DATA WYKONANIA: 10,03,2002 GRUPA: LTS-1

LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ

NUMER ĆWICZENIA: 6 PODGRUPA: 3

ĆWICZENIE NR 6

WYZNACZANIE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI

I ŚRODKA CIĘŻKOŚCI BRYŁ I FIGUR PŁASKICH

SKŁAD PODGRUPY:	OCENY:
1. Kokoszka Piotr 2. Krasuski Andrzej 3. Kaczanowski Michał 4. Dębski Łukasz

SPRAWOZDANIE

1. Cel ćwiczenia.

Celem przeprowadzenia ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie momentów bezwładności brył obrotowych oraz środków ciężkości brył nieregularnych. Momenty bezwładności wyznaczano dwiema metodami (metoda I i II), przy czym metody te sprowadzały się do bezpośredniego pomiaru czasu; natomiast w celu wyznaczenia środków ciężkości kilku brył nieregularnych (metoda III) odczytywano wartości kątów na skali kątowej stanowiska pomiarowego.

2. Wstęp teoretyczny.

Momentem bezwładności ciała materialnego względem dowolnie wybranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów mas elementów, na które podzieliśmy ciało, przez kwadraty odległości tych elementów od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera ich wymiarów.

przy czym : m_i - i-ta masa elementarna,

h_{i -} odległość tej masy od osi,

W granicznym przypadku daje to całkę :

gdzie :
jest gęstością ciała,

a z twierdzenia Pitagorasa h² = x² + y² , czyli:

Rys. 1. Opis położenia elementu o masie m_i

dowolnej bryły

a całki typu

i

nazywamy momentami względem płaszczyzn układu współrzędnych.

Jak widać ze wzorów moment bezwładności ciała materialnego zależy od jego masy czyli jest parametrem masowym .Parametr ten jest wykorzystywany w dynamice ciał materialnych.

Moment bezwładności układu punktów materialnych względem punktu i płaszczyzny wyznaczamy analogicznie tzn. sumujemy iloczyny elementarnych mas przez ich kwadraty odległości od punktu (płaszczyzny), względem którego liczymy moment.

Moment bezwładności, jako suma iloczynów samych dodatnich składników jest wartością dodatnią.

Twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej prostej równy jest sumie momentów bezwładności tego ciała względem prostej równoległej przechodzącej przez środek masy i iloczynu masy tego ciała przez kwadrat odległości między prostymi.

I_{l =} I_{s +} mh²

gdzie: I_s - moment bezwładności ciała względem prostej przechodzącej przez środek masy,

h - odległość między prostymi równoległymi,

Twierdzenie to obowiązuje również dla momentów względem punktu i płaszczyzny

Środek ciężkości bryły sztywnej jest to taki punkt, który ma tę własność, że stale przechodzi przez niego wypadkowa układu sił ciężkości działających na układ punktów materialnych tworzących daną bryłę.

;
;
;

gdzie całki występujące w licznikach nazywamy statycznymi momentami bezwładności.

Odśrodkowy moment bezwładności ciała (moment dewiacyjny) jest liczony względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn i jest granicą sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn.

Przykładowo moment dewiacyjny względem płaszczyzn XY i YZ prostokątnego układu współrzędnych wyraża się wzorem:

Momenty bezwładności figur płaskich są wielkościami geometrycznymi, charakteryzującymi przekroje poprzeczne prętów, wykorzystywanymi w obliczeniach wytrzymałościowych prętów.

Moment bezwładności względem osi jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez odległości tych pól od obranej osi. Wartość tego momentu zależy od kształtu i wymiarów przekroju oraz od położenia osi względem przekroju. W przypadku gdy oś ta jest centralna czyli przechodzi przez środek ciężkości przekroju, moment nazywamy centralnym momentem bezwładności

;
;

gdzie: A - pole powierzchni całkowitej figury,

dA - elementarne pole powierzchni,

y - odległość elementarnego pola od osi X,

I_z - moment bezwładności względem osi X,

Rys. 2.Figura płaska z wyróżnionym

elementem dA.

Odśrodkowy moment bezwładności jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez iloczyn współrzędnych prostokątnych tychże pól (moment ten jest liczony względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi.)

Moment ten, zwany też dewiacyjnym, w zależności od obioru układu osi może być dodatni, ujemny lub zerowy. Ostatni przypadek ma miejsce gdy jedna z obranych osi jest osią symetrii przekroju.

