. ¯eby jednak uniknąć przy pisaniu liczb wyższych rzędów obok siebie kresek pionowych na wyrażenie każdego rzędu zamieniono kreski pionowe na poziome. Zatem nowe znaki były analogiczne do poprzednich, ale składały się z kresek poziomych. Na początku Chińczycy na oznaczenie, że nie ma którejś potęgi dziesiątki (czyli na oznaczenie zera) zostawiali puste miejsce. Ale ponieważ to rozwiązanie okazało się niewystarczające, niektórzy zaczęli używać osobnych znaków chińskiego pisma na różne potęgi dziesiątki. Tzn. pisali "264 dziesiątki" na oznaczenie 2640.

Niezależnie od wszelkich wpływów zagranicznych do tych samych odkryć doszli kilka wieków póŧniej w Ameryce Środkowej kapłani i astronomowie Majów. Kapłani Majów używali pozycyjnego systemu liczbowego o bazie 20 zawierającego 0. Pierwszych 19 liczb przedstawionych było najprostszymi symbolami - kropkami i kreskami. Każdą liczbę większą od 20pisano w kolumnie pionowej o tylu piętrach, ile było rzędów, tj. ilość jedności stała na samym dole, a cyfra oznaczająca ilość dwudziestek na drugim piętrze. Trzeci rząd odpowiadało wielokrotnościś liczby 360, a już w następnych wracało się do konsekwentnej numeracji dwudziestkowej - każde piętro począwszy od czwartego warte było 20 razy więcej od poprzedniego. Aby każda cyfra mogła pozostać na swoim piętrze także wtedy, gdy nie ma cyfr pewnego rzędu, uczeni Majów wynaleŧli zero. Oznaczali je rysunkiem przypominającym muszle małża lub ślimaka.

POWSTANIE NUMERACJI WSPÓŁCZESNEJ

W północnych Indiach około V wieku naszej ery narodził się system, który był przodkiem naszego i powstały podstawy pisanego rachunku, jakim dziś się posłujemy. Zanim północni Hindusi doszli do tego punktu , posługiwali się długi czas numeracją pisaną. Miał jednak ten system pewną cechę wspólną z naszym nowoczesnym, mianowicie jego dziewięć pierwszych cyfr, oznaczających liczby od 1 do 9, nie miało nic wspólnego z żadną intuicją wzrokową. Ich kształty przypominały obecne cyfry, które w kilka wieków póŧniej miały powstać z tamtych i które dziś nazywamy arabskimi. Ale tamte nie były używane według reguły pozycyjnej, więc nie nadawały się do rachunków jak nasze. Bazš tego systemu była dziesiątka, a liczby pisano na zasadzie dodawania. Więc osobnymi cyframi oznaczane były nie tylko liczby od 1 do 9, ale także wszystkie wielokrotności dziesiątki, aż do liczby 90, wielokrotności setki, aż do 900, wielokrotności tysiąca, aż do 9000, wielokrotności dziesięciu tysięcy, aż do 90000. Ponieważ nie mogli wyrażać dużych liczb cyframi, wcześnie wpadli na pomysł pisania ich słowami. Nazwy liczb odpowiadały bazie 10, a więc swoje osobne nazwy miały potęgi dziesiątki, a z nich powstawały określenia złożone dla innych liczb. ¯eby wyrazić jakąś liczbę, należało umieścić nazwę dziesięciu między słowem oznaczającym liczbę jedności a słowem oznaczającym liczbę dziesiątek, następnie nazwę stu między słowami oznaczającymi odpowiednio liczbę dziesiątek i liczbę setek, potem nazwę tysiąca między słowami oznaczającymi liczbę setek i liczbę tysięcy itd. Chcąc skrócić wysławianie matematycy i astronomowie indyjscy przestali wysławiać nazwy potęg bazy, a w nazwach przedstawiali tylko współczynniki tych potęg. Dzięki temu uproszczeniu uczeni indyjscy stworzyli ustny system pozycyjny. Ale i tu pojawił się problem zera - czyli cyfry oznaczającej, że nie ma dziesiątek. Uczeni indyjscy poradzili sobie z tym wprowadzając słowo "pusty" na oznaczenie zera. Wobec tego mieli już wszystko co trzeba dla ustanowienia nowoczesnej numeracji:

dla liczb od 1 do 9 mieli osobne cyfry wyglądem nie związane z odpowiednimi liczbami,

znali zasadę pozycyjną

odkryli zero.

Jednak ta reguła pozycyjna dotyczyła na razie tylko słów - do cyfr (pisanych) jeszcze jej nie stosowano, a zero miało tylko ustną nazwę. Odkrycie reguły pozycyjnej i zera nastąpiło w V wieku naszej ery.

Uczeni indyjscy, na długo zanim wynaleŧli prototyp naszej współczesnej pisowni liczb, poradzili sobie z rachowaniem używając środków pomocniczych. Posługiwali się abakami lub "tabliczkami do liczenia". Najczęściej używali abaków o kolumnach wykreślonym w miałkim piasku. Pierwszej kolumnie odpowiadały jedności, drugiej dziesiątki, trzeciej setki, itd. Zamiast kamyków i żetonów używali oni pierwszych dziesięciu cyfr swej starej numeracji. Cyfry te rysowali ostrzem na piasku w odpowiednich kolumnach i zacierali je w miarę rachowania, pozostawiając tylko wyniki kolejnych działań. W VI w. n.e. rachmistrzowie indyjscy wpadli na pomysł, żeby wynik nie zapisywać słowami, które symbolizowały liczby, ale cyframi, jakie rysowali na abaku, stosując do nich zasadę pozycyjną i dołączając osobny znak zera. Zniknęły kolumny abaków i oto dziewięć pierwszych cyfr dawnej numeracji indyjskiej otrzymało wartości zależne od ich pozycji w napisie przedstawiającym liczbę. Zero było zaznaczane punktem lub małym kółkiem. W ten sposób urodziło się współczesne zero.

CYFRY INDYJSKIE W EUROPIE

Arabowie posłużyli jako pośrednicy między Indiami a Zachodem. Gdyby nie oni, większość z nas może nigdy nie nauczyłaby się rachować, a nauka i technika nie byłyby tym, czym sš dzisiaj. To oni tłumaczyli na język arabski greckie dzieła filozoficzne, matematyczno - przyrodnicze i starannie to studiowali. W Europie arytmetyka polegała na archaicznej numeracji rzymskiej, na rachunkach palcowych i na wykonywaniu działań za pomocą kamyków i żetonów na starych abakach pozostawionych w spadku przez Rzymian. Natomiast Arabowie interesowali się także kulturą wschodnią. Jeśli chodzi o cyfry, to zaczęli od numeracji alfabetycznej greckiej i żydowskiej, która stała się wzorem dla ich 28 - literowego alfabetu. Za pośrednictwem Greków oraz syryjskich i mezopotamskich chrześcijan poznali stary system pozycyjny oparty na bazie 60 z zerem. Dzięki korzystnym stosunkom handlowym z Indiami Arabowie zetknęli się z uczonymi tego kraju, z ich astronomią, arytmetyką i algebrą, a w końcu VIII w. przejęli od nich w całości system numeryczny: cyfry, zasadę pozycyjną opartą na bazie 10, zero i metody rachunkowe. Cyfry miały z początku grafikę podobną do indyjskiej, ale z biegiem stuleci zmieniły się i przybrały kształty przypominające nasze dzisiejsze.

Odkrycia indyjskie dotarły na Zachód dzięki Arabom. Jednak nie stało się to z dnia na dzień. Od upadku cesarstwa rzymskiego aż do końca średniowiecza oświata w Europie Zachodniej pozostawała bardzo ograniczona. Nieliczni uprzywilejowani uczyli się czytać i pisać. Potem objaśniano im gramatykę, dialektykę, retorykę, a czasem teorię muzyki. Potem wykładano im pobieżnie astronomię i geometrię i jednocześnie uczono liczyć na palcach oraz pisać i odczytywać cyfry rzymskie. Działania arytmetyczne, nawet bardzo elementarne, nie były wtedy w zasięgu ogółu, ale były zastrzeżone dla bardzo szczupłej kasty specjalistów, którym długie i żmudne studia pozwoliły opanować tajemniczą i jakże skomplikowaną technikę abaków rzymskich.

W najbliższym kontakcie z Arabami były Włochy. Szkoły włoskie szybko wyspecjalizowały się w złożonych rachunkach, gdy tymczasem uniwersytety francuskie i niemieckie zajmowały się tylko najzwyklejszymi działaniami arytmetycznymi, i tak jeszcze było w XIV i XV wieku. Taka sytuacja utrzymała się jeszcze długo w państwach europejskich w póŧnym średniowieczu w epoce odrodzenia aż do XVII lub XVIII w. Dużą rolę w rozpowszechnieniu na Zachodzie odkrycia indyjskiego odegrał mnich Gerbert d'Aurillac, który w roku 999 został papieżem jako Sylwester II. Studiował on matematykę i astronomię, a potem dzięki długiemu pobytowi w Hiszpanii stał się uczniem mistrzów arabskich. Od 972 do 982 w Reims kieruje szkołą diecezjalną. On to właśnie wprowadził cyfry arabskie do naszej kultury. Ale tylko cyfry, ani zera, ani reguł rachowania z Indii. Cyfry arabskie wprowadzone przez Gerberta służyły tylko do uproszczenia rachunków na starych tabliczkach rachunkowych. Zamiast umieszczać w każdej kolumnie abaku tyle kamieni, ile tam miało być jedności, dziesiątek i tak dalej, zaczęto używać rogowych żetonów z wyrytymi cyframi arabskimi. A więc cyfry arabskie przeniknęły na Zachód najpierw nie drogą książkową, ale przez żetony.

Od 1095 do 1270 roku potężni książęta i rycerze chrześcijańscy usiłowali mieczem narzucić swoją tradycję i religię niewiernym na Wschodzie. Ale wbrew zamierzeniom krzyżowcy wracali wzbogaceni wzbogaceni zasobami tej kultury, z którą chcieli walczyć w Ziemi Świętej. Dzięki licznym wymianom dóbr kulturalnych z muzułmanami, które siłą rzeczy towarzyszyły tym wojnom, niektórzy rachmistrze zaczęli pisać cyfry na piasku zamiast posługiwać się kolumnami na abaku. Musieli również przejąć znak zera dla oznaczenia braku cyfry jakiegoś rzędu. I tak cyfry arabskie znalazły drogę na Zachód wraz z zerem i całą techniką rachunku na piśmie wynalezionego przez Hindusów.

