ODPOWIEDZI DO ZADAŃ

LISTA 1

Szacowanie rzędu wielkości: z dokładnością do czynnika 10.

Cel: m.in. odrzucenie błędnych rozwiązań, szybkość („rachunki na odwrocie koperty”), pomocne (np. w oszacowaniu wartości koszyka w hipermarkecie etc.)

W poniższych odpowiedziach przyjęto czasem subiektywne założenia; istotna jest tylko skala wielkości.

Zad.1 (ludzkie serce)

1 rok ≈ 3•10⁷ s = 30 milionów uderzeń; 70 lat ≈ 2•10⁹ uderzeń; 1 500 000 litrów na rok (1500 m³) ; 4000 litrów na dobę.

Zad.2 (liczba oddechów)

≈ 3•10⁸ oddechów w czasie 70 lat (oddech co 6s); 150 000 m³

Zad.3 (miliarder)

≈ 30 lat

Zad.4 (monety na ziemi)

rzędowo 10⁷ PLN na głowę

Zad.5 (monety do Księżyca)

zakładając: 1 moneta - 1 mm: 4•10¹¹ monet (400 miliardów PLN)

Zad.6 (kroki)

zakładając 5 km dziennie (!): rzędowo 10⁵ km w czasie 70 lat

Zad.7 (pokarm)

zakładając 1 kg pożywienia dziennie (!): rzędowo 3•10⁴ kg w czasie 70 lat

Zad.8 (ziarna ryżu)

rzędowo 2•10⁵ ziarenek 1 dcm³ (1 ziarenko/5 mm³)

Zad.9 (grubość strony)

pomiar linijką: np. 1.5 cm na 300 stron, czyli 15 mm na 150 kartek, stąd grubość jednej strony 0.1 mm.

Zad.10 (prędkość na Równiku)

40000 km/24 h ≈ 1700 km/h

Zad.11 (opona samochodu)

obwód: ok. 2 m; do pokonania ≈ 10⁸ m, stąd rzędowo opona obróci się 50•10⁶ razy

Zad.12 (odległość do horyzontu)

, ok. 4 km; warto tu wspomnieć o starożytnej metodzie pomiaru promienia Ziemi (np. znikający maszt okrętu na horyzoncie).

*Zad.13 (stroiciele pianin)

Jest to problem w sumie dość ambitny, wymagający rozeznania „społeczno-ekonomicznego” i „życiowego” podejścia (wszystko to siedzi w grubo ciosanych założeniach). Nie mniej warto go chyba nawet zreferować adeptom zarządzania i marketingu. Poniżej podaję tłumaczenie oryginalnego rozwiązania z amerykańskiego podręcznika (co też tłumaczy realia..).

Po pierwsze, szacujemy liczbę pianin w dużym mieście, powiedzmy 1 milionowej metropolii. Zakładamy, że pianino posiada co trzecia rodzina (30% domów). Przeciętna rodzina (kolejne założenie) składa się z 4 osób, zatem 1 pianino będzie przypadać na 12 mieszkańców miasta; rzędowo można przyjąć: 1 pianino na 10-ciu mieszkańców. Ważny jest podkreślenie rzędu wielkości: nie jest to 1 pianino na 100 osób, ani 1 pianino na 1 osobę, ale właśnie 1 pianino na 10 osób. Ostatecznie, wśród 1 miliona ludzi można się spodziewać rzędowo 100 000 pianin.

Dalej, stroiciel pianin potrzebuje ok. 1-2 godzin na nastrojenie pianina, stąd w ciągu jednego dnia pracy (z dojazdami) może nastroić około 4-5 pianin (powiedzmy 4 pianina..).

Dodatkowo zakładamy, że pianino powinno być strojone co jeden rok. Podsumowując: stroiciel pracując 50 tygodni w roku, 5 dni w tygodniu, strojąc 4 pianina na dzień może nastroić rzędowo 1000 pianin na rok.