Biegunowy moment bezwładności (względem punktu) jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez odległości tych pól od obranego punktu.

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda I.

W ruchu obrotowym jednostajnym przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε = = = ε₀ = const

po scałkowaniu tego równania względem czasu t znajdujemy prędkość kątową:

ω = = ε₀t + ω₀

z tego wzoru wyznaczamy prędkość początkową ω₀ i przyśpieszenie ε₀ ponieważ znamy prędkości kątowe ω₁, ω₂ odpowiadające znanym chwilom czasowym t₁ i t₂

ω₀ = ε₀ =

ponieważ ω₀ = ω₁ , ω₂ = 0 i t₂ = t_p (czas pomierzony) to przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε₀ = -

Moment hamujący obliczamy ze wzoru:

M = Iε₀ = -I

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda II.

Jeśli tarczę wychylimy z położenia równowagi przez obrót wokół jej osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy, to będzie ona wykonywać drgania obrotowe.

Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi opisujemy równaniem:

K₀ = M₀

gdzie K₀ - oznacza pochodną po czasie wektora krętu.

Rzut wektora krętu na oś Ox określamy K_ox = I_xω_x = I₀ω gdzie I₀ - oznacza moment bezwładności układu względem osi obrotu.

Częstotliwość kątową oraz okres małych drgań tarczy wyliczamy ze wzorów:

ω₀ = T₀ = 2Π

Przekształcają wzór na okres małych drgań wyliczamy moment bezwładności tarczy

I₀ =

Jeśli na tą tarczę położymy bryłę o nieznanym momencie bezwładności I to okres drgań będzie miał postać:

T = 2Π

Wyznaczając doświadczalnie okres drgań tarczy T z bryłą wyliczamy nieznany moment bezwładności bryły ze wzoru:

I = [T²(Q₀+Q)-TQ₀]

Wyznaczanie położenia środków ciężkości brył nieregularnych. Metoda III.

Środek ciężkości bryły wyznaczamy metodą zawieszania bryły na linach.

Aby wyznaczyć środek ciężkości bryły podwieszamy dodatkowy ciężar Q jak to pokazuje rysunek. Zrównania równowagi momentów które ma postać:

Qa - G h sinα = 0

obliczamy odległość h:

h =

odległość ta określa położenie punktu c. Punkt ten jest środkiem ciężkości tej bryły.

Rysunek przedstawiający sposób wyznaczania środka ciężkości.

Rys. 3. Wyznaczanie środka ciężkości.

3. Przebieg ćwiczenia.

METODA I

Schemat stanowiska pomiarowego dla metody pomiaru czasu wybiegu przedstawiono poniżej.

Rys. 4. Stanowisko pomiarowe (metoda I).

1 - rama,

2 - silnik elektryczny,

3, 4 - sprzęgła,

5 - podpora łożyskowa wału,

6 - przesuwna podpora łożyskowa wału,

7 - prądnica tachometryczna,

8 - przedmiot o memencie bezwładności I_I

9 - przedmioty o mementach bezwładności I_II i I_III ,

10 - śruby mocujące podporę 6,

11, 12 - wałki ,

Ćwiczenie rozpoczynamy od założenia na końcówki wałków 11 i 12 przedmiotu 8 po czym zbliżamy maksymalnie podporę 6 w kierunku silnika 2. Następnie włączamy silnik i czekamy, aż osiągnie stałą prędkość kątową obserwując wskazania tachometru. Przy ustalonej liczbie obrotów notujemy prędkość obrotową n₀. Kolejną czynnością jest wyłączenie silnika i jednoczesne włączenie stopera, w momencie kiedy układ przestaje wirować, stoper zatrzymujemy a czas wybiegu t_p zapisujemy.

Dokonujemy pomiaru wymiarów geometrycznych przedmiotu (bryły) , które zapisujemy oraz wartość momentu bezwładności wirnika silnika i sprzęgła I_w.

Metoda ta opiera się na drugim prawie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, które mówi, że ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony) jest skutkiem działania stałego co do wartości niezrównoważonego momentu zgodnie z zależnością :

gdzie: I - moment bezwładności względem osi obrotu ciała ,

ε₀ - przyspieszenie kątowe,

ω₀ - początkowa prędkość kątowa,

t_p - czas po jakim prędkość kątowa osiągnie wartość ω=0,

n - początkowa liczba obrotów układu,

Znak minus oznacza, że analizowany ruch jest ruchem jednostajnie opóźnionym.

