Równania różniczkowe cząstkowe
Klasyfikacja.
Warunki brzegowe.
Wstęp historyczny
Rozwiązanie d Alemberta.
� Powstanie i rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych
związane były z rozszerzeniem w XVIII wieku zakresu zastosowań
analizy matematycznej funkcji wielu zmiennych. Były to zagadnienia z
dziedziny astronomii, hydromechaniki, fizyki ciał sprężystych oraz
geometrii.
� Pierwszym problemem, rozwiązanym przy pomocy tych równań było
zadanie o drganiach struny.
� W latach 1713 - 1715 B. Taylor znalazł równanie małych drgań
poprzecznych nieskończenie cienkiej, jednorodnej struny o długości l,
umocowanej na końcach, wychylonej z położenia równowagi, a
następnie pozostawionej samej sobie.
Rozwiązanie d Alemberta
� Jednak dopiero około 1747 r. d Alembert wyraził to, co Taylor
sformułował językiem mechaniczno-geometrycznym, w postaci
równania cząstkowego rzędu drugiego:
ś�2 y ś�2 y
=� a2
ś�t2 ś�x2
� gdzie x i y  to współrzędne punktu struny, t jest czasem, zaś a 
stałym parametrem określającym gęstość struny i jej naprężenie.
� W XIX wieku, po dokonanej klasyfikacji równań cząstkowych,
nazwano to równanie falowym, lub równaniem typu
hiperbolicznego.
� Ogólne rozwiązanie tego równania dla a = 1, przy
warunkach brzegowych
y(0,t) =� 0, y(l,t) =� 0
� i warunkach początkowych
ś�y(x,0)
y(x,0) =� f (x),
=� g(x)
ś�t
� znalazł d Alembert za pomocą metody opartej na pojęciu
różniczki zupełnej. Otrzymał rozwiązanie
y =� j�(x +� t) +�y� (x -� t)
� i nazwał je rozwiązaniem ogólnym , gdzie j� i y� określić
należy na podstawie warunków brzegowych i początkowych.
� W póz
niejszym okresie d Alembert proponował szukać
rozwiązania w postaci iloczynu dwóch funkcji jednej
zmiennej, tzw. metodą rozdzielenia zmiennych.
y =� f (t)g(x)
� Ten pomysł szeroko rozwinął J.B. Fourier, na początku XIX
wieku.
Rozwiązanie Eulera
� Rok po ukazaniu się prac d Alemberta o strunie, L. Euler ogłosił artykuł
 O drganiu strun w 1748, a potem w 1766 r. podał nową metodę
rozwiązywania równania struny drgającej, która póz
niej weszła do
wszystkich podręczników równań różniczkowych. Wprowadzając nowe
współrzędne u = x + at, v = x  at przekształcił równanie falowe do
postaci, którą łatwo jest scałkować:
ś�2 y
=� 0
ś�uś�v
� Euler pierwszy zrozumiał, że równanie struny drgającej jest obrazem
procesu rozchodzenia się fal. Falą nazywamy przy tym proces
przemieszczania się wzdłuż struny wychylenia jakiegokolwiek jej
punktu. Euler dopracował do końca metodę d Alemberta, którą póz
niej
zaczęto nazywać metodą charakterystyk.
D. Bernoulli i rozwiązanie w formie
szeregu trygonometrycznego
� Nowe i ważne twierdzenia o procesach drgających
przedstawił w swoich rozprawach Daniel Bernoulli w latach
1747, 1748, 1753, 1755.
� Ogólne rozwiązanie równania struny drgającej przedstawił
on w postaci szeregu trygonometrycznego o
współczynnikach nieoznaczonych.
p�x 2p�x 3p�x
y =� a� sin +� b� sin +� g� sin +� ...
l l l
� gdzie l jest długością struny a a�, b�, g� są funkcjami czasu.
