1.Wprowadzenie teoretyczne .

Momentem bezwładności ciała materialnego względem dowolnie obranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów mas elementów, na które podzieliliśmy ciało, przez kwadraty odległości tych elementów od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera ich wymiarów .

I = lim

Identycznie możemy zdefiniować moment bezwładności układu punktów materialnych względem punktu 0 oraz względem płaszczyzny . Otrzymamy więc :

I=

I=

Ponieważ masy mdążą do zera przy ilości dążącej do nieskończoności, możemy to zastąpić całką:

I==dV

gdzie -gęstość ciała.

odległość cząstki masy (objętości) od osi z.

Ponieważ jednak h=x+y otrzymujemy:

I=

I=

I=

Poszczególne całki z powyższych wzorów nazywamy momentami względem płaszczyzn układu współrzędnych.

Twierdzenie Steinera, Mówi nam iż moment bezwładności ciała względem dowolnego punktu 0 jest równy sumie momentu względem środka masy C i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy .

I=I+mr

W analizie dynamicznej zachowania się ciał sztywnych wprowadza się pojęcie momentów odśrodkowych, zwanych również momentami dewiacyjnymi lub momentami zboczenia. Z definicji momentem odśrodkowym ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynu mas elementów ciała przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn. Można więc przykładowy moment odśrodkowy względem np. płaszczyzny XY i YZ prostokątnego układu współrzędnych określić wzorem

I=

Momenty odśrodkowe mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne. Można więc zauważyć, że jeśli ciało ma płaszczyznę symetrii, to moment odśrodkowy to moment odśrodkowy względem tej płaszczyzny i płaszczyzny do niej prostopadłej jest równy zeru. Jeżeli momenty odśrodkowe dowolnego ciała względem trzech par płaszczyzn układu współrzędnych są równe zeru, to osie współrzędnych są głównymi osiami bezwładności tego ciała. Jeżeli początek tych osi znajduje się w środku masy ciała, to osie te nazywają się głównymi centralnymi osiami bezwładności ciała.

Jednostką momentów bezwładności figur płaskich jest m. Całkowanie w powyższych zależnościach odbywa się po powierzchni przekroju.

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda I

W ruchu obrotowym jednostajnym przyśpieszenie kątowe wynosi

ε = = = ε₀ = const

po scałkowaniu tego równania względem czasu t znajdujemy prędkość kątową

ω = = ε₀t + ω₀

z tego wzoru wyznaczamy prędkość początkową ω₀ i przyśpieszenie ε₀ ponieważ znamy prędkości kątowe ω₁, ω₂ odpowiadające znanym chwilom czasowym t₁ i t₂

ω₀ = ε₀ =

ponieważ ω₀ = ω₁ , ω₂ = 0 i t₂ = t_p (czas pomierzony) to przyśpieszenie kątowe wynosi

ε₀ = -

Moment hamujący obliczamy ze wzoru

M = Iε₀ = -I

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda II

Jeśli tarczę wychylimy z położenia równowagi przez obrót wokół jej osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy, to będzie ona wykonywać drgania obrotowe.

Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi opisujemy równaniem

K₀ = M₀

gdzie K₀ - oznacza pochodną po czasie wektora krętu.

Rzut wektora krętu na oś Ox określamy K_ox = I_xω_x = I₀ω

gdzie I₀ - oznacza moment bezwładności układu względem osi obrotu.

Częstotliwość kątową oraz okres małych drgań tarczy wyliczamy ze wzorów

ω₀ = T₀ = 2Π

Przekształcają wzór na okres małych drgań wyliczamy moment bezwładności tarczy

I₀ =

Jeśli na tą tarczę położymy bryłę o nieznanym momencie bezwładności I to okres drgań będzie miał postać

T = 2Π

Wyznaczając doświadczalnie okres drgań tarczy T z bryłą wyliczamy nieznany moment bezwładności bryły ze wzoru

I = [T²(Q₀+Q)-TQ₀]

Wyznaczanie położenia środków ciężkości brył nieregularnych. Metoda III

Środek ciężkości bryły wyznaczamy metodą zawieszania bryły na linach.

Aby wyznaczyć środek ciężkości bryły podwieszamy dodatkowy ciężar Q jak to pokazuje rysunek. Zrównania równowagi momentów które ma postać

Qa - G h sinα = 0

obliczamy odległość h

h =

odległość to określa położenie punktu c. Punkt ten jest środkiem ciężkości tej bryły.

Rysunek przedstawiający sposób wyznaczania środka ciężkości.

2.Przebieg ćwiczenia.