Inny kontakt ze światem muzułmańskim powstał z drugiej strony Morza Śródziemnego. Od końca XI w. gorliwie pracowali w Hiszpanii tłumacze i kompilatorzy dzieł arabskich, a także greckich i hinduskich przetłumaczonych na arabski.

Astronomia przedteleskopowa

Od czasów starożytnych aż po wiek XVII celem astronomii był jak najdokładniejszy opis ruchów ciał niebieskich, obserwowanych gołym okiem: gwiazd oraz planet wraz ze Słońcem i Księżycem. Wszechświat ograniczał się do orbit planetarnych i sfery gwiazd stałych - Ziemia zajmowała w nim miejsce szczególne.

W starożytności najwyraźniej chyba był widoczny podział astronomii na dwa nurty: praktyczny, czyli związany z potrzebami życia codziennego, i naukowy - koncentrujący się na budowie modeli matematycznych, które pozwalałyby precyzyjnie opisywać ruchy planet na sferze niebieskiej i przewidywać ich przyszłe położenia. Pierwszy nurt dominował przede wszystkim w Egipcie, drugi - w Grecji; astronomia starożytnej Mezopotamii stanowiła połączenie obu nurtów.

Astronomia starożytnego Egiptu i Mezopotamii

Za najtrwalsze osiągnięcia astronomii starożytnego Egiptu można uznać wprowadzenie już około 3000 r. p.n.e. kalendarza opartego na roku liczącym 365 dni oraz ustalenie podziału nocy, a potem i dnia, na 12 części, skąd wzięła się ostatecznie nasza doba, mająca 24 godziny.

W starożytnej Mezopotamii już Sumerowie - którym przypisuje się wynalezienie tuż przed 3000 r. p.n.e. pisma klinowego, odciskanego za pomocą rylca na glinianych tabliczkach - wnieśli swój wkład do astronomii, nadając gwiazdozbiorom nazwy, z których część dotrwała do czasów współczesnych, na przykład Byk, Lew czy Skorpion (patrz gwiazdozbiory starożytnej Mezopotamii). Najwcześniejsze babilońskie teksty astronomiczne pochodzą z przełomu XVIII/XVII w. p.n.e. - najstarszym zabytkiem jest astrologiczne kompendium "Enuma Anu Enlil", zawierające informacje o położeniach i okresach widoczności Wenus. Ostatni almanach astrologiczny utrzymany w tej tradycji pochodzi z 75 r. i został znaleziony w świątyni w Babilonie. Rozwój astronomii na ziemiach Mezopotamii bardzo ściśle wiązał się z wielką rolą astrologii w życiu społecznym i politycznym, choć najważniejsze osiągnięcia naukowe wyszły daleko poza granice astrologii użytkowej.

>>> Odrys babilońskiej tabliczki klinowej (VII-V w. p.n.e.) zwierającej listę gwiazd.

Astronomii babilońskiej zawdzięczamy wprowadzenie zodiaku (ok. V w. p.n.e), zarówno jako zbioru konstelacji, jak i koła wielkiego, będącego podstawą ekliptycznego układu współrzędnych na sferze niebieskiej. Z tamtejszej tradycji obliczeniowej wziął się stopień - jako podstawowa jednostka miary kątowej - oraz system sześćdziesiętny. Poza tekstami bogatymi w informacje o obserwowanych zjawiskach astronomicznych (np. lista zaćmień sięgająca połowy VIII w. p.n.e.), astronomia babilońska pozostawiła dokładnie wyznaczone fundamentalne parametry, takie jak miesiąc synodyczny, rok zwrotnikowy, i stosunki między okresami obiegu planet. Około 500 r. p.n.e. w astronomii babilońskiej pojawiły się modele matematyczne, które umożliwiały obliczanie - na podstawie opracowanych algorytmów i przy użyciu kilku wyznaczonych parametrów - czasu występowania ważnych zjawisk astronomicznych: nowiu i pełni Księżyca, zaćmień, okresów widoczności planet, ich opozycji i stanowisk.

   Około 3000 roku p.n.e. powstał kalendarz egipski. Był to kalendarz rolniczy, zawdzięczający swe powstanie wylewom Nilu. Ponieważ wylew Nilu na wysokości Memfis, a konkretnie Heliopolis zbiegał się ze wschodem gwiazdy Sothis (w języku greckim Syriusz) dniem tym oznaczano początek roku. Dzielił się on na 12 miesięcy (każdy liczył po 30 dni) oraz 5 dni dodatkowych (Grecy zwali je epagomenami). Ponieważ rok urzędowy był krótszy o sześć godzin od roku astronomicznego, każdorazowo po czterech latach początek roku przesuwał się o jeden dzień wstecz. Dopiero po 1460 latach (tzw. okres sothisowy, odgrywający ważną rolę przy ustalaniu chronologii egipskiej) początek roku i wschód Sothisa przypadał na ten sam dzień.

         Bardzo dobrze rozwijała się w starożytnym Egipcie matematyka. Obliczano pola powierzchni stożka, graniastosłupa, walca i prostopadłościanu. Z podstawowych działań matematycznych znano dodawanie i odejmowanie, nie potrafiono natomiast mnożyć. Wyliczenia wykorzystywano podczas budowania piramid, czy obiektów sakralnych. Znakomicie opanowali Egipcjanie sztukę obróbki kamienia, czy wyrobu szkła, znacznie słabiej natomiast umiejętność wytopu metali. Duże osiągnięcia mieli także w dziedzinie medycyny. Niewątpliwie przyczyniła się do tego mumifikacja zwłok, która pozwoliła poznać anatomię człowieka. Egipscy lekarze potrafili wykonać trepanację czaszki, leczyli zęby, złamania, stosowali znieczulenia. Na bardzo wysokim poziomie stała też wiedza astronomiczna.

         Godne podkreślenia jest, iż Egipcjanie znali i potrafili zastosować w praktyce system dziesiętny. Był on wykorzystywany do zapisu liczb. Dziełem Egipcjan jest też opracowanie i upowszechnienie zegara wodnego. Dobę dzielili na 24 godziny (12 godzin dziennych i tyle samo nocnych).

Średniowieczna astronomia islamu

W wiekach średnich największy wpływ na rozwój astronomii miały dokonania astronomów islamu i prowadzone przez uczonych europejskich poszukiwania doskonalszej wersji systemu Ptolemeusza, które zaowocowały ostatecznie modelem heliocentrycznym Mikołaja Kopernika (1473-1543).

Między VIII i XIV w. astronomia rozwijała się bujnie w krajach islamu: na Bliskim Wschodzie, w Afryce Północnej i w mauretańskiej Hiszpanii. Zadecydowały o tym dwa czynniki: geograficzna bliskość tych obszarów w stosunku do światowych ośrodków nauki starożytnej, gdzie przechowywano teksty naukowe, oraz praktyki religii islamu, które stawiały przed astronomią wiele zadań, dotyczących rachuby czasu (kalendarz księżycowy, wymóg pięciokrotnego odmawiania modlitwy w ciągu dnia) i wyznaczania kierunku ku Mekce w dowolnym miejscu na Ziemi.

W IX w. większość greckich traktatów naukowych, w tym "Almagest" Ptolemeusza, została już przełożona na arabski. Poprzez Hiszpanię dzieła te - z powstałymi równolegle z tłumaczeniami komentarzami, kompilacjami i streszczeniami - trafiały do Europy Zachodniej. W taki na przykład sposób najważniejsze idee geocentrycznego modelu Ptolemeusza zostały rozpropagowane przez "Elementy" bagdadzkiego astronoma Ahmeda al-Farghaniego (IX w.). Dzieło to przełożył w Toledo na łacinę w pierwszej połowie XII w. Jan z Sewilli, a kilkadziesiąt lat później, po raz drugi, Gerard z Cremony, który był także tłumaczem "Almagestu".

Uczeni islamu wnieśli duży wkład w rozwój astronomii sferycznej (rozwiązywanie trójkątów na sferze), co odzwierciedla terminologia przejęta z języka arabskiego: zenit, nadir, azymut. Świadectwem zainteresowania uczonych islamu katalogiem 1022 gwiazd z "Almagestu" jest jego krytyczna rewizja, opracowana w X w. przez Abd al-Rahmana al-Sufiego (903-986). Wraz z rozprzestrzenianiem się w Europie arabskiej wersji astrolabium płaskiego - przyrządu służącego do rozwiązywania zadań astronomii sferycznej, będącego jednocześnie miniaturową mapą nieba - upowszechniały się arabskie nazwy najjaśniejszych gwiazd. W krajach islamu funkcjonowały również duże obserwatoria astronomiczne, wyposażone w instrumenty i mające liczny personel; do najbardziej znanych zalicza się obserwatorium w Maradze.

Astronomowie islamu próbowali wyznaczyć dokładniejsze parametry orbit w systemie Ptolemeusza i konstruować lepsze fizyczne modele Wszechświata. Thabit ben Qurra (IX w.), pragnąc wyjaśnić rozbieżność między obserwowaną wartością precesji a błędną wartością, podaną przez Ptolemeusza, opracował nową teorię tego zjawiska. Muhammad al-Battani (ok. 854-929) na podstawie własnych obserwacji poprawił wiele parametrów modelu geocentrycznego (m.in. orbitę Słońca). Jego "Zij", czyli "Tablice astronomiczne", zostały w XII w. przełożone na łacinę i były wykorzystywane przez astronomów europejskich. Wielką popularnością cieszyły się "Tablice toledańskie" mauretańskiego astronoma al-Zarqaliego (Arzachela; XI w.), które szybko zostały przetłumaczone na łacinę.

Interesujące były próby usunięcia z modelu Ptolemeusza ekwantu, który przeszkadzał w konstrukcji systemu realnych sfer unoszących planety i nie pasował do filozoficznej koncepcji doskonałego ruchu jednostajnego. Wśród autorów najważniejszych prac, które zawierały krytykę tego mechanizmu w systemie Ptolemeusza i przedstawiały rozwiązania zastępcze, należy wymienić: Ibn al-Haithama (Alhazena; 965-ok. 1040) z Kairu, Ibn Ruszda (Awerroesa; 1126-1198) z mauretańskiej Andaluzji, Ibn Ishaka al-Bitrudżiego (XII w.), również Andaluzyjczyka, Nasira al.-Din al-Tusiego (XII w.) z Maragi i Ibn al-Shatira (XIV w.) z Damaszku.