Zadania hydromechaniki; równanie
Laplace a
� W Szkicu nowej teorii oporu cieczy, Paryż 1752, d Alembert  w związku z badaniem
opływu ciała sztywnego przez jednorodną nieważką ciecz  rozwiązał zadanie, w
którym chodziło o znalezienie dwóch funkcji p i q, mając ich różniczki zupełne
dq =� Mdx +� Ndz
dp =� Ndx -� Mdz
� w ruchu płasko-równoległym cieczy, gdzie funkcje p i q są składowymi wektora
prędkości cząstki cieczy w punkcie (x, y) płaszczyzny. D Alembert doszedł do układu
równań cząstkowych
ś�p -� ś�q
ś�p ś�q
=�
=�
ś�z ś�x
ś�x ś�z
� Otrzymany układ scałkował stosując funkcje zespolone. Póz
niej, w 1761 r., w I tomie
swych Dzieł matematycznych wskazał on, że funkcje spełniają też równanie
ś�2j� ś�2j�
+� =� 0
ś�x2 ś�y2
� które nazwano póz
niej imieniem Laplace a. Jego rozwiązania, mające ciągłe pochodne
cząstkowe rzędów I i IIgo, nazwano póz
niej funkcjami harmonicznymi.
Równania różniczkowe cząstkowe (ang.
Partial Differential Equations, PDE)
� Definicja 1. Równaniem różniczkowym cząstkowym
nazywamy równanie różniczkowe, w którym występuje
funkcja niewiadoma dwóch lub więcej zmiennych i jej
pochodne cząstkowe. Rzędem równania różniczkowego
cząstkowego nazywamy największy rząd pochodnej funkcji
niewiadomej występującej w danym równaniu.
Równanie różniczkowe postaci
ś�u ś�u ś�2u ś�2u
F(x, y,u(x, y), , , , ) =� 0
ś�x ś�y ś�x2 ś�xś�y
jest równaniem rzędu drugiego, z niewiadomą funkcją
dwóch zmiennych niezależnych.
� Definicja 2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką powyższego
równania nazywamy każdą taką funkcję u = u(x, y) , klasy C2
w pewnym obszarze D, która po podstawieniu wraz ze swymi
pochodnymi do omawianego wyrażenia spełnia je
tożsamościowo.
� Ogólny kształt równania liniowego drugiego rzędu
jednorodnego o współczynnikach zmiennych ma postać:
y ''+� f x y '+� g x y =� 0
(� )� (� )�
Równania różniczkowe cząstkowe w
technice
� Równania różniczkowe cząstkowe (PDE) są typem równań różniczkowych, które
przedstawiają relacje łączące nieznaną funkcję (albo funkcje) kilka niezależnych zmiennych i
jej (albo ich) cząstkowe pochodne względem tych zmiennych. PDE są używane, by
sformułować i rozwiązać, problemy łączące funkcje wielu zmiennych; takie jak propagacja
dz
więku albo ciepła, elektrostatyki, elektrodynamiki, przepływów płynów i elastyczności.
Pozornie odmienne fizyczne zjawiska mogą mieć identyczne matematyczne sformułowania.
� Równania różniczkowe cząstkowe opisują zmienność systemów z kilkoma zmiennymi, w
zastosowaniach technicznych z czasem i zmiennymi przestrzennymi.
� Przykłady:
� natężenie pola elektromagnetycznego pod linią przesyłową wysokiego napięcia,
� opis dyfuzji ciepła w czujniku temperatury z obudową,
� rozkład pola magnetycznego w pracującym silniku (problem 2D/3D + czas),
� propagacja sygnału w linii telekomunikacyjnej (1D + czas),
� zmienna z czasem prędkość wzdłuż kolumny samochodów w ruchu miejskim (1D+czas),
� zmienny z czasem rozkład prędkości wiatru i ciśnienia atmosferycznego w układzie
współrzędnych biegunowych (2D+czas).