Moment hamujący wyznaczono doświadczalnie dla bryły 1, a następnie wykorzystano go do doświadczalnego wyznaczenia momentów brył 2 i 3. W celu wyznaczenia momentu hamującego obliczono analitycznie moment bezwładności bryły 1 i obliczono wartość opóźnienia, wykorzystując średni czas zatrzymania układu.

BRYŁA 1

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 1 podzielono ją myślowo na trzy jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

60 I = I₁ + I₂ - I₃

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 1 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment:

Dane:=21.5 [mm]=0.0215 [m]

=78.6 [mm]=0.0786 [m]

{dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: =3.28 [kg] oraz

Obliczam moment:

Dane:=69 [mm]=0.069 [m]

=30 [mm]=0.03 [m]

Po podstawieniu otrzymuję: =1.53 [kg] oraz

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=90.5 mm]=0.0905 [m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.22 [kg] oraz

Moment bezwładności bryły 1 wynosi:

Masa bryły 1 wynosi: M1=4.59 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 1 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

Aby obliczyć moment bezwładności wyznaczam moment hamujący. Moment hamujący działający na układ wyznaczam ze wzoru:

M = I * ε₀

Jako I przyjęto sumę momentu obliczonego analitycznie i momentów związanych ze stanowiskiem pomiarowym; I = I_oblI + I_W +I_W11 +I_W12

gdzie: I_W - moment bezwładności wirnika, silnika i sprzęgła = 1.57 * 10^-4[kg*m²],

I_{W11 -} moment bezwładności wałka 11,

I_W12 - moment bezwładności wałka 12,

gdzie : r_{W11 -} promień wałka 11 r_{W12 -} promień wałka 12

l_{W11 -} długość wałka 11 l_{W12 -} długość wałka 12

ρ - gęstość materiału wałków wynosząca 7.86 * 10³ [kg/m³]

czyli ;

więc

Ponieważ moment z pomiaru liczy się korzystając ze wzoru:

więc otrzymamy taką samą wartość momentu jak obliczona analitycznie. Wynika z tego, że bryłę 1 potraktowano jako bryłę wzorcową.

Nr pomiaru	Prędkość obrotowa n0 [obr/min]	Czas wybiegu TP [s]	Moment analityczny IIobl [kg⋅m^2]	Moment z pomiaru II [kg⋅m^2]
1	1460	5.61	108.1⋅10^-4	108.1⋅10^-4
2	1460	5.08	108.1⋅10^-4	108.1⋅10^-4
3	1460	5.19	108.1⋅10^-4	108.1⋅10^-4
			108.1⋅10^-4

Moment średni obliczono jako średnią arytmetyczną momentu obliczonego analitycznie i momentu wyznaczonego z pomiaru.

Błąd pomiaru wynosi:

BRYŁA 2

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 2 podzielono ją myślowo na cztery jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

I = I₁ + I₂ + I₃ - I₄

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 2 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment i :

Dane:=43.8 [mm]=0.0438 [m]

=28.45 [mm]=0.02845 [m]

{dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: ==0.87 [kg] oraz

Obliczam moment:

Dane:=34.5 [mm]=0.0345 [m]

=84.75 [mm]=0.08475 [m]

Po podstawieniu otrzymuję: =6.12 [kg] oraz

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=122.1[mm]=0.1221[m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.3 [kg] oraz

Moment bezwładności bryły 2 wynosi:

Masa bryły 2 wynosi: M2=7.56 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 2 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

Moment z pomiaru wynosi:
=

Nr pomiaru	Prędkość obrotowa n0 [obr/min]	Czas wybiegu TP [s]	Moment analityczny IIIobl [kg⋅m^2]	Moment z pomiaru III [kg⋅m^2]
1	1470	12.68	226.68⋅10^-4	260.49⋅10^-4
2	1470	12.85	226.68⋅10^-4	260.49⋅10^-4
3	1470	12.61	226.68⋅10^-4	260.49⋅10^-4

Moment średni obliczono jako średnią arytmetyczną momentu obliczonego analitycznie i momentu wyznaczonego z pomiaru.

