Działania na liczbach zespolonych w postaci
algebraicznej
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
LiczbÄ™ zespolonÄ… zapisujemy jako z = a + bi,
gdzie a i b sÄ… liczbami rzeczywistymi.
i nazywamy jednostkÄ… urojonÄ….
Ma ona własność
i2 = -1.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
LiczbÄ™ zespolonÄ… zapisujemy jako z = a + bi,
gdzie a i b sÄ… liczbami rzeczywistymi.
i nazywamy jednostkÄ… urojonÄ….
Ma ona własność
i2 = -1.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Dana jest liczba zespolona z = a + bi.
a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z,
co oznaczamy Rez = a.
b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z,
co oznaczamy Imz = b.
UWAGA częsty błąd
Część rzeczywista a i część urojona b są
liczbami rzeczywistymi, czyli częścią urojoną
liczby 2 + i jest 1, a NIE i !!!
dr Anna Chwastyk Matematyka1
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Dana jest liczba zespolona z = a + bi.
a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z,
co oznaczamy Rez = a.
b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z,
co oznaczamy Imz = b.
UWAGA częsty błąd
Część rzeczywista a i część urojona b są
liczbami rzeczywistymi, czyli częścią urojoną
liczby 2 + i jest 1, a NIE i !!!
dr Anna Chwastyk Matematyka1
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Dana jest liczba zespolona z = a + bi.
a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z,
co oznaczamy Rez = a.
b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z,
co oznaczamy Imz = b.
UWAGA częsty błąd
Część rzeczywista a i część urojona b są
liczbami rzeczywistymi, czyli częścią urojoną
liczby 2 + i jest 1, a NIE i !!!
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczby zespolonej przez skalar, czyli liczbę
rzeczywistÄ…
Dana jest liczba zespolona z = a + bi oraz liczba rzeczywista Ä….
Ä…z = Ä…(a + bi) = Ä…a + Ä…bi.
Examples
-5(3 - 7i) = -15 + 35i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczby zespolonej przez skalar, czyli liczbę
rzeczywistÄ…
Dana jest liczba zespolona z = a + bi oraz liczba rzeczywista Ä….
Ä…z = Ä…(a + bi) = Ä…a + Ä…bi.
Examples
-5(3 - 7i) = -15 + 35i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczby zespolonej przez skalar, czyli liczbę
rzeczywistÄ…
Dana jest liczba zespolona z = a + bi oraz liczba rzeczywista Ä….
Ä…z = Ä…(a + bi) = Ä…a + Ä…bi.
Examples
-5(3 - 7i) = -15 + 35i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dodawanie liczb zespolonych
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Examples
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dodawanie liczb zespolonych
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Examples
Dodajemy część rzeczywistą jednej liczby do części
rzeczywistej drugiej liczby i część urojoną do części urojonej:
(1-3i) + (5 + 4i) = (1 + 5) + (-3 + 4)i = 6 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dodawanie liczb zespolonych
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Examples
Lub opuszczamy nawiasy, które są tu zbędne i dodajemy jak
wyrażenia algebraiczne:
(1 - 3i) + (5 + 4i) = 1 - 3i + 5 + 4i = 6 + i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Odejmowanie liczb zespolonych
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i.
Examples
Opuszczamy nawiasy zmieniajÄ…c znaki na przeciwne
wewnÄ…trz drugiego nawiasu i dodajemy:
(2 + 8i) - (4 - 2i) = 2 + 8i - 4 + 2i = -2 + 10i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Odejmowanie liczb zespolonych
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i.
Examples
Opuszczamy nawiasy zmieniajÄ…c znaki na przeciwne
wewnÄ…trz drugiego nawiasu i dodajemy:
(2 + 8i) - (4 - 2i) = 2 + 8i - 4 + 2i = -2 + 10i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Kombinacje dodawania, odejmowania i mnożenia przez
skalar
Zadania
Oblicz:
a) (-7 + 5i) - 3(2 - 4i),
1
b) 2(5 - 4i) - (1 + 2i),
3
1
c) -2(1 - 3i) + (-1 + 2i).
5 7
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Kombinacje dodawania, odejmowania i mnożenia przez
skalar
RozwiÄ…zania:
a) (-7 + 5i) - 3(2 - 4i) = -7 + 5i - 6 + 12i = -13 + 17i,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Kombinacje dodawania, odejmowania i mnożenia przez
skalar
RozwiÄ…zania:
1 1 2
b) 2(5 - 4i) - (1 + 2i) = 10 - 8i - - i =92 - 82i.