Przykłady
Klasyfikacja równań różniczkowych
liniowych cząstkowych II rzędu z
dwiema zmiennymi niezależnymi
� Definicja. Równaniem różniczkowym cząstkowym
liniowym rzędu drugiego o niewiadomej funkcji u(x, y)
dwóch zmiennych niezależnych x i y nazywamy równanie
postaci
ś�2u ś�2u ś�2u ś�u ś�u
A +� 2B +� C +� a +� b +� cu +� d =� 0
ś�x2 ś�xś�y ś�y2 ś�x ś�y
� gdzie A, B, C, a, b, c, d są danymi funkcjami dwóch
zmiennych x i y o ciągłych pochodnych w pewnym
obszarze płaskim D.
� Własność. Znak wyrażenia d� = B2  4AC nie ulega zmianie
przy nieosobliwym przejściu do innych zmiennych
niezależnych, dzięki czemu klasyfikuje się równania tego
typu ze względu na znak d� w następujący sposób:
� a) d� =� B2 -� 4AC >� 0  równanie jest hiperboliczne
� b) d� =� B2 -� 4AC =� 0  równanie jest paraboliczne
� c)  równanie jest eliptyczne.
d� =� B2 -� 4 AC <� 0
� Każda z tych kategorii modeluje jakieś zjawiska fizyczne. Nie są to
wyłącznie zjawiska elektromagnetyczne. Równania opisują niemal
cały obszar nauki i techniki. Matematyczny model zawarty w
analizowanym równaniu opisuje tak różne zjawiska jak
przewodzenie ciepła, przepływ laminarny, wibracje, sprężystość,
elektrostatykę czy propagację fal.
� Uwaga. W przypadku, gdy dane jest równanie liniowe, jednorodne,
cząstkowe rzędu drugiego o współczynnikach stałych, to można
sprowadzić je do postaci kanonicznej, czyli
� c) - równanie Laplace a
Uxx +� U =� 0
yy
� a) - równanie struny (falowe)
a2uxx -� utt =� 0
� b)
a2u xx =� ut - równanie przewodnictwa
cieplnego.
Klasyfikacja problemów ze względu
na region rozwiązania
" Problem wewnętrzny (zamknięty, ograniczony)
" Problem zewnętrzny (otwarty, nieograniczony)
Klasyfikacja warunków granicznych
� Warunki graniczne dzielimy na brzegowe (na powierzchni
lub linii granicznej) i początkowe (dla czasu t = t0).
� Rozwiązanie problemu polega na znalezieniu nieznanej
funkcji F� z równania różniczkowego o pochodnych
cząstkowych. F� musi spełniać równanie
LF� =� g
wewnątrz określonego regionu rozwiązania R, a ponadto
spełniać pewne warunki na S, granicy regionu R.
� Zwykle warunki te są typu Dirichlet a lub Neumann a. Gdy
na granicy obowiązują oba typy warunków to mówimy o
warunkach mieszanych.
Warunki początkowe i brzegowe
� Równanie może mieć określone warunki brzegowe i początkowe. PDE
z określonymi warunkami brzegowymi to równanie stanu ustalonego
(steady-state equations). Jeżeli tylko warunki początkowe są określone to
równanie opisuje stan przejściowy (transient equations.).
� Warunek początkowy definiuje stan układu w chwili początkowej.
Stan musi być znany w każdym punkcie przestrzennym (patrz przykłady
jednowymiarowych symulacji ilustrujących procesy adwekcji i dyfuzji).
� Warunki brzegowe opisują zachowanie się funkcji na brzegu obszaru.
� Zagadnienie brzegowe - w matematyce zadanie, polegające na
wyznaczeniu spośród funkcji danej klasy zdefiniowanych w rozważanym
obszarze, tych, które spełniają dodatkowe warunki na brzegu tego
obszaru. Warunki takie nazywane są warunkami brzegowymi i są
nałożone na wartości funkcji i jej pochodnych w więcej niż jednym
punkcie tego obszaru. Zagadnienie brzegowe możliwe jest tylko dla
równań rzędu nie mniejszego niż 2.