Błąd pomiaru wynosi:

BRYŁA 3

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 3 podzielono ją myślowo na cztery jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

I = I₁ + I₂ + I₃ --I₄

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 2 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment i :

Dane:=20 [mm]=0.02 [m]

=28.3 [mm]=0.0283 [m]

{dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: ==0.4 [kg] oraz

Obliczam moment:

Dane:=39.1[mm]=0.0391[m]

=65 [mm]=0.065 [m]

Po podstawieniu otrzymuję: =4.08 [kg] oraz

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=79.1[mm]=0.0791[m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.2 [kg] oraz

Moment bezwładności bryły 3 wynosi:

Masa bryły 3 wynosi: M3=4.68 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 3 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

Moment z pomiaru wynosi:
=

Nr pomiaru	Prędkość obrotowa n0 [obr/min]	Czas wybiegu TP [s]	Moment analityczny IIIobl [kg⋅m^2]	Moment z pomiaru III [kg⋅m^2]
1	1470	12.68	89.29⋅10^-4	93.77⋅10^-4
2	1470	12.85	89.29⋅10^-4	93.77⋅10^-4
3	1470	12.61	89.29⋅10^-4	93.77⋅10^-4

Moment średni obliczono jako średnią arytmetyczną momentu obliczonego analitycznie i momentu wyznaczonego z pomiaru.

Błąd pomiaru wynosi:

METODA II

Metoda ta polega na pomiarze okresu drgań obrotowych tarczy i umieszczonej na niej bryły i na tej podstawie wyznaczeniu momentu bezwładności bryły sztywnej. Najpierw dokonuje się doświadczalnego wyznaczenia okresu drgań samej tarczy, a następnie wyznacza się okres drgań tarczy z umieszczoną na niej bryłą. W celu obliczenia momentu bezwładności bryły umieszczonej na tarczy wykorzystuje się wzór:

gdzie : r - promień tarczy

l - długość cięgna

Q₀ - ciężar tarczy

T₀ - okres drgań tarczy

Q - ciężar bryły

T - okres drgań tarczy z bryłą.

W celu obliczenia ciężaru tarczy dokonano pomiaru jej wymiarów geometrycznych i przyjęto, że jej gęstość wynosi : ρ = 7,86 * 10³ [kg/m³].

Otrzymano następujące wyniki: promień tarczy r₁ = 15 cm = 0,015 m

grubość tarczy x = 4 mm = 0,004 m

promień trzpienia r₂ = 10 mm = 0,01 m

wysokość trzpienia h = 41mm = 0,041 m

długość cięgna l = 62 cm = 0,62 m

[N]

Okres drgań nieobciążonej tarczy obliczono wyznaczając średnią arytmetyczną z wszystkich 3 pomiarów czasu i dzieląc ją przez liczbę wahnięć układu.

Schemat stanowiska pomiarowego dla metody II przestawiono poniżej.

1 - stojak,

2 - cięgna,

3 - tarcza,

4 - bryły o nieznanych momentach I_I , I_II , I_III,

Ciężary brył obliczono dla mas z nich odczytanych.

BRYŁA 2

Nr pomiaru	Ciężar tarczy Q0 i bryły Q [N]	Długość linki l i promień tarczy r [m]	Czas 10 wahnięć tarczy [s]	Czas 10 wahnięć tarczy z bryłą [s]	Okres T0 [s]	Moment bezwładności II [kg*m^2]
1 2 3	Q0 = 22,79 Q = 74.17	l = 0.62 r = 0.15	11,88 11,55 11,43	7,59 7,57 7,58	1,162

Okres drgań tarczy z bryłą 2 otrzymano dzieląc średnią arytmetyczną wyników pomiarów czasu przez liczbę wahnięć układu

więc

Średni moment obliczono jako średnią arytmetyczną momentu analitycznego i momentu z pomiaru;

Błąd pomiaru wynosi:

BRYŁA 3

Nr pomiaru	Ciężar tarczy Q0 i bryły Q [N]	Długość linki l i promień tarczy r [m]	Czas 10 wahnięć tarczy [s]	Czas 10 wahnięć tarczy z bryłą [s]	Okres T0 [s]	Moment bezwładności II [kg*m^2]
1 2 3	Q0 = 22,79 Q = 45.91	l = 0.62 r = 0.15	11,88 11,55 11,43	7,53 7,51 7,57	1,162