3 3 3 3 3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Kombinacje dodawania, odejmowania i mnożenia przez
skalar
RozwiÄ…zania:
1 6 1 2
c) -2(1 - 3i) + (-1 + 2i) = -2 + i - + i =
5 7 5 5 7 7
5 2 7 10
= -14 - + 11i + i = -19 + 135i + i = -19 + 117i.
35 35 5 7 35 35 35 35
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 · z2 = (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Examples
(5 + 2i)(3 + 4i) =
= 5·3+5 · 4i+2i·3 + 2i·4i =
= 15 + 20i + 6i + 8i2 =
=15 + 26i - 8 = 7 + 26i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 · z2 = (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Examples
(5 + 2i)(3 + 4i) =
= 5·3+5 · 4i+2i·3 + 2i·4i =
= 15 + 20i + 6i + 8i2 =
=15 + 26i - 8 = 7 + 26i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 · z2 = (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Examples
Liczby zespolone w postaci
(5 + 2i)(3 + 4i) =
algebraicznej mnożymy tak
= 5·3+5 · 4i+2i·3 + 2i·4i =
jak dwumiany, czyli  każdy
= 15 + 20i + 6i + 8i2 =
wyraz przez każdy .
=15 + 26i - 8 = 7 + 26i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 · z2 = (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Examples
(5 + 2i)(3 + 4i) =
Uwzględniamy, że i2 = -1
= 5·3+5 · 4i+2i·3 + 2i·4i =
= 15 + 20i + 6i + 8i2 =
=15 + 26i - 8 = 7 + 26i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Dane sÄ… liczby zespolone z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 · z2 = (a1 + b1i) · (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Examples
(5 + 2i)(3 + 4i) =
i dodajemy.
= 5·3+5 · 4i+2i·3 + 2i·4i =
= 15 + 20i + 6i + 8i2 =
=15 + 26i - 8 = 7 + 26i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Zadania
Oblicz: a) (2 - 5i)(3 + 4i),
" "
3 2
b) ( + i)( + 2i).
2 3
RozwiÄ…zania
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
RozwiÄ…zania
a)
(2 - 5i)(3 + 4i) = 6 + 8i - 15i - 20i2 = 6 - 7i + 20 = 26 - 7i,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
RozwiÄ…zania
" " " " " "
3 2 3 2 3 2
b) ( + i)( + 2i) = · + · 2i + i + 2i2 =
2 3 2 3 2 3
" " " " " " " "
"
6 2 6 2 6-12
= + 3i+ i-2 = -12+3 3i+ i = +3 3+ 2i.
6 3 6 6 3 3 6 3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
Stosujemy wzór (1).
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
Pamiętamy, że (xy)2 = x2y2.
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
Uwzględniamy, że i2 = -1
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
W zbiorze liczb zespolonych zachodzą wzory skróconego mnożenia:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
(3) (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Examples
(5 + 3i)2 =
i dodajemy.
52 + 2 · 5 · 3i + (3i)2 =
25 + 30i + 9i2 =
25 + 30i - 9 = 16 + 30i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
Zadania
" "
Oblicz: a) (1 - 3i)2, b) ( 2 - 5i)( 2 + 5i).
RozwiÄ…zania
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
RozwiÄ…zania
a) (1 - 3i)2 = 1 - 6i + 9i2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i,
(2)
Stosujemy wzór skróconego mnożenia
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Wzory skróconego mnożenia
RozwiÄ…zania
" " "
b) ( 2 - 5i)( 2 + 5i) = ( 2)2 - (5i)2 =
2 - 25i2 = 2 + 25 = 27.
(3)
Stosujemy wzór skróconego mnożenia
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Liczby sprzężone
Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = a + bi
definiujemy
z = a - bi.
Examples
Wez
my z1 = 2+7i. Obliczając liczbę sprzężoną do liczby
zespolonej zmieniamy znak przed jej częścią urojoną.
Mamy zatem z1 = 2-7i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Liczby sprzężone
Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = a + bi
definiujemy
z = a - bi.