Astronomia starożytnej Grecji

Astronomia starożytnej Grecji stworzyła model uprawiania nauki, który łączył dwa elementy: teorię, wykorzystującą do opisu zjawisk niebieskich geometrię (oryginalna idea grecka), i przewidywania położeń ciał niebieskich, mające postać danych liczbowych (tradycja przejęta z Mezopotamii). Jej kulminacją był system geocentryczny Klaudiusza Ptolemeusza (II w.), opisany w "Almageście". Jest to wspaniały przykład zastosowania teorii matematycznej do opisu przyrody, choć ze współczesnego punktu widzenia natura zjawisk była tłumaczona błędnie, gdyż na gruncie fizyki arystotelesowskiej.

W pierwszym okresie rozwoju, począwszy od VI w. p.n.e., astronomia grecka miała charakter opisowy. Pojawiło się wiele spekulatywnych teorii kosmologicznych, próbujących wyjaśnić fizyczną naturę świata i ciał niebieskich. Autorami tych koncepcji byli: Tales z Miletu (ok. 625-ok. 547 p.n.e.), Anaksymander (ok. 610-ok. 545 p.n.e.) i Pitagoras (ok. 572-ok. 497 p.n.e.). Temu ostatniemu przypisuje się rozpoznanie kulistego kształtu Ziemi i wprowadzenie terminu "kosmos", oznaczającego racjonalny porządek we Wszechświecie.

Platon (ok. 427-374), który w swej kosmologii przyjmował, że Wszechświat jest urządzony harmonijnie, sformułował program rozwoju greckiej astronomii starożytnej, żądając, by przyjęła ona, iż ruchy ciał niebieskich są jednostajne i kołowe, i za pomocą tylko tego rodzaju ruchów oraz ich złożenia opisała obserwowane zachowanie planet. Jako pierwszy rozwiązanie tego problemu podał Eudoksos z Knidos (ok. 400-ok. 347 p.n.e.), uczeń Platona, konstruując model świata w postaci współśrodkowych sfer. W modelu tym każda planeta była unoszona przez jedną lub kilka sfer, wirujących ze stałą prędkością wokół Ziemi, która tkwiła w miejscu ich wspólnego środka. Sfery obracały się wokół osi mających różne bieguny i były ze sobą połączone, tak że ruch sfery zewnętrznej przenosił się na sferę wewnętrzną. Model Eudoksosa, rozwinięty później przez Kalipposa (IV w. p.n.e.), który zwiększył liczbę sfer z pierwotnych 26 do 35, przyjął następnie Arystoteles (384-322 p.n.e.) w jeszcze bardziej rozbudowanej postaci (nawet 55 sfer). Model sfer współśrodkowych nie był jednak w stanie opisać ilościowo ruchu planet.

Nowy okres w astronomii starożytnej Grecji, charakteryzujący się wyznaczaniem parametrów modeli planetarnych z obserwacji, rozpoczął się w III w. p.n.e. Arystarch z Samos (ok. 310-230 p.n.e.) opracował metodę pomiaru odległości do Księżyca i Słońca, stwierdzając, że Słońce znajduje się około 19 razy dalej od Ziemi niż Księżyc (co jest wielkością blisko 20 razy za małą). Uczony ten jako pierwszy wysunął również tezę, że Ziemia wykonuje dwa ruchy: obrotowy wokół swej osi i roczny dokoła Słońca. Apoloniusz z Pergi (ok. 262-ok. 190 p.n.e.) wprowadził dwa geometryczne modele orbit planet. W pierwszym z nich planeta krążyła wokół Ziemi ruchem jednostajnym po okręgu, ale Ziemia nie leżała w jego środku, lecz była od niego nieco odsunięta; powodowało to zmiany odległości planety od Ziemi, a zatem prędkości tej pierwszej na tle gwiazd. W drugim modelu planeta poruszała się ruchem jednostajnym po małym okręgu, zwanym epicyklem, którego środek wędrował z kolei - również ruchem jednostajnym - po dużym okręgu, czyli deferencie; środek deferentu pokrywał się z Ziemią. Modele te były sobie równoważne.

Pierwszy z modeli Apoloniusza wykorzystał Hipparch (II w. p.n.e.) do opisania ruchu Słońca wokół Ziemi. Wyznaczył on parametry orbity na podstawie pomiarów długości dwóch pór roku: wiosny i lata. Drugi model posłużył Hipparchowi do przedstawienia ruchu Księżyca; do określenia parametrów orbity księżycowej uczony użył danych ze źródeł babilońskich. Hipparchowi przypisuje się odkrycie zjawiska precesji astronomicznej, prowadzenie systematycznych obserwacji astronomicznych i sporządzenie pierwszego obszernego katalogu gwiazd.

>>> Orbita Słońca według modelu Hipparcha

Informacje o osiągnięciach Hipparcha zachowały się niemal wyłącznie we fragmentach "Almagestu" Klaudiusza Ptolemeusza (II w. n.e.), który był kontynuatorem jego dzieła. Pracując w Aleksandrii, opisał w swym dziele astronomicznym kompletny system modeli geometrycznych i związanych z nimi tabel, pozwalający przewidzieć położenia Słońca, Księżyca i planet w dowolnej chwili w przeszłości i przyszłości. Do rozwiązań Apoloniusza Ptolemeusz wprowadził pewne ulepszenie: środek epicyklu poruszał się po deferencie ze zmienną prędkością, ale taką, że pozostawała ona niezmienna względem ekwantu - punktu, który leżał po przeciwnej stronie środka deferentu w stosunku do Ziemi, w tej samej co ona odległości od środka. Za sprawą Ptolemeusza utrwalił się także na długo porządek planet w rosnącej odległości od Ziemi: Księżyc, Merkury, Wenus, Słońce, Mars, Jowisz i Saturn.

>>> Trzy geocentryczne modele orbity planety: a) orbita ekscentryczna b) deferent z epicyklem c) deferent z epicyklem i ekwantem.

Fizyczny obraz Wszechświata, wywodzący się z geometrycznych konstrukcji zawartych w "Almageście" i odpowiadający arystotelesowskiej filozofii przyrody, przedstawił Ptolemeusz w "Założeniach [teorii] planet". W opisanym tam modelu każda z planet poruszała się w sferycznej powłoce, na tyle grubej, by mieścił się w niej epicykl; przy czym dolna granica powłoki bardziej zewnętrznej planety była jednocześnie górną granicą powłoki planety bliższej Ziemi.

Dzieło Ptolemeusza stanowi ukoronowanie dokonań astronomii starożytnej.

Klaudiusz Ptolemeusz (II w.). Portret (ok. 1472) przypisywany Justusowi z Gandawy lub Pedro Burruguete. Fot. Andrzej Pieńkos.

Klaudiusz Ptolemeusz z Aleksandrii (ok. 100-ok. 165) [Claudius Ptolemaeus], astronom i geograf. O życiu tego uczonego, zaliczanego do największych w starożytności, wiemy niewiele. Epokę, w której pracował, określamy na podstawie dat przeprowadzonych przez niego obserwacji astronomicznych, zapisanych w jego "Almageście": najstarsza z nich pochodzi z 127 r., ostatnia z 2 lutego 141 r. Wiemy również, że kilka dzieł Ptolemeusza powstało po ukończeniu przezeń "Almagestu". Miejscem, do którego odnosił swoje obserwacje, była Aleksandria.

Ptolemeuszowi przypisuje się autorstwo epigramatu:

Wiem, że jestem śmiertelny i jednodniowy, lecz kiedy
śledzę obiegi gwiazd, tudzież powroty ich,
już nie dotykam ziemi, ale u Zeusa w gościnie
bogów spożywam karm, słodkiej ambrozji dar.
(przeł. T. Sinko)

Niemniej najsłynniejszym dziełem Ptolemeusza pozostaje "Almagest", zawierający systematyczny wykład matematycznej teorii ruchów planet w układzie geocentrycznym. Dzieło składa się z 13 ksiąg. W księdze I po krótkim wstępie filozoficznym, odwołującym się do Arystotelesa (i uzasadniającym przyjęcie założeń kołowości i jednostajności obiegów planet), Ptolemeusz daje wykład trygonometrii w zakresie niezbędnym do zrozumienia astronomii. Księga II opisuje zjawiska wschodów i zachodów gwiazd, długości dnia dla różnych szerokości geograficznych itp. - innymi słowy, prezentuje podstawowe zagadnienia astronomii sferycznej. W księdze III zostaje przedstawiona teoria ruchu Słońca. Księga IV opisuje model ruchu Księżyca, rozwinięty w księdze V, gdzie dyskutowane są również: odległości i rozmiary Ziemi, Słońca i Księżyca oraz paralaksy - słoneczna i księżycowa. Dzięki rozważaniom w poprzedniej księdze, Ptolemeusz może w księdze VI opisać teorię zaćmień Słońca i Księżyca. Księgi VII i VIII zawierają katalog 1022 gwiazd. Jego centralną pozycję w "Almageście" można wytłumaczyć tym, że wyznaczenie współrzędnych ekliptycznych gwiazd wymagało nawiązania do ruchów Słońca poprzez Księżyc (materiał zawarty w księgach III-VI), a z kolei część obserwacji planet, koniecznych do wyznaczenia podstawowych parametrów ich orbit, polega na ustaleniu ich pozycji względem gwiazd. Po katalogu gwiazd następuje 5 ksiąg poświęconych teorii ruchów planet. Księga IX rozpatruje ogólnie ruch planet w długości ekliptycznej i zmaga się z trudnym do opisania zachowaniem Merkurego; księga X jest poświęcona wyznaczeniu parametrów orbit Wenus i Marsa, księga XI zaś - Jowisza i (najdalszego w systemie) Saturna. W księdze XII Ptolemeusz dyskutuje zjawiska związane z zakreślaniem przez planety pętli na tle gwiazd (ruch wsteczny, stanowiska i największe elongacje). Księga XIII została zarezerwowana na próby opisu ruchów planet w szerokości ekliptycznej.