Wynika z tego, że w 1 milionowym mieście potrzeba około 100 stroicieli (więcej niż 10, mniej niż 1000).

Podobnie można oszacować np. liczbę weterynarzy, stomatologów, mechaników samochodowych etc.

LISTA 2

1. nie można dodawać wielkości o różnych wymiarach; jednostkę prędkości m/s; jednostka siły w układzie SI.

2. 0.27(7)

3. m/s²

4. a) niepoprawne; b)-c) poprawne

5. c - dowolne; b=-c i d=b

6. n,j dowolne, [k]=m^n-j-1s^1+2j

7. 9000 m/mrugniecie; 9000m

Dlaczego w rejonach polarnych występują tylko duże zwierzęta (niedźwiedzie, foki, pingwiny)?

Małe zwierzęta stałocieplne tracą ciepło szybciej (w stosunku do swoich rozmiarów) niż duże, stąd muszą „przerabiać” pożywienie szybciej:

(ciepło tracone) /(ciepło zawarte w ciele)
, gdzie R- charakterystyczny wymiar liniowy.

Jak wyjaśnić wielką „siłę” mrówki (i innych owadów) w porównaniu do siły człowieka?

Siła „mięśni” rośnie z ich przekrojem (kwadratem wymiaru liniowego), ciężar natomiast z objętością (z trzecią potęgą wymiaru liniowego). Dla owadów taki stosunek (siła mięśni/waga ciała) jest wyjątkowo duży. Nie można jednak mówić o żadnej magicznej sile owadów (efekt skali).

LISTA 3

1. przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, pęd.

2. punkt początkowy
   , punkt końcowy
   , przemieszczenie
   , droga
   .

3. a=(25/3,5/6,20/3), b=(8/3,-11/6,-5/3).

4. a) A=7.07, B=7.35; b) -40 c) (18,-26,-10) d) 93.45 stopnia.

5. 45 stopni.

6. wektory (2,-3,4) i (4,3,-2) musiałyby być prostopadłe, a nie są gdyż ich iloczyn skalarny jest różny od zera.

7. 25 m/s (w kierunku przeciwnym).

8. 50s, 150m.

9. 12 dni.

10. 36s.

11. 3km/h.

LISTA 4

1. 82m, 19m/s

2. 0.55s

3. 3.33 m/s

4. t-czas reakcji, a-przyśpieszenie, s-droga hamowania, v-prędkość początkowa.

5. 
   ,
   ,
   

6. 
   ,
   

7. 
   - z tych równań wyznaczamy czas , a potem drogę.

8. trzeba wyznaczyć prędkość spadku z wysokość h=2.45m ,
   

9. należy przyjąć, ze przyspieszenie z jakim poruszają się krople po dachu jest rzutem przyśpieszenie ziemskiego na kierunek dachu; im większe nachylenie dachu tym większe przyspieszenie, ale i droga do pokonania; trzeba wyznaczyć nachylenie optymalne (minimalny czas);
   ,
   ,
   ; l- długość podstawy,
   - kat nachylenia dachu do poziomu,
   ; odpowiedź: 45 stopni.

10. czas spadania:
    , zasięg (odległość do p. A):
    , kąt:
    .

11. potrzebna jest wysokość siatki h_s (?). czas ruchu piłki:
    (s - odległość od siatki, v - prędkość początkowa piłki); obniżenie poziomu:
    ; warunek:
    , gdzie h - wysokość początkowa położenia piłki.

12. 
    ,
    

13. 
    

LISTA 5

1. siły ciężkości i reakcji podłoża równoważą się; siły napędowa i oporu (tarcie, opór powietrza) także się równoważą (wypadkowa siła jest zero). Siła napędowa jest większa od siły oporu.

2. siły ciężkości i reakcji podłoża równoważą się; siła tarcia powoduje ruch jednostajnie zmienny (jest stała).

3. ?