Examples
Wez
my z1 = 2+7i. Obliczając liczbę sprzężoną do liczby
zespolonej zmieniamy znak przed jej częścią urojoną.
Mamy zatem z1 = 2-7i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Liczby sprzężone
Zadanie
Znajdz
liczby sprzężone do liczb:
z2 = 5i + 1, z3 = 6i, z4 = 11.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Liczby sprzężone
Zadanie
Znajdz
liczby sprzężone do liczb:
z2 = 5i + 1, z3 = 6i, z4 = 11.
0dpowiedz

z2 = -5i + 1 = 1 - 5i, z3 = -6i, z4 = 11.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Obliczymy z · z.
z = 5 + 4i.
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Aby znalez
ć liczbę
sprzężoną do z
Obliczymy z · z.
zmieniamy znak przed jej
z = 5 + 4i.
częścią urojoną
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Obliczymy z · z.
z = 5 + 4i.
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Stosujemy wzór
Obliczymy z · z.
skróconego mnożenia
z = 5 + 4i.
(3).
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Pamiętamy, że
Obliczymy z · z.
(xy)2 = x2y2.
z = 5 + 4i.
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Uwzględniamy, że
Obliczymy z · z.
i2 = -1
z = 5 + 4i.
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie liczb sprzężonych
Examples
Dana jest liczba zespolona z = 5 - 4i.
Obliczymy z · z.
z = 5 + 4i.
Zatem z · z = (5 - 4i)(5 + 4i) =
52 - (4i)2 = 25 - 16i2 = 25 + 16 = 41
Zauważmy, że mnożąc w ten sam sposób dowolną niezerową
liczbę zespoloną przez liczbę do niej sprzężoną otrzymamy
zawsze liczbÄ™ rzeczywistÄ… dodatniÄ…. Fakt ten wykorzystamy
wykonujÄ…c dzielenie liczb zespolonych.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
1-2i (1-2i)(1+2i)
5+10i-i-2i2
=
(1)2-(2i)2
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
1-2i (1-2i)(1+2i)
5+10i-i-2i2
=
(1)2-(2i)2
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
Licznik i mianownik ułamka
1-2i (1-2i)(1+2i)
5+10i-i-2i2
mnożymy przez liczbę sprzężoną
=
(1)2-(2i)2
do mianownika.
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
Wykonujemy mnożenie stosując
1-2i (1-2i)(1+2i)
5+10i-i-2i2 w mianowniku wzór skróconego
=
(1)2-(2i)2
mnożenia (3).
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
1-2i (1-2i)(1+2i)
Uwzględniamy, że i2 = -1 i
5+10i-i-2i2
=
dodajemy.
(1)2-(2i)2
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
z1 z1z2
z1 : z2 = = .
z2 z2z2
Examples
(5-i)(1+2i)
5-i
= =
1-2i (1-2i)(1+2i)
Na koniec osobno zapisujemy
5+10i-i-2i2
=
część rzeczywistą i urojoną.
(1)2-(2i)2
5+9i+2 7+9i 7+9i
= = =
1-4i2 1+4 5
7 9
+ i.
5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
Zadania
"
1+4i 1+ 5i
Oblicz: a) , b) .
3+5i i-2
RozwiÄ…zania
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
(1+4i)(3-5i)
1+4i
a) = =
3+5i (3+5i)(3-5i)
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
(1+4i)(3-5i)
1+4i 3-5i+12i-20i2
a) = = =
3+5i (3+5i)(3-5i) (3)2-(5i)2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
(1+4i)(3-5i)
1+4i 3-5i+12i-20i2 3+7i+20 23+7i
a) = = = = =
3+5i (3+5i)(3-5i) (3)2-(5i)2 9-25i2 9+25
23+7i
= =
34
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
(1+4i)(3-5i)
1+4i 3-5i+12i-20i2 3+7i+20 23+7i
a) = = = = =
3+5i (3+5i)(3-5i) (3)2-(5i)2 9-25i2 9+25
23+7i 23 7
= = + i.
34 34 34
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
" "
1+ 5i 1+ 5i
b) = =
i-2 -2+i
Ten krok można pominąć, mnożymy wówczas licznik i mianownik
przez i + 2. W rezultacie w mianowniku otrzymamy liczbÄ™
rzeczywistÄ… ujemnÄ….