Schemat stanowiska pomiarowego do wyznaczania momentów bezwładności metodą I

1 - rama

2 - silnik elektryczny

3 - sprzęgło I

4 - sprzęgło II

5 - podpora łożyskowa wału

6 - przesuwna podpora łożyskowa wału

7 - prądnica tachometryczna

8 - przedmiot

9 - śruby mocujące podporę

6,10,11 - wałki

Ćwiczenie rozpoczynamy od założenia na końcówki wałków 10 i 11 przedmiotu 8 po czym zbliżamy maksymalnie podporę 6 w kierunku silnika 2. Następnie włączamy silnik i czekamy, aż osiągnie stałą prędkość kątową obserwując wskazania tachometru. Prędkość obrotową n₀ zapisujemy. Kolejną czynnością jest wyłączenie silnika i jednoczesne włączenie stopera, w momencie kiedy układ przestaje wirować, stoper zatrzymujemy a czas wybiegu t_p zapisujemy.

Dokonujemy pomiaru wymiarów geometrycznych przedmiotu (bryły) , które zapisujemy oraz wartość momentu bezwładności wirnika silnika i sprzęgła I_w.]

Obliczam przyśpieszenie kątowe ε dla pierwszego przedmiotu

ε₁ = -18.35

ε₂ = -18.51 ε_śr = -18.43

ε₃ = -18.42

Obliczam moment bezwładności

I = mR²/2 gdzie m=πρHR²

I = 9.053⋅10^-3 kg⋅m²

Obliczam moment hamujący

M = (I+I_w)ε gdzie I_w = 1.57⋅10^-4

M₁ = -0.1690 Nm

M₂ = -0.1705 Nm M_śr = -0.1697 Nm

M₃ = -0.1696 Nm

Po wykonaniu pomiarów i obliczeń wyniki zapisaliśmy w poniższej tabeli.

]

Nr pomiaru	Prędkość obrotowa n0 [obr/min]	Czas wybiegu TP [s]	Moment analityczny Iiobl [kg⋅m^2]	Moment z pomiaru II [kg⋅m^2]
1	1480	8.44	9.053⋅10^-3	9.053⋅10^-3
2	1480	8.37	9.053⋅10^-3	9.054⋅10^-3
3	1480	8.41	9.053⋅10^-3	9.050⋅10^-3
			Średni moment bezw. Iiśr=9.051⋅10^-3

Rysunek pierwszej bryły, której moment bezwładności wyznaczamy metodą I i metodą II.

40

60 130

80

Obliczam przyśpieszenie kątowe ε dla drugiego przedmiotu:

ε₁ = -10.14

ε₂ = -9.99 ε_śr = -10.06

ε₃ = -10.06

Obliczam moment bezwładności

I = mR²/2 gdzie m=πρHR²

I = 14.481⋅10^-3 kg⋅m²

Obliczam moment hamujący

M = (I+I_w)ε gdzie I_w = 1.57⋅10^-4

M₁ = -0.1484 Nm

M₂ = -0.1462 Nm M_śr = -0.1473 Nm

M₃ = -0.1473 Nm

Po wykonaniu pomiarów i obliczeń wyniki zapisaliśmy w poniższej tabeli.

Nr pomiaru	Prędkość obrotowa n0 [obr/min]	Czas wybiegu TP [s]	Moment analityczny Iiobl [kg⋅m^2]	Moment z pomiaru II [kg⋅m^2]
1	1480	15.28	14.481⋅10^-3	14.478⋅10^-3
2	1480	15.51	14.481⋅10^-3	14.478⋅10^-3
3	1480	15.40	14.481⋅10^-3	14.485⋅10^-3
			Średni moment bezw. Iiśr=14.480⋅10^-3

35

60 150

120

Rysunek drugiej bryły, której moment bezwładności wyznaczamy metodą I i metodą II.

Schemat stanowiska pomiarowego do wyznaczania momentów bezwładności metodą II.

1 - stojak

2 - cięgna

3 - element

4 - tarcza

Pomiar momentu bezwładności tą metodą rozpoczynamy od zmierzenia r i l wahadła, gdzie:

r - odległość środka ciężkości tarczy od punktu zaczepienia cięgna,

l - długość cięgna.

Następnie wyznaczamy okres wahań tarczy T₀ (mierzymy trzykrotnie czas 15 wahnięć) i okres wahań tarczy z elementem T. Dokonujemy pomiaru wymiarów geometrycznych elementu , obliczamy masę tarczy i masę elementu.

Po wykonaniu pomiarów i obliczeń wyniki zapisaliśmy w poniższej tabeli.