Okres drgań tarczy z bryłą 3 otrzymano dzieląc średnią arytmetyczną wyników pomiarów czasu przez liczbę wahnięć układu:

więc

Średni moment obliczono jako średnią arytmetyczną momentu analitycznego i momentu z pomiaru;

Błąd pomiaru wynosi:

METODA III

Metoda III służyła do wyznaczania środków ciężkości brył nieregularnych. Polegała ona na zawieszeniu bryły na dwóch cięgnach i odczycie kąta pod jakim się one znajdowały, a następnie odczytaniu kąta pod jakim znajdowały się te cięgna, po obciążeniu bryły dodatkowym ciężarem o znanej masie. Następnie mierzono odległość dodatkowego ciężarka od prostej pionowej przechodzącej przez punkt zaczepienia cięgien i wyznaczano odległość środka ciężkości od punktu zaczepienia cięgien.

Odległość tę wyznaczano ze wzoru:

W wyniku przeprowadzenia ćwiczenia otrzymano następujące wyniki:

Nr bryły	Ciężar obciążnika Q [N]	Ciężar bryły G [N]	Kąty wyznaczone przez cięgno		α (αk - αp)	a [m]	h [m]
			przed obciążeniem αp	po obciążeniu αk
1 2 3	5,2 5,2 5,2	21.6 19.62 20.6	19 13 18	24 18 23	5 3 5	0,12 0,115 0,09	0,33 0,58 0,26

ANALIZA OTRZYMANYCH WYNIKÓW I WNIOSKI:

Analizując wyniki otrzymane poszczególnymi metodami należy stwierdzić, że metody te z dosyć dobrym przybliżeniem pozwalają wyznaczyć momenty bezwładności brył obrotowych ( przy założeniu że jako wzorcowe przyjmujemy momenty wyznaczone analitycznie). Jak widać z poniższych obliczeń błędy w stosunku do momentów analitycznych nie przekraczają 15%.

Dla metody I błędy te wyglądają następująco:

Dla bryły 1:;

Dla bryły 2:;

Dla bryły 3:;

Dla metody II błędy te wyglądają następująco:

Dla bryły 2:;

Dla bryły 3: ;

Znak „minus” w obu metodach oznacza, że momenty bezwładności brył wyznaczone doświadczalnie były większe od momentów obliczonych analitycznie. Wynika to stąd, że :

1. pomiar czasu jest obarczony błędem (włączanie i wyłączanie stopera),

2. pomiaru wymiarów geometrycznych stanowiska dokonano z dokładnością do 1mm i jest on obarczony błędem,

3. wychylenia tarczy od położenia równowagi nie były jednakowe we wszystkich pomiarach,

4. przy liczeniu momentu analitycznego przyjęto zaokrąglenie liczb do 4 miejsc po przecinku,

5. przy liczeniu ciężarów brył przyjęto zaokrąglenie w górę ich mas,

6. moment hamujący, uwzględniany przy wyliczaniu momentu bezwładności, został wyznaczony doświadczalnie. Błędy przy jego wyznaczaniu wynikają z pomiaru czasu oraz z przyjęcia niezmienności wymiarów geometrycznych wałków 11 i 12 stanowiących część stanowiska pomiarowego ( w rzeczywistości momenty bezwładności tych wałków są większe ).

1. chwila zatrzymania układu mogła być wychwycona niedokładnie,

W przypadku metody III powstawały pewne błędy związane z:

1. odczytem wartości kątów ze skali kątowej

2. przyjęciem przyspieszenia ziemskiego z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku,

3. występowaniem we wzorze na odległość środka ciężkości funkcji trygonometrycznej sinus ,

UWAGI.

1. Fakt, że dla bryły 1 moment analityczny i moment z pomiaru są identyczne wynika z potraktowania jej jako bryły wzorcowej, tzn bryły, która posłużyła do wyznaczenia momentu hamującego stanowiska.

2. Dla obu metod wyznaczania momentów bezwładności momenty średnie liczono jako średnią

arytmetyczną momentu analitycznego i momentu z pomiaru.

3) W sposób wyraźny daje się zauważyć różnica między błędami dla metody I i II.Analizując te wartości można dojść do wniosku, że dla brył ciężkich(bryła 2) moment dewiacyjny jest większy niż dla lżejszych(bryła 1) co potwierdzają obliczone błędy bezwzględne.

6

2

---