Warunki brzegowe
� Wyróżnia się trzy rodzaje warunków brzegowych:
� Warunek Dirichleta - wartość funkcji na brzegu jest znana.
� Warunek Neumanna - określona jest interakcja z brzegiem,
np. wpływ do obszaru, wypływ, przyłożona siła. W
szczególności warunek Neumanna pozwala zdefiniować brzeg
nieprzepuszczalny. Matematycznie warunek Neumanna opisuje
się wykorzystując strumień, wyrażany w funkcji pochodnej
normalnej.
� Warunek trzeciego rodzaju (Robina, Fouriera) -
warunek ten definiuje wzajemną zależność (nieznanej)
wartości rozwiązania oraz (nieznanej) pochodnej
normalnej na brzegu.
Warunki jednorodne
Warunki niejednorodne
Przykłady
� F�(0) = 1 jest niejednorodnym warunkiem Dirichlet a
� F�(0) = 0 jest jednorodnym warunkiem Dirichlet a
� F�(1) = 2 jest niejednorodnym warunkiem Neumann  a
� F�(1) = 0 jest jednorodnym warunkiem Neumann  a
� W elektrostatyce, jeśli na powierzchni S jest określona
wartość potencjału, to mamy warunek brzegowy Dirichlet a,
jeżeli na tej powierzchni znamy ładunek powierzchniowy to
mamy warunek brzegowy Neumann a.
� Problem znajdowania funkcji F�, która jest harmoniczna w
regionie R nazywamy zagadnieniem Dirichlet a, jeżeli F� jest
określone na granicach regionu.
� Problem nazywamy zagadnieniem Neumann a, jeżeli
ś�F�
ś�n
jest określone na granicach regionu.
Równania charakterystyk i
sprowadzanie równań różniczkowych
cząstkowych do postaci kanonicznej
� Definicja. Charakterystykami omówionego wyżej
równania nazywamy krzywe całkowe równania
różniczkowego zwyczajnego
A(dy)2 -� 2Bdxdy +� C(dx)2 =� 0
dy dy
A( )2 -� 2B +� C =� 0
dx dx
D� =� 4B2 -� 4AC.
dy 2B +� 2 B2 -� AC dy 2B -� 2 B2 -� AC
Gdy D� ą� 0, to =� �� =�
dx 2A dx 2A
� rozwiązania tych równań oznaczamy
g1(x, y) =� C1 �� g2(x, y) =� C2
� Aby sprowadzić omawiane równanie do postaci
kanonicznej, należy podstawić za nowe zmienne:
x� =� g1(x, y) +� g2(x, y)
h� =� (g1(x, y) -� g2(x, y))a
gdzie a = 1 w przypadku gdy D� < 0,
oraz a = -1 w przypadku gdy D� > 0.
� W przypadku gdy D� = 0, istnieje tylko jedna rodzina
charakterystyk o równaniu g(x, y) = C. Wtedy podstawiamy
x� =� g(x, y) h� =� x (lub h� =� y)
D(x�,h�)
ą� 0
� Dobieramy podstawienie tak, by .
D(x, y)
� Oznaczmy teraz:
ś�2U ś�2U ś�2U
=� Uxx Ł� =� Uxy Ł� =� U
yy
ś�x2 ś�xś�y ś�y2
� Przykład. Wyznaczyć charakterystyki równania
Uxx +� 4Uxy +� 3Uyy =� 0
� Rozwiązanie. Charakterystyki spełniają równanie
(dy)2 -� 4dxdy +� 3(dx)2 =� 0
� Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy
dy dy
=� 3 lub
=� 1 �� dy =� 3dx
lub dy =� dx
dx
dx
� stąd mamy charakterystyki:
y -� 3x =� C1 lub y -� x =� C2
Jeszcze o klasyfikacji PDE
RRC liniowe drugiego rzędu można sklasyfikować jako:
� Powyższy podział nie jest podziałem tylko formalnym.