"Almagest" zawierał nie tylko modele matematyczne, lecz także wynikające z nich dane liczbowe, przedstawione w tabelach, które pozwalały obliczyć położenia Słońca, Księżyca, Merkurego, Wenus, Marsa, Jowisza i Saturna w dowolnej epoce. System Ptolemeusza - choć poddawany różnorakim modyfikacjom, np. przez średniowiecznych uczonych islamu - przetrwał jako podstawa astronomii matematycznej i kosmologii geocentrycznej aż do XVI w., który przyniósł "De revolutionibus" Mikołaja Kopernika.

Oryginalny tytuł "Almagestu" brzmiał:


"Matematyczny zbiór". Dzieło stało się znane u schyłku starożytności jako "Megale syntaxis", "Wielki zbiór", a średniowieczni tłumacze arabscy oddali termin "wielki" poprzez "al-majisti", które w łacińskim obszarze językowym przeobraziło się w "almagestum".

Modele Ptolemeusza dobrze przewidywały położenia planet i niepotrzebna była w nich znajomość absolutnych wielkości kół planetarnych - deferentów i epicykli - wystarczyły względne wartości ich promieni. (Z "Almagestu" nie wynika np., która z dwóch planet, Merkury czy Wenus, krąży bliżej Ziemi). Tylko w wypadku Księżyca i Słońca Ptolemeusz musiał znaleźć rzeczywiste rozmiary orbit (zrobił to w księdze V); bez tego niemożliwe byłoby obliczanie zaćmień tych ciał niebieskich. Korzystając z obserwacji, aleksandryjski astronom wyznaczył odległość Księżyca od Ziemi, a następnie - Słońca od Ziemi. Te dwie wielkości jako jedyne występują w "Almageście" w jednostkach absolutnych: w promieniach Ziemi.

>>>

Geocentryczny układ Ptolemeusza: matematyczna konstrukcja epicykli poruszających się po deferentach wtłoczona w system współśrodkowych sfer. W ten sposób np. dolna granica sfery Jowisza jest styczna od góry do epicyklu Marsa, od dołu zaś - do epicyklu Jowisza; podobnie, górna granica sfery Jowisza jest styczna od góry do epicyklu Jowisza, a od dołu - do epicyklu Saturna. W systemie tym Słońce nie porusza się po epicyklu. Warto zwrócić uwagę, że środki epicykli Merkurego i Wenus leżą na linii Ziemia-Słońce i że promienie epicykli Marsa, Jowisza oraz Saturna zawsze pozostają równoległe do tej linii.

Zupełny układ rozmiarów planet - czyli całego ówczesnego kosmosu - przedstawił Ptolemeusz w "Założeniach teorii planet", napisanych po "Almageście". Po pierwsze, Ptolemeusz przyjął, że względne stosunki promieni orbit w modelach planet z "Almagestu" oddają rzeczywiste proporcje w kosmosie geocentrycznym. Po drugie, uznał, że we Wszechświecie nie ma miejsce na próżnię, a zatem największa odległość od Ziemi jednej planety musi być najmniejszą odległością od Ziemi planety kolejnej, i tak aż po sferę gwiazd stałych (rysunek). W ten sposób matematyczne rozważania z

Rozmiary Wszechświata według Ptolemeusza przedstawiały się następująco:
 

CIAŁO NIEBIESKIE	PROMIEŃ SFERY W PROMIENIACH ZIEMI
		minimalny	maksymalny	średni
Księżyc	33	64	48
Merkury	64	166	115
Wenus	166	1079	622 1/2
Słońce	1160	1260	1210
Mars	1260	8820	5040
Jowisz	8820	14 187	11 503
Saturn	14 187	19 865	17 026
Sfera gwiazd	-	-	20 000

Biorąc pod uwagę współczesne rozmiary Ziemi i promienie planetarnych orbit, przekonamy się, że choć wielkość sfery Księżyca Ptolemeusz oszacował poprawnie (średnia odległość Srebrnego Globu od naszej planety wynosi około 60 promieni Ziemi, co mieści się w granicach sfery księżycowej), to już nawet najmniejsza odległość Merkury-Ziemia jest w rzeczywistości ponad 100 razy większa od wskazanej przez aleksandryjskiego astronoma. Kosmos Ptolemeusza był ciasny.

Po "Almageście" zestawione również zostały przez Ptolemeusza tzw. "Tablice podręczne", zawierające lekko zmodyfikowane w stosunku do "Almagestu" dane liczbowe opisujące ruch planet.

Ptolemeusz jest także autorem innych traktatów naukowych, z których najważniejsze to: "Tetrabiblos", czyli "Czteroksiąg", "Geografia", "Optyka", jak też traktat o harmonii. Wielką popularnością cieszył się zwłaszcza "Czteroksiąg" - biblia astrologów, czytywana i dziś. Pod względem naukowym Ptolemeusz stawiał astrologię niżej niż astronomię; uważał, że astrologia jest oparta na mniej pewnych podstawach, stanowiąc filozoficzne raczej uzupełnienie astronomii.

Cztery księgi "Tetrabiblosu" to próba usystematyzowania dziedziny tak niespójnej jak astrologia. Księga I przypisuje planetom, gwiazdom i znakom zodiaku odpowiednie im moce, definiuje podstawy astrologii, które prawie niezmienione trwają do dziś. Księga II daje wykład astrologii geograficznej, opisując wpływ ciał niebieskich na różne kraje i ich mieszkańców. Księga III przedstawia zasady astrologii horoskopowej, czyli tej związanej z przepowiadaniem losów na podstawie daty urodzenia. Księga IV określa sposób wyciągania wniosków z horoskopu (przebieg życia, interesy, podróże, ślub itd.), podając nawet metodę obliczania długości życia. Z tej właśnie księgi można się np. dowiedzieć, że pierwszymi 4 latami życia ludzkiego kieruje Księżyc, następnymi 20 latami - Merkury, dalszymi 8 - Wenus, kolejne 19 lat przypada na Słońce, 15 - na Marsa, 12 - na Jowisza, a pozostałe do śmierci lata bierze w posiadanie zimny i destrukcyjny Saturn.

"Geografia" Ptolemeusza była tym dla tej dziedziny wiedzy, czym jego "Almagest" dla astronomii. W księdze I uczony wyłożył podstawy kartografii matematycznej, natomiast w księgach II-VII wymienił ponad 8 tysięcy nazw geograficznych, podając ich lokalizację w Afryce, Azji i Europie. Za południk zerowy przyjął Ptolemeusz ten, który przechodzi przez Wyspy Kanaryjskie, zwane przez niego Wyspami Szczęśliwymi. "Geografii" zazwyczaj towarzyszyło 27 map. Rozdział 5 księgi III poświęcił Ptolemeusz Sarmacji Europejskiej, którą:
- od północy oblewa Ocean Sarmacki z Zatoką Wenedzką;
- od zachodu ogranicza rzeka Vistula i część Germanii, leżąca między jej źródłami i Górami Sarmackimi oraz same góry;
- od południa Jazygowie i Metanastowie od południowej granicy Gór Sarmackich do początku góry Karpates i Dacja;
- od wschodu przesmyk za rzeką Kerkinit, jezioro Byke, linia brzegowa jeziora Meockiego, rzeka Tanais i południk biegnący od jej źródeł ku nieznanej ziemi. (Wg przekładu Mariana Goliasa).

W świecie Ptolemeusza istniała zatem Sarmacja Europejska, rozpościerająca się od Wisły do Donu, oraz - o czym mówi rozdział 8 księgi V - Sarmacja Azjatycka, od Donu do Wołgi.

"Optyka" Ptolemeusza składała się z pięciu ksiąg. Księga I (która nie zachowała się do naszych czasów) była poświęcona ogólnym rozważaniom o naturze światła i procesie widzenie. Księga II omawiała m.in. złudzenia optyczne. Księga III zaś zawierała prawa odbicia oraz teorię zwierciadeł płaskich i wypukłych. W księdze IV Ptolemeusz umieścił teorię zwierciadeł wklęsłych i stożkowych. W księdze V rozpatrywał zjawisko załamania światła.

Historycy muzyki doceniają także "Harmoniki" Ptolemeusza jako szczytowe osiągnięcie starożytnej teorii muzyki i jedno z niewielu bogatych źródeł wiedzy o niej. Niewątpliwie zainteresowania astronoma teorią muzyki miały swe korzenie w poszukiwaniu pitagorejskiej harmonii sfer - uczony porusza to zagadnienie w księdze III swego traktatu. Wcześniej jednak, w księgach I i II, omawia wyczerpująco systemy muzyczne wykorzystywane w świecie starożytnym.

Astronomia średniowieczna i renesansowa w Europie

W Europie po powstaniu "Almagestu" uprawianie astronomii zgodnie z tradycją nauki greckiej uległo zahamowaniu. W następnych wiekach niewiele prac napisanych na Zachodzie nawiązywało do osiągnięć astronomii starożytnej. Chalcydiusz (IV lub V w.) przełożył na łacinę kosmologiczny mit Platona - "Timajosa" - i opatrzył go obszernym komentarzem. Dzięki rzymskiemu pisarzowi Martianusowi Kapelli (ok. 365-440) zachowała się informacja o odkryciu Heraklidesa z Pontu (IV w. p.n.e.), który przypuszczał, iż Merkury i Wenus krążą wokół Słońca i dopiero z nim - dokoła Ziemi. Inny rzymski pisarz, Makrobiusz (IV/V w.), napisał komentarz do "Snu Scypiona" Cycerona, zawierający popularny wykład kosmologii sfer planetarnych i podstawowych wiadomości z astronomii. Substytutem astronomii matematycznej była komputystyka kościelna, która zajmowała się ustalaniem daty Wielkanocy. Traktat, zawierający odpowiednie reguły obliczeniowe, napisał w 725 r. św. Beda Czcigodny (ok. 672-735).

>>> Średniowieczny system sfer planetarnych, otaczających Ziemię, został przedstawiony na obrazie "Wygnanie z raju" Giovanniego di Paolo (ok. 1445 r.). Bóg wprawia w ruch najbardziej zewnętrzną sferę układu geocentrycznego.