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
"
" " " "
(1+ 5i)(-2-i) -2-i-2 5i- 5i2
1+ 5i 1+ 5i
b) = = = =
i-2 -2+i (-2+i)(-2-i) (-2)2-i2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
"
" " " "
(1+ 5i)(-2-i) -2-i-2 5i- 5i2
1+ 5i 1+ 5i
b) = = = =
i-2 -2+i (-2+i)(-2-i) (-2)2-i2
" "
" "
-2-i-2 5i+ 5 -2+ 5-(1+2 5)i
= = =
4+1 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
RozwiÄ…zania
"
" " " "
(1+ 5i)(-2-i) -2-i-2 5i- 5i2
1+ 5i 1+ 5i
b) = = = =
i-2 -2+i (-2+i)(-2-i) (-2)2-i2
" "
" " " "
-2-i-2 5i+ 5 -2+ 5-(1+2 5)i -2+ 5 1+2 5
= = = - i.
4+1 5 5 5
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
Zadania
(5-3i)2
Oblicz: a)
3-i
6+i
b) i - 2 · .
(1+5i)2
RozwiÄ…zania
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
(5-3i)2 52-30i+9i2
a) = =
3-i 3-i
Najpierw w liczniku wykonujemy potęgowanie korzystając ze wzoru
skróconego mnożenia.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
(5-3i)2 52-30i+9i2 25-30i-9 16-30i
a) = = = =
3-i 3-i 3-i 3-i
Uwzględniamy, że i2 = -1 i dodajemy.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
(5-3i)2 52-30i+9i2 25-30i-9 16-30i
a) = = = =
3-i 3-i 3-i 3-i
(16-30i)(3+i)
48+16i-90i-30i2 48-74i+30
= = = =
(3-i)(3+i) 9-i2 9+1
Teraz wykonujemy dzielenie, mnożąc licznik i mianownik ułamka
przez liczbę sprzężoną do mianownika
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
(5-3i)2 52-30i+9i2 25-30i-9 16-30i
a) = = = =
3-i 3-i 3-i 3-i
(16-30i)(3+i)
48+16i-90i-30i2 48-74i+30
= = = =
(3-i)(3+i) 9-i2 9+1
78-74i 78 74 8 4
= - i = 710 - 710i = 74 - 72i.
10 10 10 5 5
Osobno zapisujemy część rzeczywistą i urojoną, na koniec skracamy
ułamki.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
6+i 6+i 6+i
b) i - 2 · = i - 2 · = i - 2 · =
(1+5i)2 1+10i+25i2 1+10i-25
Najpierw w mianowniku wykonujemy potęgowanie korzystając ze
wzorów skróconego mnożenia,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
6+i 6+i 6+i
b) i - 2 · = i - 2 · = i - 2 · =
(1+5i)2 1+10i+25i2 1+10i-25
6+i 6+i 6+i
= i - 2 · = i - 2 · = i - =
-24+10i 2(-12+5i) -12+5i
skracamy.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
6+i 6+i 6+i
b) i - 2 · = i - 2 · = i - 2 · =
(1+5i)2 1+10i+25i2 1+10i-25
6+i 6+i 6+i
= i - 2 · = i - 2 · = i - =
-24+10i 2(-12+5i) -12+5i
(6+i)(-12-5i)
-72-30i-12i-5i2 -67-42i
i - = i - = i - =
(-12+5i)(-12-5i) 144-25i2 169
Teraz wykonujemy dzielenie, mnożąc licznik i mianownik ułamka
przez liczbę sprzężoną do mianownika
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Podsumowanie
RozwiÄ…zania
6+i 6+i 6+i
b) i - 2 · = i - 2 · = i - 2 · =
(1+5i)2 1+10i+25i2 1+10i-25
6+i 6+i 6+i
= i - 2 · = i - 2 · = i - =
-24+10i 2(-12+5i) -12+5i
(6+i)(-12-5i)
-72-30i-12i-5i2 -67-42i
i - = i - = i - =
(-12+5i)(-12-5i) 144-25i2 169
67 42 67 42 67 42
= i - - - i = i + + i = + 1169i.
169 169 169 169 169
Osobno zapisujemy część rzeczywistą i urojoną pamiętając, że przed
ułamkiem mamy znak  - , czyli musimy zmienić znaki wewnątrz
nawiasu. Na koniec dodajemy.
dr Anna Chwastyk Matematyka1