4. siły ciężkości i reakcji podłoża, równoważą się.

5. tyle samo.

6. ok. 600N, na księżycu ok. 100N.

7. 
   ,
   

8. przyspieszenie jest stałe,
   

9. 
   ,
   

10. 
    ,
    

11. 
    ,
    

12. wskazówka: równanie ruchu dla każdego z łyżwiarzy osobno; układ trzech równań; należy zsumować równania (pozbywamy się sił wewnętrznych); uwaga: siła tarcia dla każdego łyżwiarza jest inna!

13. wskazówka: równanie ruchu balonu dla ruchu w górę i w dół; z układu równań wyeliminujemy siłę oporu powietrza, która ma taka samą wartość (tylko przeciwny znak).

14. gdyż działa siła nośna związana z przepływem powietrza.

LISTA 6

1. ok. 1173 J (siła wciągająca musi równoważyć siłę tarcia i siłę „spychającą” ciężkości)

2. praca jest równa zmianie energii potencjalnej; energia potencjalna sprężyny
   ; stałą sprężystości k znajdziemy wstawiając
   w zależności
   .

3. nie obowiązuje

4. nie obowiązuje

5. moc:
   , w tym wypadku
   

6. 
   

7. nie obowiązuje

8. trzeba skorzystać z równania:
   , przy czym na początku (h=0)
   

9. całkowita praca siły tarcia (na stoku i na odcinku płaskim) musi być równa początkowej energii potencjalnej:
   , gdzie s-odcinek drogi „po płaskim”,
   ; prędkość po zjechaniu ze stoku znajdziemy z zależności:
   

10. nie obowiązuje

LISTA 7

W zadaniach 1. i 2. należy skorzystać z wzorów na prędkości końcowe w zderzeniu doskonale sprężystym, centralnym (wykład).

3. z zasady zachowania pędu:
znajdziemy v', a następnie

4. z zasady zachowania pędu:
znajdziemy v', a następnie z

znajdziemy h

6. położenie środka masy:
, a zatem zmiany położeń spełniają zależność:

7. jak w zadaniu 6, ale dodatkowo trzeba znaleźć bezwzględną zmianę położenia człowieka w oparciu o

zmianę położenia łodzi i zmianę położenia człowieka względem łodzi.

8.-11. nie obowiązują.

LISTA 8

1. w funkcji opisującej drgania:
   należy wstawić odpowiednie wartości.

2. okres - nie wpłynie, stała sprężystości - nie wpłynie, całkowita energia - zwiększy się czterokrotnie (
   ), prędkość - zwiększy się dwukrotnie, przyspieszenie - zwiększy się dwukrotnie.

3. korzystamy z równania:
   (maksymalne przyspieszenie porównujemy z przyspieszeniem ziemskim).

4. korzystamy z zależności:
   i
   przy czym tutaj F=mg; otrzymamy względne wydłużenie:
   , oraz
   

5. korzystamy z zależności na częstość:
   ; otrzymujemy:
   ,
   

LISTA 9

1. 7.5 g

2. 
   , gdzie
   a liczby moli znajdziemy z zależności:
   

3. 
   , a liczby moli znajdziemy z warunków początkowych, np.
   

4. równanie stanu:
   , należy napisać dla pęcherzyka na dnie i na powierzchni, pamiętając, że ciśnienie na dnie
   , a na powierzchni
   ; w dwóch równaniach będą dwie niewiadome: n i h; należy ponadto zamienić temperatury w skali Celsjusza na skalę Kelvina:
   

5. Praca ta wynosi:
   , przy czym
   ,
   a n znajdziemy z warunków początkowych:
   

6. Tak, ponieważ zmiana energii wewnętrznej jest taka sama w obu przypadkach (suma pracy i ciepła), a praca zależy od kolejności przemian.

7. Zmiana energii wewnętrznej:
   ; dla azotu i tlenu
   

8. 
   , przy czym
   , a
   (
   )

---