Odrodzenie nauki astronomii w Europie Zachodniej wiąże się z przyswajaniem wiedzy arabskiej (arabskich przekładów autorów greckich i oryginalnych dzieł uczonych islamu) w XI i XII w. w ośrodkach hiszpańskich (m.in. Toledo, Kastylia). Na podstawie przekładu traktatu al-Farghaniego Jan Sacrobosco (Jan z Holywood) napisał na początku XIII w. "Traktat o sferze" - dzieło popularyzujące w czterech księgach podstawy astronomii Ptolemeusza. W drugiej połowie XIII w. pod protektoratem Alfonsa X Mądrego, króla Kastylii i Leonu, powstały "Tablice alfonsyńskie" (ich ostateczną redakcję przypisuje się środowisku naukowemu Paryża), które zgodnie z modelami Ptolemeusza podawały sposoby obliczania położeń planet. Zastąpiły one "Tablice toledańskie" i na długie lata zyskały popularność wśród astronomów i astrologów.

>>> Średniowieczne astrolabium płaskie

Znaczący postęp, porównywalny z drogą prowadzącą od pierwszych ilościowych modeli sfer współśrodkowych do systemu Ptolemeusza, przyniósł okres od końca XV do początku XVII w. W pierwszym etapie powstania nowego modelu Wszechświata najważniejszą rolę odegrały dwa ośrodki: wiedeńsko-norymberski i krakowski. Z pierwszym z nich związane są nazwiska dwóch uczonych: Georga Peuerbacha (1423-1461) i Johannesa Müllera (1436-1476), zwanego Regiomontanem. Peuerbach, zgodnie z wytyczonym przez siebie planem odnowy astronomii poprzez studiowanie dzieł autorów starożytnych, przedstawił w "Nowych teorykach planet" skrót astronomii Ptolemeusza i jego arabskich krytyków. Zaczął również pisać streszczenie "Almagestu" ("Epitoma in Almagestum"), które po jego śmierci dokończył i wydał Regiomontanus. Oba dzieła cieszyły się wielką popularnością. "Nowym teorykom planet" towarzyszyły tablice astronomiczne, podające położenia ciał niebieskich w okresie 1475-1506, i jeden egzemplarz tej książki wziął ze sobą w swą czwartą podróż (1502-1504) Krzysztof Kolumb.

Mikołaj Kopernik zawdzięczał podstawy swej wiedzy astronomicznej szkole krakowskiej, związanej z uniwersytetem. Wykładał tam m.in. Wojciech z Brudzewa, autor komentarza do "Nowych teoryk planet" Peuerbacha. Uzupełniwszy swe wykształcenie we Włoszech, na początku XVI w. Kopernik sformułował założenia nowego systemu świata - Słońca okrążanego przez planety - w niewielkim traktacie, noszącym tytuł "Commentariolus". Nie zawierał on jeszcze modelu matematycznego, który został przedstawiony, zgodnie z najlepszymi zasadami starożytnej astronomii greckiej, w "De revolutionibus" ("O obrotach"), dziele opublikowanym w 1543 r.

>>> Sekstant astronomiczny Tychona Brahego.

"De revolutionibus" było przede wszystkim pracą wielkiego teoretyka, który potrafił skonstruować nowy model świata, posługując się nielicznymi, niezbędnymi obserwacjami - w równej mierze swoich poprzedników, co własnymi. W drugiej połowie XVI w. inny astronom, Duńczyk Tycho Brahe (1546-1601) sprawił, że o dalszych losach modeli astronomicznych zaczęły decydować coraz dokładniejsze obserwacje. W 1576 r. Tycho rozpoczął budowę dużego obserwatorium na wyspie Hven, gdzie do 1597 r. z wielką dokładnością rejestrował położenia planet i gwiazd. Obserwując w 1577 r. kometę, odkrył, że porusza się ona w obszarze zastrzeżonym przez model Ptolemeusza dla planet, a zatem wątpliwe stało się istnienie sfer, unoszących planety.

Ostatnie lata życia Brahe spędził w Pradze, na dworze cesarza Rudolfa II. W opracowywaniu danych obserwacyjnych pomagał mu od 1600 r. Johannes Kepler (1571-1630), zdolny matematyk niemiecki, zwolennik teorii Kopernika. Dokładne obserwacje położeń planet, zwłaszcza Marsa, wykonane przez Brahego, pozwoliły Keplerowi odkryć naturę planetarnych orbit - ich eliptyczność - i sformułować trzy prawa ruchu planet. Dwa pierwsze prawa ukazały się drukiem w "Nowej Astronomii", wydanej w 1609 r., tym samym, w którym człowiek po raz pierwszy skierował ku niebu teleskop.

Egipcjanie

Egipska matematyka jest więcprzede wszystkim zbiorem technik rachunkowych

stosowanych do konkretnych problem. Szczegnieinteresowało ich obliczanie powierzchni oraz objętości rozmaitych figur: trkąt, prostokąt, trapez, prostopadłościan, piramid czy cylindr. Ich zainteresowanie mierzeniem było związane tyleż z budownictwem co z pomiarami gruntu, gdyż częste wylewy Nilu powodowały konieczność ponownych podział

terenu. Nie posiadali oni znak oznaczających dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie, więc wszelkie operacje matematyczne opisywali słownie. Jedyne oznaczenie dodatkowe z jakiego korzystali był system zapisu ułamk o liczniku rnym jeden, takich jak 1/2, 1/3, 1/4, itd., polegający na umieszczeniu nad daną liczbą (odpowiednio: 2, 3, 4, ...) znaku przypominającego palące się cygaro. Jedynym wyjątkiem od tej reguły był odrębny znak

oznaczający ułamek 2/3. Innych ułamk w starożytnym Egipcie nie używano. W związku z tym, aby zapisać wynik rny np. 2/97 Egipcjanie musieli napisać 1/56 + 1/679 + 1/776. System liczbowy starożytnego Egiptu nie był systemem pozycyjnym Papirusu Rhinda8 (datowanego na ok. 1650 r. p. n. e. i będącego kopią wcześniejszego dokumentu z ok. 2000 r. p. n. e., kty z kolei mł być kopią papirusu z czas Imhotepa, ok. 2650 r. p. n. e.) wynika, że Egipcjanie znali przybliżenie liczby π zastosowanie przez nich przy budowie piramid tzw. ciągu Fibonacciego. Kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego powstają przez dodanie do siebie dwh poprzednich wyraz, przy czym dwoma początkowymi wyrazami są dwie jedynki. Pierwsze kilkanaście wyraz tego ciągu to 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 i 610. Okazuje się, że wyrażone w egipskich krewskich łokciach długości ścian świątyni pogrzebowej położonej przy piramidzie Khafra (gr. Chephren), datowanej na około

2500 lat p. n. e. (czyli 3700 lat przed Fibbonaccim) tworzą ciąg

Fibbonacciego.

Indie

(Cywilizacja doliny Indusu ok. 2500 p. n. e. - ok. 1700 p. n. e., okres wedyjski ok. 1900 p. n. e. - ok. 400 p. n. e., okres

średniowieczny ok. 300 p. n. e. - 1279 n. e., okres muzułmański ok. 1200 n. e. - ok. 1600 n. e.)

Matematyka w Indiach była przede wszystkim narzędziem służącym do obserwacji i przewidywań astronomicznych, choć oczywiście stosowano ją rnież do praktycznego liczenia i mierzenia. Historię matematyki w Indiach można podzielić na cztery okresy:

I. OKRES STAROŻYTNY

Kultura doliny Indusu i kultura wedyjska (ok. XXIV - ok. III w. p. n. e.) Znaleziska archeologiczne pokazały, że kultura żyjąca w dolinie Indusu dysponowała jednorodnym

systemem miar i war. Odkryte odważniki tworzą zbi wag o charakterze dziesiętnym: są to kolejno 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, i 500 jednostek w latach 1500-800 p. n. e. powstaje na tych terenach nowa kultura, ktej centralnym dziełem są Wedy, teksty o charakterze religijnym, zapisane wedyjskim sanskrytem. Właśnie z nimi związany jest

dalszy rozw matematyki w Indiach. Sulbasutry, będące przypisami do Wed, zawierają praktyczne obliczenia matematyczne potrzebne do konstrukcji ołtarzy. Znajdują się w nich między innymi określenia wartości liczby π rne 25/8 (3.125), 900/289 (3.11418685...) i 1156/361 (3.202216...). Natomiast przy okazji obliczeń astronomicznych wartość liczby π podana jest jako 339/108 (3.1389). W Wedach pojawiają się rnież wszystkie cztery operacje arytmetyczne

(dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), termin ganita oznaczający „naukę o liczeniu”, a także system notacji liczb przy pomocy odpowiednik cyfr od 1 do 9. Indyjski system liczbowy rozwinął się prawdopodobnie pod wpływem chińskich pałeczek do

liczenia (układanych w systemie dziesiętnym) oraz pod wpływem pozycyjnego systemu Mezopotamii.

Chiny

(Kultura Erlitou (dynastia Xia?) ok. 2000 p. n. e. - ok. 1500 p. n. e., dynastia Shang ok. 1800 p. n. e. - ok. 1200 p. n. e.,

dynastia Zhou ok. 1200 p. n. e. - 256 p. n. e., Cesarstwo Chińskie 256 p. n. e. - 1911 n. e.)

Początki historii chińskiej matematyki sięgają okresu okresu ok. 1400 lat p. n. e. Odkryto dużą liczbę pochodzących z tego okresu żłiowych skorup oraz kości osł pokrytych pismem, tzw. Jiaguwen, służącym do zapisywania przepowiedni i rytuał. Pismo to zawiera dobrze rozwinięty system liczbowy, zbliżony do dziesiętnego. Ponieważ jednak nie jest obecne w nim cyfra zero (lub rodzaj pustego miejsca), nie jest to prawdziwy system dziesiętny.

Około IV wieku p. n. e. do powszechnego użycia w Chinach weszły pałeczki do liczenia, oparte na zbliżonym do dziesiętnego zapisie (według oznaczeń zawartych w poniższej tabelce, przy czym znaki z dolnego wiersza występowały na pozycjach parzystych, zaś znaki z gnego - na nieparzystych). Wtedy rnież pojawia się idea cyfry zero, pod postacią pustego pola

Wielką lukę w naszej wiedzy o starożytnych Chinach, a więc także o chińskiej matematyce tego czasu, spowodowało spalenie wszystkich książek w Chinach z rozkazu cesarza Shin Huang Ti w 213 r. p. n. e. Wskutek tego najstarszym posiadanym przez nas chińskim tekstem matematycznym jest, znaleziona niedaleko Jiangling, zapisana na paskach z bambusa Suan shu shū („Książka o liczeniu”) z około 180 r. p. n. e., zawierająca między innymi przybliżone metody obliczania ułamk, pierwiastk kwadratowych, oraz p prostych figur. W Suan shu shū korzysta się z założenia π = 3. Najstarszy kompletny tekst, Zhoubi

suanjing, pochodzi z okresu między 100 r. p. n. e. a 100 r. n. e. Zawiera on tzw. zasadę Gougu, czyli twierdzenie Pitagorasa, oraz obliczenia z ułamkami o wspnych mianownikach.