Nr pomiaru	Ciężar tarczy Q0 i Bryły Q [N]	Długość linijki l i promień tarczy r [m]	Czas 15 wahnięć tarczy [s]	Czas 15 wahnięć tarczy z bryłą [s]	Okres T0 [s]	Okres T [s]	Moment bezwładności II [kg⋅m^2]
1	Q0 = 11.26 Q = 74	l = 0.63 r = 0.151	17.11	11.56	1.141	0.771	⋅10^-3
2	Q0 = 11.26 Q = 74	l = 0.63 r = 0.151	17.00	11.32	1.133	0.755	⋅10^-3
3	Q0 = 11.26 Q = 74	l = 0.63 r = 0.151	17.15	11.49	1.143	0.766	⋅10^-3
							Iiśr= ⋅10^-3

Nr pomiaru	Ciężar tarczy Q0 i Bryły Q [N]	Długość linijki l i promień tarczy r [m]	Czas 15 wahnięć tarczy [s]	Czas 15 wahnięć tarczy z bryłą [s]	Okres T0 [s]	Okres T [s]	Moment bezwładności II [kg⋅m^2]
1	Q0 = 11.26 Q = 47	l = 0.63 r = 0.151	17.11	11.39	1.141	0.759	⋅10^-3
2	Q0 = 11.26 Q = 47	l = 0.63 r = 0.151	17.00	11.29	1.133	0.753	⋅10^-3
3	Q0 = 11.26 Q = 47	l = 0.63 r = 0.151	17.15	11.33	1.143	0.755	⋅10^-3
							Iiśr= ⋅10^-3

Schemat stanowiska pomiarowego do wyznaczania środka ciężkości metodą III.

stojak

skala kątowa

obciążnik

cięgna

element

Pomiar środka ciężkości danego elementu rozpoczynamy od zawieszenia go na cięgnach, następnie odczytujemy i zapisujemy wartości kątów wskazane przez cięgna na skali kątowej. Obciążamy element ciężarkiem Q, mierzymy długość odcinka a, który jest odległością między punktem zaczepienia ciężaru Q i prostą pionową przechodzącą przez punkt zaczepienia cięgien. Po obciążeniu elementu ciężarkiem również odczytujemy i zapisujemy wartość kąta wskazanego przez cięgno na skali kątowej. Zapisujemy ciężar elementu G i obciążnika Q.

Po wykonaniu pomiarów i obliczeń wyniki zapisaliśmy w poniższej tabeli dla pierwszrgo elementu.

Ciężar obciążnika	Ciężar bryły G	Kąty wyznaczone przez cięgno		∝	a	h
Q [N]	[N]	Przed obciążeniem ∝ p	po obciążeniu ∝ k	∝k-∝p	[m]		[m]
5.3	21	33°	26°	7°	0.125		0.259

Rysunek pierwszego przedmiotu, którego środek ciężkości wyznaczyliśmy metodą III.

120 140

100

30

90 40 40

Wyniki dla drugiego elementu:

Ciężar obciążnika	Ciężar bryły G	Kąty wyznaczone przez cięgno		∝	a	h
Q [N]	[N]	Przed obciążeniem ∝ p	po obciążeniu ∝ k	∝k-∝p	[m]		[m]
5.3	20	28°	23°	5°	0.11		0.334

Rysunek drugiego przedmiotu, którego środek ciężkości wyznaczyliśmy metodą III.

155 85

120

75 85

30

240

3.Wnioski:

Analityczny moment bezwładności [kg⋅m^2]	Moment bezwładności wyznaczony metodą I [kg⋅m^2]	Moment bezwładności wyznaczony metodą II [kg⋅m^2]	Błąd metody I [%]	Błąd metody II [%]
9.053⋅10^-3	9.053⋅10^-3	⋅10^-3
14.481⋅10^-3	14.480⋅10^-3	⋅10^-3

W wyniku przeprowadzonych pomiarów momentów bezwładności obydwoma metodami zauważyliśmy że, metoda I daje bardziej dokładne wyniki niż metoda II. Jednak stosowanie metody I ogranicza się do badania momentów bezwładności brył o ograniczonych gabarytach i masie co jest związane z wprowadzeniem przedmiotu w ruch obrotowy. Metoda II jest bardziej uniwersalna i nie ma praktycznie ograniczeń na jej stosowanie. Metody te obarczone błędami pomiaru pozwalają jednak na szybkie wyznaczenie momentów bezwładności bez konieczności wykonywania żmudnych obliczeń np. w przypadku przedmiotów o skomplikowanym kształcie.

Metoda III służąca do wyznaczania położenia środka ciężkości brył jest niedokładna gdyż mogą występować duże błędy pomiarów. Pozwala jednak na wyznaczenie środka ciężkości brył o skomplikowanym kształcie.

---