� Równania: falowe, przewodnictwa ciepła oraz Laplace a są
przedstawicielami trzech najważniejszych klas równań różniczkowych
cząstkowych.
� Pomiędzy tymi klasami występują fundamentalne różnice.
� Równania opisujące wibracje, w szczególności równanie falowe, są
najczęściej hiperboliczne.
� Równania opisujące procesy dyfuzyjne, a do takich należy równanie
przewodnictwa ciepła, są paraboliczne.
� Równania hiperboliczne i paraboliczne opisują procesy dynamiczne i
jedna ze zmiennych jest identyfikowana z czasem.
� Z drugiej strony, równania opisujące stany równowagowe (steady-state),
takie jak równania Laplace a i Poissona, są najczęściej eliptyczne i
dotyczą funkcji zależących tylko od zmiennych przestrzennych.
� Równania eliptyczne występują w zagadnieniach brzegowych,
natomiast równania paraboliczne i hiperboliczne prowadzą do
zagadnień początkowo-brzegowych, z wymaganym jednym
oraz odpowiednio dwoma, warunkami brzegowymi.
� Bardzo ważne jest również to, że metody używane do
przybliżonego rozwiązywania równań należących do tych trzech
klas znacznie się różnią i mają zupełnie inny charakter w każdym
z trzech przypadków. O ile nazewnictwo trzech klas równań
różniczkowych cząstkowych jest najbardziej  czytelne dla
przypadku funkcji dwóch zmiennych ze względu na analogię z
opisem krzywych, terminologia oraz własności przenoszą się do
równań zdefiniowanych dla funkcji o większej liczbie zmiennych.
� Równanie RRCz rzędu pierwszego jest zawsze hiperboliczne.
Równania różniczkowe cząstkowe
eliptyczne
Równanie eliptyczne zwykle
modeluje problem wewnętrzny,
więc region rozwiązania jest
zamknięty lub ograniczony.
Równania różniczkowe cząstkowe
eliptyczne
Równanie Laplace a jest typowym przykładem równania
różniczkowego cząstkowego eliptycznego:
Gdy prawa strona nie jest równa zeru, to mamy równanie
różniczkowe cząstkowe Poissona.
Równania różniczkowe cząstkowe
paraboliczne
� RRC paraboliczne umożliwiają znalezienie rozkładu
zmiennej w funkcji czasu.
Równania różniczkowe cząstkowe
paraboliczne
� Przykładem takiego równania może być równanie opisujące
przewodnictwo cieplne w postaci:
� Przy założeniu, że ciało jest izotropowe czyli kx = ky = kz
oraz przepływ ciepła następuje tylko po jednym kierunku,
równanie przewodnictwa cieplnego ma postać:
Równania różniczkowe cząstkowe
paraboliczne
� Równanie paraboliczne
� spełnia np. temperatura w środowisku przewodzącym. Jest to
więc równanie przewodnictwa. Równanie paraboliczne spełniają
także składowe E i H fali elektromagnetycznej w przewodnikach.
Równaniem parabolicznym jest również równanie dyfuzji
(zarówno pola jak i roztworów).
� Region rozwiązania równania parabolicznego jest zazwyczaj
otwarty. Z równaniem związane są warunki początkowe i
brzegowe, podobnie jak z równaniem hiperbolicznym.
� Jednakże do rozwiązania wystarcza jeden warunek początkowy
dla czasu t = 0, ponieważ równanie jest rzędu pierwszego
względem czasu.
Równania różniczkowe cząstkowe
hiperboliczne
� Równania hiperboliczne pojawiają się w problemach propagacji. Region
rozwiązania zwykle jest otwarty, tak żeby rozwiązanie rozwijało się na
zewnątrz do nieskończoności począwszy od warunków początkowych,
tak długo jak długo są spełnione warunki brzegowe.
Równania różniczkowe cząstkowe
hiperboliczne
� Typowym przykładem równania hiperbolicznego jest
jednowymiarowe równanie falowe w dielektryku.
� Przykładem takiego równania może być równanie drgania
struny.