XIII wiek (czyli okres podboju Chin przez Czyngis-chana!) jest szczytowym okresem rozwoju chińskiej matematyki. W tym wieku mamy do czynienia z co najmniej ośmioma ważnymi autorami oraz z przeszło piętnastoma ważnymi tekstami matematycznymi. Prawdopodobnie najsłynniejszą postacią z tego okresu jest Qin Jiushao (1202-1261), autor książki Shushu jiuzhang, czyli „Traktatu matematycznego w dziewięciu częściach”, w ktym zajmuje się on kalendarzem, chińskim problem reszty, obliczaniem p figur, badaniem trkąt prostokątnych i dużą liczbą matematycznych, niejednokrotnie wysoce skomplikowanych, problem życia praktycznego.

Grecja

(Okres starożytny od ok. 1000 p. n. e. do 323 p. n. e., okres hellenistyczny 323 p. n. e. - 146 p. n. e., okres rzymski 146

p. n. e. - 330 n. e., pismo greckie od ok. 800 p. n. e.)

Liczba w Starożytności jako wielkość

Gdy w kręgu pitagorejczyk zaświtała około 540 roku myśl, iż liczba jest istotą wszechrzeczy, nie oznaczało to „kroku naprz w rozwoju matematyki”, lecz narodziny z głębi starożytnej duchowości całkiem nowej matematyki jako samowiednej teorii, przezierającej już od dawna spoza metafizycznych dociekań i artystycznych tendencji formalnych. Była to nowa matematyka, tak jak zrodzona niegdyś w wielkiej godzinie dziejowej, a wtedy od dawna wygasła matematyka (nigdy nie spisana) kultury egipskiej oraz algebraiczno-astronomiczna matematyka (z jej ekliptycznymi układami wspłzędnych) kultury babilońskiej.

Owa sentencja, podług ktej liczba stanowi istotę wszystkich zmysłowo uchwytnych rzeczy, pozostała najcenniejszą tezą matematyki starożytnej. Wraz z nią zdefiniowano liczbę jako

miarę. Mierzenie w tym sensie oznacza mierzenie czegoś bliskiego i cielesnego. Przywołajmy na myśl kwintesencję antycznego dzieła sztuki: wolno stojący posąg nagiego człowieka. Pitagorejskie pojęcie harmonii liczb, choć wywiedzione prawdopodobnie z muzyki, kta nie znała polifonii i harmonii, i przez odpowiednie formowanie swych instrument dążyła do ideału odrębnych, miękko zaokrąglonych, prawie cielesnych ton, wydaje się służyć tej rzeźbie za matrycę. Obrabiany kamień jest tylko o tyle „czymś”, o ile posiada wyważone granice i odmierzoną formę — jako to, czym się stał pod dłutem artysty. W oderwaniu od tego jest chaosem, czymś jeszcze nie urzeczywistnionym, a więc tymczasem niczym. To uczucie, już w szerszych kategoriach znaczeniowych, stwarza jako przeciwieństwo do stanu chaosu wyobrażenie kosmosu, będącego dla duszy antycznej wyklarowaną sytuacją w świecie zewnętrznym, harmonijnym porządkiem wszystkich ściśle odgraniczonych i namacalnie obecnych rzeczy jednostkowo-konkretnych. Suma tych rzeczy jest już całym światem; odstęp między nimi, nasza przepojona całym patosem wielkiego symbolu przestrzeń kosmiczna, jest niebytem, τό μή όν. Patrząc wstecz z tego punktu widzenia, odszyfrujemy być może najgłębsze pojęcie antycznej metafizyki, άπειρον Anaksymandra, termin nieprzetłumaczalny na żaden język zachodni — άπειρον jest tym, co nie posiada żadnej „liczby” w sensie pitagorejskim, żadnej mierzalnej wielkości i granicy, a zatem żadnego bytu określonego; jest to bezmiar, bezkształt, posąg jeszcze nie wykuty z kamiennego bloku. Jest to άρχή, optyczna bezgraniczność i bezforemność, kta dopiero dzięki granicom, dzięki zmysłowej indywiduacji staje się „czymś” — światem. Zasada owa jest tym, co tkwi u podstaw starożytnego poznania jako forma a priori, cielesność sama w sobie; w

kantowskim obrazie świata pojawia się odpowiednio zamiast niej przestrzeń, z ktej Kant mł

jakoby sobie „odmyślić wszystkie rzeczy”. Cała antyczna matematyka jest w ostatniej instancji

stereometrią. Dla Euklidesa, kty ostatecznie ją usystematyzował w III wieku p. n. e., trkąt

jest z najgłębszą koniecznością powierzchnią graniczną jakiegoś ciała, nigdy zaś systemem trzech

przecinających się linii prostych lub zgrupowaniem trzech punkt w trwymiarowej przestrzeni.

Określa on linię jako „długość bez szerokości” (μηκος άπλατές). W naszych ustach definicja ta brzmiałaby żałośnie, w matematyce starożytnej zaś jest znakomita. Liczby należą wyłącznie do sfery rozciągłości. Ale istnieje tyle możliwości, a więc i konieczności uporządkowanej prezentacji tego, co rozciągłe, ile mamy kultur. Liczba antyczna nie jest myślowym wyobrażeniem przestrzennych relacji, lecz uchwytnych dla cielesnego oka odgraniczonych jednostek. Starożytność zna przeto — w spos konieczny — tylko liczby „naturalne” (dodatnie, całkowite), kte wśr wielu nader abstrakcyjnych rodzaj liczb matematyki zachodniej, system liczb zespolonych, hiperzespolonych, niearchimedesowych etc., odgrywają całkiem nieznaczną rolę.

Dlatego właśnie wyobrażenie liczb niewymiernych, a więc w naszym zapisie nieskończonych ułamk dziesiętnych, pozostało nieosiągalne dla greckiego umysłu. Euklides mi — i należałoby go lepiej rozumieć — że niewspłierne odcinki „mają się do siebie nie tak, jak liczby”. W zrealizowanym pojęciu liczby niewymiernej kryje się w istocie całkowite oddzielenie pojęcia liczby od pojęcia wielkości, i to dlatego, że liczby takiej, na przykład n, nigdy nie można odgraniczyć ani ściśle przedstawić przez jakiś odcinek. Wynika stąd jednak, iż w wyobrażeniu choćby stosunku boku kwadratu do przekątnej liczba antyczna — będąca na

wskroś zmysłową granicą, zamkniętą wielkością — natyka się nagle na całkiem inny rodzaj

Duchowość starożytna odczuwała zasadę niewymierności, burzącą posągowy szereg liczb całkowitych [naturalnych], reprezentant doskonałego w sobie porządku świata, jako występek przeciw samej Boskości. Uczucie to jest widoczne u Platona, w dialogu Timajos. Wraz z przemianą nieciągłego szeregu liczbowego [charakterystycznego dla Starożytnej Grecji] w [zachodnioeuropejską nowoczesną ideę] kontinuum zakwestionowaniu ulega nie tylko antyczne pojęcie liczby, lecz i samo pojęcie antycznego świata. Rozumie się teraz, iż w starożytnej matematyce nie są nawet możliwe liczby ujemne, wyobrażalne dla nas bez żadnego

trudu, a tym bardziej zero jako liczba — spekulatywny tw godnej podziwu energii abstrahowania, kty dla duszy indyjskiej (ona właśnie wykoncypowała go jako podstawę pozycyjnych układ numeracyjnych) stanowi wręcz klucz do sensu bytu. Wszystko zrodzone z rozbudzonej w antyku świadomości zostało więc podniesione do rangi czegoś rzeczywistego wyłącznie dzięki rzeźbiarskiemu poczuciu ograniczoności. To, czego nie spos nakreślić, nie jest „liczbą”. Platon, Archytas i Eudoksos mią o liczbach powierzchniowych (kwadratowych)

i cielesnych (stereometrycznych), mając przy tym na myśli nasze podnoszenie do drugiej i trzeciej potęgi; rozumie się samo przez się, że nie istniało dla nich pojęcie wyższych potęg o wykładnikach całkowitych. Potęga czwartego stopnia byłaby w świetle fundamentalnego poczucia rzeźbiarskiego, kte podstawia od razu pod to wyrażenie czterowymiarową, i to materialną rozciągłość, niedorzecznością. Wyrażenie w rodzaju e-ix, kte ciągle pojawia się w naszych formułach, czy nawet użyte już w XIV wieku przez Mikołaja Oresme oznaczenie

51/2, wydawałyby się im zupełnie absurdalne. Euklides

Właściwa historia matematyki greckiej rozpoczyna się wraz z Talesem i Pitagorasem, ktzy twczo zaadaptowali i przekształcili wiedzę egipskiej i babilońskiej matematyki.

Tales (ok. 624 - ok. 546) pochodził z Miletu, będącego w tym czasie ważnym ośrodkiem handlowym. Prawdopodobnie podrżwał on w związku ze sprawami handlowymi do Egiptu, gdzie zapoznał się z geometrią egipską, oraz na Bliski Wsch, gdzie zapoznał się z astronomią babilońską (w tym czasie przeżywała ona okres ponownego rozkwitu). Talesowi przypisywane jest sformułowanie pięciu twierdzeń Euklidesa16, oraz stosowanie ich do

rozwiązywania praktycznych problem, takich jak obliczanie wysokości piramid oraz odległości statk od brzegu. Tales nie formułował dowod swoich twierdzeń, lecz pokazywał, że w wielu przypadkach dane twierdzenie jest prawdziwe. Zapoczątkowało to rozw greckiej nauki, zarno przyrodniczej, jak i matematycznej, początkowo w ramach tzw. szkoły milezyjskiej, do ktej należeli między innymi Anaksymander i Anaksymenes. Połączenie ognej wiedzy z praktycznym myśleniem było prawdopodobnie cechą charakterystyczną Talesa. Jak opisuje Diogenes Laertios, Tales przewidział obfite zbiory oliwek i w związku z tym wydzierżawił wszystkie tłocznie oliwy znajdujące się w okolicach Miletu, dzięki czemu mł określać ceny w czasie urodzaju, dużo zarabiając na swoim monopolu.

