Rozwiązywanie równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
3z + iz = 7 + 4i - 5,
z(3 + i) = 2 + 4i,
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
3z + iz = 7 + 4i - 5,
z(3 + i) = 2 + 4i,
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
Niewiadome przenosimy na lewÄ…
3z + iz = 7 + 4i - 5,
z(3 + i) = 2 + 4i,
stronę równania, a stałe na
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
prawÄ….
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
Po lewej wyłączamy niewiadomą
3z + iz = 7 + 4i - 5,
z(3 + i) = 2 + 4i,
przed nawias, po prawej
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
dodajemy.
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
3z + iz = 7 + 4i - 5,
Dzielimy obie strony równania
z(3 + i) = 2 + 4i,
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
przez czynnik przy niewiadomej.
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
3z + iz = 7 + 4i - 5,
Wykonujemy dzielenie liczb
z(3 + i) = 2 + 4i,
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i) zespolonych (Prezentacja 1.1).
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Metoda rozwiązywania równań liniowych w zbiorze liczb
zespolonych niewiele różni się od sposobu ich rozwiązywania
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Examples
Rozwiążemy równanie 3z - 4i + 5 = 7 - iz
w zbiorze liczb zespolonych:
3z + iz = 7 + 4i - 5,
z(3 + i) = 2 + 4i,
z(3 + i) = 2 + 4i \ : (3 + i)
2+4i 2+4i 3-i 6-2i+12i-4i2
z = = = =
3+i 3+i 3-i
32-i2
6+10i+4 10+10i 10(1+i)
= = = = 1 + i.
9+1 10 10
Odpowiedz
: z = 1 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Rozwiąż równania dla z, x " Z
a) 2x - 3ix = -4i + 6x,
Odpowiedzi:
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5,
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z.
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Rozwiąż równania dla z, x " Z
a) 2x - 3ix = -4i + 6x, Odpowiedzi:
12 16
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5, a) x = + i,
25 25
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z.
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Rozwiąż równania dla z, x " Z
a) 2x - 3ix = -4i + 6x, Odpowiedzi:
12 16
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5, a) x = + i,
25 25
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z.
RozwiÄ…zania:
a) 2x - 3ix = -4i + 6x,
2x - 3ix - 6x = -4i,
-4x - 3ix = -4i, \ · (-1)
x(4 + 3i) = 4i, \ : (4 + 3i)
4i 4i 4-3i 16i-12i2 12+16i 12 16
z = = · = = = + i.
4+3i 4+3i 4-3i 16-9i2 25 25 25
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Rozwiąż równania dla z, x " Z
Odpowiedzi:
a) 2x - 3ix = -4i + 6x,
12 16
a) x = + i,
25 25
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5,
25
b) x = -10 - i,
29 29
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z.
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Rozwiąż równania dla z, x " Z
Odpowiedzi:
a) 2x - 3ix = -4i + 6x,
12 16
a) x = + i,
25 25
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5,
25
b) x = -10 - i,
29 29
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z.
RozwiÄ…zania:
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5,
2x - 2xi - 3xi = -5,
2x - 5xi = -5,
x(2 - 5i) = -5, \ : (2 - 5i)
-5 -5 2+5i -10-25i -10-25i -10-25i
z = = · = = = =
2-5i 2-5i 2+5i 22-25i2 4+25 29
25
= -10 - i.
29 29
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Odpowiedzi:
Rozwiąż równania dla z, x " Z
12 16
a) 2x - 3ix = -4i + 6x, a) x = + i,
25 25
25
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5, b) x = -10 - i,
29 29
1 3
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z. c) z = + i.
2 2
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Odpowiedzi:
Rozwiąż równania dla z, x " Z
12 16
a) 2x - 3ix = -4i + 6x, a) x = + i,
25 25
25
b) 2x(1 - i) = 3xi - 5, b) x = -10 - i,
29 29
1 3
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z. c) z = + i.
2 2
RozwiÄ…zania:
c) 5z + 3 = i - (2i - 5)z,
5z + (2i - 5)z = i - 3,
z(5 + 2i - 5) = i - 3,
2iz = i - 3, \ : 2i
i-3 i-3 -2i -2i2+6i 2+6i 2 6
z = = · = = = + i.
2i 2i -2i -4i2 4 4 4
dr Anna Chwastyk Matematyka1