1. Dla jakiej wartości parametru m wektory
są prostopadłe. (odp:m=22)
2. Wykazać, że czworobok o wierzchołkach
,
jest kwadratem.
3. Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach
.(odp:
,
)
4. Znaleźć wektor
prostopadły do wektorów
i spełniający warunek
. (odp:
)
5. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach
a)
(odp :
)
b)
,
6. Dane są punkty
. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i prostopadłej do wektora
(odp:
).
7. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
i prostopadłej do płaszczyzny
.
8. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
i równoległej do
.(odp :
)
9. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
.(odp:
10. Obliczyć kąt między płaszczyznami:
:
. (cos
11. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i prostopadłej do płaszczyzny
i
. ( odp:
)
12. Znaleźć odległość punktu
od płaszczyzny
a)
,
. (odp:d=3 )
b)
,
. (
)
13. Dla jakich wartości parametrów
płaszczyzny
,
są równoległe.( odp:
).
14. Znaleźć kąt między prostymi
( odp: cos
)
15. Przedstawić prostą
w postaci parametrycznej. ( odp:
)
16. Zbadać wzajemne położenie prostych
. ( proste się przecinają)
17. Znaleźć odległość punktu
od prostej
. ( odp: d=7 )
18. Znaleźć odległość między prostymi
a)
i
(d=
).
b)
19. Znaleźć punkt symetryczny do punktu
względem prostej
.(odp:
)
20. Znaleźć równanie płaszczyzny wyznaczonej przez proste:
.
21. Znaleźć rzut punktu
na płaszczyznę
a)
(odp:
)
b)
22. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą
i prostopadłej do płaszczyzny
. (odp:
)
23. Znaleźć punkt przebicia płaszczyzny
prostą
.Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i odcinającej na osiach układu współrzędnych równe odcinki.
24. Znaleźć punkt symetryczny do punktu
względem płaszczyzny
.
25. Znaleźć odległość punktu
od prostej
26. Zbadać, dla jakiej wartości parametru
prosta
jest równoległa do płaszczyzny
. ( odp :
.
27. Zbadać, dla jakich wartości parametrów
prosta
leży w płaszczyźnie
( odp:
)
28. Znaleźć kąt między płaszczyzną
i prostą
(odp:
)
29. Wykazać, że prosta
leży w płaszczyźnie
.30. Przez punkt
poprowadzić prostą prostopadłą do prostej
i przecinającą prostą
.( odp:
31. Znaleźć rzut prostej
na płaszczyznę
. (odp:
32. a)Sprawdzić, czy wektory
,
,
są liniowo niezależne.
b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
?
c) b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
?
(odp:a) nie, b) tak , c) nie )
33.a) Sprawdzić, czy wektory
,
, są liniowo niezależne. b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
? ( a) tak , b) nie)
34. a) Sprawdzić, czy wektory
,
,
są liniowo niezależne.
b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
? ( ( odp: a) tak, b) tak).
35. Znaleźć wektor
o długości równej
wiedząc, że jest prostopadły do wektorów
,
( odp:
)
Zadania, które w ubiegłych latach były na egzaminach
1. Zbadać dla jakich wartości parametru
, punkty A=(1,2,1) B=(3,2,-2), C=(
, D=(3,1,0) leża w jednej płaszczyźnie.
2.a) Podać def. iloczynu wektorowego.
b) Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
, jeśli
. a
.
3.a) Wyprowadzić równanie płaszczyzny
, jeśli punkt
leży na
, a wektor
jest prostopadły do
.
b) Sprawdzić, czy przez proste
można poprowadzić płaszczyznę
4. Obliczyć kąt między płaszczyzną
oraz płaszczyzną
przechodzącą przez punkt
i rozpięta na wektorach
i
5. Znaleźć kąt między prostymi
(
6. Przedstawić prostą
w postaci parametrycznej.
7.. Zbadać wzajemne położenie prostych
.
8.. Znaleźć odległość punktu
od prostej
.
5. a)Podać def. iloczynu wektorowego i interpretację geometryczną jego długości (z uzasadnieniem)
b) Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
jest równe 12
9. a) Wyprowadzić równanie parametryczne prostej
b) Znaleźć odległość między prostymi
(Jeśli korzystamy ze wzoru trzeba wzór uzasadnić)