Najsławniejsze dokonanie Talesa jestjednak związane z astronomią - otż przewidział on poprawnie pełne zaćmienie Słońca w 585 r. p. n. e. Niestety nie wiemy w jaki spos udało mu się to zrobić, świadczy to jednak z pewnością o jego głębokiej wiedzy matematycznej i astronomicznej.

Pitagoras (ok. 582 - ok. 507) rnież zdobył swoją wiedzę dzięki podrżm. Podrżwał on między innymi do Egiptu, ucząc się matematyki, geometrii i astronomii od egipskich kapłan. Po powrocie do Grecji założył on hermetyczną sektę pitagorejczyk, zajmującą się w takim samym stopniu liczbami co mistyką. Pitagorejczycy, kty za sw symbol przyjęli pentagram, prowadzili życie w dość rygorystycznej wspnocie. Wierzyli oni że wszystko w świecie pozostaje w bezpośrednim związku z matematyką, gdyż liczby są faktyczną istotą świata. Byli przekonani, że matematyczny opis przy pomocy cykli, harmonii i proporcji umożliwia pełne wyrażenie świata. To właśnie od Pitagorasa wywodzi się tak charakterystyczne dla starożytnej kultury greckiej, rozumienie liczby jako proporcji pomiędzy obiektami geometrycznymi.

Jemu także przypisywane jest pitagorejskie zdanie: liczba jest istotą wszystkich rzeczy. W odrżieniu od Talesa, ktego dzieł nie posiadamy raczej dlatego, że nie przetrwały, niż dlatego, że nic po sobie nie pozostawił, Pitagoras po prostu nic nie napisał. Cała wiedza pitagorejczyk była przekazywana drogą ustną, a jej upowszechnienie nastąpiło dopiero wraz z rozpadem ich wspnoty około 450 r. p. n. e. Trudno rnież określić, ile wiedzy pitagorejskiej było dziełem samego Pitagorasa, a ile było dziełem jego uczni, gdyż pitagorejczycy wszystkie swoje odkrycia przypisywali mistrzowi.

Oprz autorstwa twierdzenia Pitagorasa a2 + b2 = c2, przypisywano mu rnież rozpoznanie, że gwiazda wieczorna i gwiazda poranna jest tą samą planetą (Wenus). Co ciekawe, pitagorejczycy odkryli liczby niewymierne, lecz ze względu na sw światopogląd nie traktowali ich jako liczby. Według legendy zaszła następująca historia: Pewnego razu kilkoro pitagorejczyk wyprawiło się w podrż morską. W trakcie podrż jeden z nich odkrył, że wynik jego obliczeń nie jest liczbą wymierną. Pozostali pitagorejczycy uświadomili sobie wagę tego odkrycia i - nie chcąc dopuścić, aby inni ludzie dowiedzieli się o tym przerażającym fakcie - zamordowali feralnego odkrywcę, wrzucając go do morza. Jeśli nawet legenda ta nie jest prawdziwa, to świadczy o wadze, jaką do liczb przypisywali pitagorejczycy!

W V w. p. n. e. grecka matematyka zaczęła się bujnie rozwijać, stając się jednym z podstawowych zajęć greckich elit intelektualnych. Świadczy o tym fakt, że Platon zakładając Akademię ok. 387 r. p. n. e. umieścił na jej wejściu napis „Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii”. Grecka geometria w dojrzałej postaci została wyłożona przez Euklidesa (ok. 365 - ok. 300), jednego z pierwszych nauczycieli słynnej Szkoły Aleksandryjskiej. Euklides był autorem wielu prac syntetyzujących całe dziedziny wiedzy, między innymi z geometrii, optyki, astronomii oraz muzyki, jednak do historii przeszedł przede wszystkim jako autor dzieła Stoicheia geometrias („Elementy geometrii”), w ktym podał systematyczny wykład

całości czesnej wiedzy matematycznej. Jego spos przestawienia jest wybitnie aksjomatyczny i dedukcyjny. Elementy Euklidesa wywarły ogromny wpływ na pźiejszą matematykę europejską. Dzieło to stanowiło kanon nauczania geometrii w Europie przez następne 2000 lat. Spos wykładu Euklidesa opiera się na metodach logiki Arystotelesa, kty miał wielki wkład w rozw precyzyjnego (a więc też i matematycznego) myślenia. Prawdopodobnie największym greckim matematykiem był Archimedes (ok. 287 - ok. 212). Szeroko znana jest anegdota o tym, jak Archimedes rozmyślał w wannie nad problemem określenia ilości złota w koronie kra Syrakuz. Gdy wreszcie wymyślił spos (oparty na zasadzie zwanej dziś prawem Archimedesa), wyskoczył z wanny, i rzucił się nago w bieg przez miasto krzycząc „Eureka! Eureka!” („Znalazłem!”). Z pewnością nie jest to jednak jego największe dokonani.! Archimedes studiował w Aleksandrii, gdzie nawiązał kontakty z uczniami Euklidesa, z ktymi zresztą przez całe życie prowadził korespondencję.

Mistrzowsko opanował obliczanie p i objętości rozmaitych, częstokroć skomplikowanych, figur geometrycznych, posługując się metodą wyczerpywania, ktą zresztą twczo rozwinął. Metoda wyczerpywania w zastosowaniu do obliczania pola koła polegała na policzeniu p powierzchni dwh wielokąt foremnych - jednego wpisanego na kole, a drugiego opisanego na nim (tak jak na obrazku poniżej). Stosując tę metodę w przypadku 96-kąta foremnego, Archimedes obliczył że 3 + 1/7 > π > 3 + 10/71 (zazwyczaj Grecy używali mniej dokładnej wartości π rnej √10 lub 22/7), a także wykazał (w słynnej pracy O kuli i walcu), że stosunek objętości kuli do objętości opisanego na niej walca wynosi 2:3, co zresztą uznawał za swoje największe odkrycie (Cyceron pisze że w 75 r. p. n. e. widział jeszcze gr Archimedesa na ktym znajdował się rysunek walca opisanego na kuli)17. Oprz geometrii Archimedes zajmował się rnież wielkimi liczbami. W dziele Psammites („O liczeniu ziaren piasku”) oblicza ile piasku zmieści się w całym wszechświecie. Do tego celu tworzy on nowy system liczbowy, kty za podstawę bierze największą liczbę nazywalną w starożytnej grece - myriadę. Korzystając po drodze ze stwierdzenia że 10a106=10a+6, oraz oszacowań opartych na heliocentrycznym [!] systemie Arystarcha, Archimedes określa liczbę ziaren piasku

kta wypełni cały świat na 8*1063, przy okazji wspominając rnież o ogromnej liczbie 108∗1016 . Wśr wspłzesnych sobie wsławił się on jednak nie tyle takimi igraszkami umysłu, co konstrukcją wielu pomysłowych mechanizm (między innymi śruby Archimedesa), oraz obroną Syrakuz przed Rzymianami. Plutarch opisuje jak dzięki zaprojektowanym przez niego wysuwanym ramionom (żurawiom) obrońcy byli w stanie zatapiać statki na morzu, zaś dzięki katapultom zarzucali wojska lądowe głazami i ołowiem. Prz tego ponoć zaprojektował on układ luster, kty umożliwiał skupianie promieni słonecznych na wrogich okrętach, a w konsekwencji wywoływanie pożaru lub oślepianie. W roku 212 p. n. e., po dwh latach oblężenia, Rzymianie zdobyli Syrakuzy. Archimedes był ponoć tak pochłonięty rozważaniem jakiegoś problemu, rysując w tym czasie koła na piasku, że nie zauważył zdobycia miasta. Kiedy rzymski żołnierz zbliżył się do niego, Archimedes nieuważnie nie odpowiedział na pytanie kim jest, prosząc jedynie o to, by nie niszczyć jego rysunku kł (gr. μή μου τούς κύκλους τάραττε, łac. noli turbare circulos meos), co tak rozzłościło żołnierza, że  w przypływie wściekłości zabił wielkiego uczonego18. Wraz ze śmiercią Archimedesa rozpoczął się okres powolnego upadku greckiej matematyki. Pragmatyczni Rzymianie nie byli zainteresowani abstrakcyjnymi spekulacjami Grek, mimo że korzystali z ich technicznych osiągnięć.

W okresie hellenistycznym i rzymskim na uwagę zasługują astronomowie Hipparch (190-120 p. n. e.) i Ptolemeusz (90-168 n. e.). Mają oni na swoim koncie pokaźny dorobek astronomiczny, zarno jeśli chodzi o pomiary, jak i o teorię. Z perspektywy historii matematyki szczegnie ważne jest stworzenie przez Hipparcha, i pźiejsze rozwinięcie przez Ptolemeusza, tablicy cięciw okręgu (na obrazku przykładowa cięciwa jest odcinkiem XB). Tablice te są rnoważne tablicy funkcji trygonometrycznej sinus, stąd też Hipparcha i

Ptolemeusza uznaje się za prekursor trygonometrii (rozwiniętej jednak przede wszystkim w Indiach), podobnie jak Archimedesa uważa się za prekursora rachunku rżiczkowego i

całkowego. Ptolemeusz otrzymał także wartość liczby π = 3.1416, czyli taką samą jak Aryabhata w Indiach 300 lat wcześniej. Ostatnim ważnym greckim matematykiem był żyjący w III w. n. e. Diofantos. Jego dzieło Arithmētika stanowiło podsumowanie dokonań matematycznych szkoły neopitagorejskiej, rozwijającej się od I w. n. e. W odrżieniu od reszty matematyki greckiej, dzieło Diofantosa jest nie geometryczne, lecz arytmetyczno-algebraiczne. Diofantos traktuje ułamki tak samo jak inne liczby, wprowadza liczby ujemne, rozwiązuje rnania trzeciego stopnia, oraz wprowadza zapis symboliczny (algebraiczny) rnań. Te dokonania powodują że często nazywa się go „ojcem algebry”. W tym sensie można uznać go nie tyle za ostatniego wybitnego matematyka śrziemnomorskiej starożytności, co za pierwszego wybitnego matematyka powstającej dopiero nowej formacji kulturowej.

