Potęgowanie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Potęgowanie
Niech z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…) oraz n " N.
zn = |z|n(cos(n · Ä…) + i sin(n · Ä…)).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
"
y -1 2 7Ä„
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4
2
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
"
y -1 2 7Ä„
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4
2
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
"
y -1 2 7Ä„
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4
2
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
" Korzystamy ze wzoru:
y -1 2 7Ä„
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4 zn = |z|n(cos(n · Ä…) + i sin(n · Ä…)).
2
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
"
1
"
y -1 2 7Ä„
n
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = . n
a = a
|z| 2 4
2
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2 Korzystamy z okresowości funkcji sinus i
"
cos Ä… = = = ,
|z| 2
2
" cosinus, to znaczy ze wzorów
y -1 2 7Ä„
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4 sin(Ä… + 2Ä„) = sin Ä…,
2
" cos(Ä… + 2Ä„) = cos Ä….
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
Obliczymy (1 - i)8.
Oznaczymy z = 1 - i. Znajdziemy postać
trygonometrycznÄ… liczby z (Prezentacja 1.3).
Re z = x = 1 oraz Im z = y = -1.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (-1)2 = 2.
"
x 1 2
"
cos Ä… = = = ,
Wracamy do postaci algebraicznej,
|z| 2
2
"
y -1 2 7Ä„
odczytując z tabelki wartości cos 0 i sin 0.
"
sin Ä… = = = - . Zatem Ä… = .
|z| 2 4
2
Można też skorzystać z kalkulatora.
"
7Ä„ 7Ä„
Zatem z8 = ( 2)8(cos(8 · ) + i sin(8 · )) =
4 4
1
2
= (2 )8(cos 14Ä„ + i sin 14Ä„) =
= 24(cos 0 + i sin 0) =
= 16(1 + i · 0) = 16.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Oblicz:
" "
a) (1 + i)16, b) (1 + i 3)9, c) ( 3 + i)27,
" "
d) (-1 + i)27, e) (1 - i 3)7, f) (- 3 - i)5.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Oblicz:
" "
a) (1 + i)16, b) (1 + i 3)9, c) ( 3 + i)27,
" "
d) (-1 + i)27, e) (1 - i 3)7, f) (- 3 - i)5.
0dpowiedzi:
a) 28, b) -29, c) 227i,
" "
d) 213(1 + i), e) 64 - 64 3i, f) 16 3 - 16i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1