W roku 529 cesarz Justynian I wydał kodeks praw zawierający paragraf „O złoczyńcach, matematykach i tym podobnych osobnikach”, głoszący między innymi że „potępienia godna sztuka matematyczna jest zakazana przede wszystkim”. Tego samego roku zlikwidowano rnież platońską Akademię. Do problem studiowanych przez Grek powrono w Europie dopiero w pźym średniowieczu oraz w czasach Renesansu. Klasyczne greckie problemy kwadratury koła wraz z metodami wyczerpywania podległy dalszym badaniom dopiero w renesansowej Europie, prowadząc między innymi do stworzenia rachunku rżiczkowego i całkowego. Co ciekawe, dopiero w XIX wieku Pierre Wantzel i Ferdinand Lindemann udowodnili że nie da się skonstruować trysekcji kąta ani kwadratury koła. Wiele wiek trwała rnież dyskusja nad aksjomatami Element Euklidesa. Dopiero w wieku XIX Nikołaj Łobaczewski i J疣os Bolyai wykazali że V aksjomat jest niezależny od pozostałych, konstruując geometrie nie spełniające tego warunku.

Narodziny i rozw arabskiej matematyki19 zbiegają się w czasie ze „złotym wiekiem” islamskiego imperium pod panowaniem dynastii Abbasyd, ktzy przejęli władzę w roku 750, przenosząc jednocześnie stolicę z Damaszku do Bagdadu. Począwszy od panowania kalifa Haruna al-Rashida, kty objął władzę w roku 786, rozpoczął się okres mecenatu i bujnego rozwoju islamskiej kultury. Harun al-Rashid i jego syn al-Ma'munbardzo wspierali rozw kultury, badania muzułmańskich uczonych, a także tłumaczenia obcych tekst na

język arabski. Szczegnie ważną rolę w arabskiej matematyce odegrały dokonane w tym czasie tłumaczenia Element Euklidesa (geometria), Āryabhatīyi Aryabhaty (trygonometria), oraz Brahmasphutasiddhanty Brahmagupty (arytmetyka). Nieco pźiej przetłumaczono rnież inne dzieła Euklidesa, a także Archimedesa, Ptolemeusza, Diofantosa i innych autor grackich, jak rnież prawdopodobnie niektych innych autor indyjskich. Na bazie tych tłumaczeń bardzo szybko rozwinęła się oryginalna arabska myśl matematyczna, korzystająca wprawdzie z dokonań poprzednik, lecz posiadająca unikalny charakter.

Najsłynniejszym matematykiem arabskim jest, uznawany za jednego z największych matematyk wszechczas, Abu Ja'far Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (ok. 780-850), zwany rnież al- Chuwarizmim. Był on matematykiem, astronomem, astrologiem i geografem. Stał się prekursorem kilku dyscyplin matematycznych, oraz wpłynął na wspłzesną myśl matematyczną najmocniej ze wszystkich średniowiecznych matematyk. W swoim najważniejszym dziele al-Kitāb al-Maqala fī Hīsāb al-Jabr waal- Muqābala („Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrnywanie”) podał systematyczny wykład

ognych metod rozwiązywania wszystkich możliwych rnań kwadratowych. Tekst ten jest bardzo często uznawany za pierwsze dzieło o algebrze20, najbardziej charakterystycznej dziedziny arabskiej matematyki i jednej z najważniejszych dziedzin wspłzesnej matematyki. Dzieło Al-Chuwarizmiego stało się podstawą zastosowania arytmetyki do geometrii w oparciu o metody algebraiczne. Al-Chuwarizmi dokonał twczej syntezy wiedzy greckiej i indyjskiej, wprowadzając nowe, algebraiczne podejście. Rozwinął on działania w indyjskim systemie dziesiętnym, korzystając z zera, ułamk i innych procedur arytmetycznych i zastosował je do problem algebraicznych, arytmetycznych i geometrycznych

Pźiejsze łacińskie tłumaczenie dzieła Al-Chuwarizmiego pod nazwą Liber algebra et almucabala stałosię źrłem nazwy „algebra”, zaś imię autora stało się źrłem nazwy „algorytm”, oznaczającej skończony i uporządkowany zbi dobrze określonych działań, kte są konieczne do wykonania danego zadania.

Matematyka europejska

(XIII-XXI w.)

Liczba jako funkcja na Zachodzie

Decydujący wyczyn Kartezjusza, ktego geometria ukazała się w 1637 roku, polegał nie na

wprowadzeniu nowej metody czy punktu widzenia w dziedzinie tradycyjnej geometrii — jak wielokrotnie się stwierdza — lecz na stworzeniu ostatecznej koncepcji nowej idei liczb, kta

wyraziła się w ogności w oderwaniu geometrii od optycznie uchwytywalnych konstrukcji, od mierzonych i mierzalnych odcink. Analiza nieskończoności stała się eo ipso faktem. Zamiast zmysłowego elementu konkretnego odcinka i powierzchni — specyficznego wyrazu antycznego poczucia granic — pojawia się abstrakcyjno-przestrzenny, a więc nieantyczny element punktu, kty odtąd jest charakteryzowany jako grupa przyporządkowanych czystych liczb. Kartezjusz zniszczył przekazane przez tradycję arabską i teksty starożytne pojęcie wielkości, zmysłowego wymiaru, zastępując je zmienną wartością relacji między usytuowaniami w przestrzeni. Nie dostrzega się jednak, że oznaczało to w ogności eliminację geometrii, kta odtąd w obrębie liczbowego świata analizy wiedzie pozorne tylko — spowite w antyczne reminiscencje — istnienie. Termin „geometria” ma niezbywalny, nie dający się zreinterpretować sens apolliński. Od czas Kartezjusza ta rzekomo „młodsza geometria” jest albo czynnością syntetyczną, kta określa położenie punkt w niekoniecznie już trwymiarowej przestrzeni („rozmaitości punktowej”)22 za pomocą liczb, albo też

analityczną, określającą liczby przez położenie punkt. To zastępowanie odcink położeniami oznacza jednak czysto przestrzenne, już nie cielesne pojmowanie rozciągłości.

1. matematyka i astronomia

Stworzenie podwalin matematyki między innymi przez wprowadzenie metod metody dedukcyjnej i dowodzeń twierdzeń. Początkowo duża przewaga geometrii. Prowadzono obserwacje astronomiczne - rok ma 365 dni podzielono go na 12 miesięcy a każdy na 30 dni (Egipcjanie). Podział doby na 24 godziny na 60 minut; rozpoznanie zaćmienia słońca i księżyca (Mezopotamia). Obliczanie powierzchni i obwodu koła trójkąta prostokąta. Znane postacie z tej dziedziny to:

A. Pitagoras z Samos, który żył 570-496 p.n.e. grecki matematyk i filozof, przypisuje mu się między innymi stworzenie początków teorii liczb sformułowanie tak zwanego twierdzenia Pitagorasa oraz stworzenie kierunku filozofii zwanego pitagoreizmem.

B. Euklides żył 365-300 p.n.e., grecki matematyk i fizyk, pracował i uczył w Aleksandrii, autor słynnych Elementów, w których usystematyzował całość ówczesnej wiedzy matematyki w postaci aksjomatycznego wykładu, dzieło to prawie przez 2 tysiące lat było wzorem ścisłości w matematyce napisał również traktat z astronomii, muzyki, pedagogiki i optyki.

C. Archimedes żył 287-212 p.n.e. najwybitniejszy fizyk, matematyk i wynalazca ze starożytności, twórca statystyki i hydrostatyki, prekursor rachunku nieskończoności owego podał oszacowanie liczby.

D. Diofantos żył w III w. n.e., matematyk grecki w średniowieczu nazywany ojcem algebry. Zajmował się równaniami algebrycznymi i arytmetyką.

3. Filozofia

A. Tales z Miletu (ok. 620-540) Grecki filozof i matematyk, twórca jońskiej filozofii przyrody, za prapierwiastek rzeczywistości uważał wodę sformułował w geometrii tzw. twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa - jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kata, to wyznaczone przez nie odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te same proste na drugim ramieniu prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

B. Pitagoras z Samos, który żył 570-496 p.n.e. grecki matematyk i filozof, przypisuje mu się między innymi stworzenie początków teorii liczb sformułowanie tak zwanego twierdzenia Pitagorasa oraz stworzenie kierunku filozofii zwanego pitagoreizmem.

C. Sokrates - (469-399 p.n.e. ). Filozof grecki nauczyciel Platona głosił absolutyzm i intelektualizm etyczny (ułożył dobro, szczęście, cnotę z prawdą) przeciwnik ustroju demokratycznego pogląd Sokratesa. Znane z dialogów Platona.

D. Platon (ok. 427-347 p.n.e.). Filozof grecki twórca pierwszego systemu idealizmu obiektywnego zwanego platonizmem wg. Platona świat rzeczywisty stanowi niedoskonałe odbicie istniejącego realnie świata doskonałych idei prototypów rzeczy poznanie jest przypomnieniem sobie przez dusze wrodzonej wiedzy o ideach rzecznik arystokratycznej formy rządów.

E. Arystoteles (384-322 p.n.e.). Filozof grecki najwszechstronniejszy uczony starożytny; obejmował wszystkie niemal dziedziny ówczesnej wiedzy a zwłaszcza filozofię, logikę, biologię, psychologię i politykę.

F. Zenon z Kation (336-264 p.n.e.) filozof grecki założył szkoły stoicyzmu

G. Epikur (341-270 p.n.e.) filozof grecki przedstawiciel starożytnego materializmu kontynuator atomistyki Demokryta; stworzył system filozofii zwanej epikureizmem założył filozoficzną szkołę epikurejczyków zajmował się głównie etyką.

H. Plotyn (204-269) filozof grecki. Twórca neoplatonizmu; łącząc platonizm z elementami filozofii hellenistycznej stworzył system panteistyczny oparty na teorii emanacji.

I. Seneka (4 p.n.e. - 65 n.e.) rzymski poeta, filozof i retor, wychowawca Nerona; między innymi filozoficzne rozmowy w duchu późnego stoicyzmu prace przyrodniczo-geograficzne o zjawiskach natury „Listy moralne, satyry, 9 niescenicznych tragedii opartych na wzorach greckich.”

---