Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby
zespolonej
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
PA
ASZCZYZNA ZESPOLONA
Im
1
Re
Oś Ox na płaszczyz
nie zespolonej jest obrazem zbioru liczb
rzeczywistych i nosi nazwÄ™ osi rzeczywistej, zaÅ› oÅ› Oy jest obrazem
zbioru liczb czysto urojonych i nazywamy jÄ… osiÄ… urojonÄ….
dr Anna Chwastyk Matematyka1
PA
ASZCZYZNA ZESPOLONA
Im
1
Re
Oś Ox na płaszczyz
nie zespolonej jest obrazem zbioru liczb
rzeczywistych i nosi nazwÄ™ osi rzeczywistej, zaÅ› oÅ› Oy jest
obrazem zbioru liczb czysto urojonych i nazywamy jÄ… osiÄ… urojonÄ….
dr Anna Chwastyk Matematyka1
PA
ASZCZYZNA ZESPOLONA
Im
1
Re
Oś Ox na płaszczyz
nie zespolonej jest obrazem zbioru liczb
rzeczywistych i nosi nazwÄ™ osi rzeczywistej, zaÅ› oÅ› Oy jest obrazem
zbioru liczb czysto urojonych i nazywamy jÄ… osiÄ… urojonÄ….
dr Anna Chwastyk Matematyka1
PA
ASZCZYZNA ZESPOLONA
Im
y
x + yi
x
Re
Każdej liczbie zespolonej z = x + yi na płaszczyz
nie zespolonej
można jednoznacznie przyporządkować punkt o współrzędnych
(x, y) lub wektor o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie
(x, y). Wektor ten nazywamy wektorem wodzÄ…cym punktu z.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
PA
ASZCZYZNA ZESPOLONA
Im
y
x + yi
x
Re
Każdej liczbie zespolonej z = x + yi na płaszczyz
nie zespolonej
można jednoznacznie przyporządkować punkt o współrzędnych
(x, y) lub wektor o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie
(x, y). Wektor ten nazywamy wektorem wodzÄ…cym punktu z.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykłady
Im
4 + 3i
1
1
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykłady
Im
4 + 3i
-3 + 2i
1
1
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykłady
Im
4 + 3i
-3 + 2i
1
1
Re
3 - 2i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykłady
Im
4 + 3i
-3 + 2i
1
1
Re
-2 - 2i 3 - 2i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
0 1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
0 1 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
0 1 2
|2| = 2,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
-1 0 1 2
|2| = 2,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
-1 0 1 2
|2| = 2, | - 1| = 1,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
-3 -1 0 1 2
|2| = 2, | - 1| = 1,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby liczby rzeczywistej
Moduł (czyli wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest
to odległość punktu odpowiadającego tej liczbie na osi
liczbowej od punktu odpowiadajÄ…cego liczbie 0.
x
-3 -1 0 1 2
|2| = 2, | - 1| = 1, | - 3| = 3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej
Moduł liczby zespolonej jest to odległość punktu
odpowiadającego tej liczbie na płaszczyz
nie zespolonej od
początku układu współrzędnych, czyli punktu 0 = 0 + 0i.
Im
y
x + yi
|z|
x
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej
Moduł liczby zespolonej jest to odległość punktu
odpowiadającego tej liczbie na płaszczyz
nie zespolonej od
początku układu współrzędnych, czyli punktu 0 = 0 + 0i.
Im
Na mocy twierdzenia
y
x + yi
Pitagorasa
|z|
|z| = x2 + y2.
x
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
z = 3
1
1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
z = 3
Z rysunku widać, że
1
|z| = 3.
1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
z = 3= 3 + 0i
Z rysunku widać, że
|z| = 3.
1
Lub ze wzoru
1 3
" "
Re
|z| = 32 + 02 = 9 = 3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
1
z = -2
-2 1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
z = -2
1
Z rysunku widać, że
|z| = 2.
-2 1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
z = -2= -2 + 0i
Z rysunku widać, że
|z| = 2.
1
Lub ze wzoru
-2 1 3
Re
|z| = (-2)2 + 02 =
"
= 4 = 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
1
z = 4i
-2 1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
z = 4i
1
Z rysunku widać, że
|z| = 4.
-2 1 3
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
z = 4i= 0 + 4i
Z rysunku widać, że
1
|z| = 4.
Lub ze wzoru
-2 1 3
Re
"
|z| = 02 + 42 = 4
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
1
z = -3i
-2 1 3
Re
-3i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
z = -3i
1
Z rysunku widać, że
|z| = 3.
-2 1 3
Re
-3i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
z = -3i= 0 - 3i
Z rysunku widać, że
1
|z| = 3.
Lub ze wzoru
-2 1 3
Re
|z| = 02 + (-3)2 = 3
-3i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
-3 + 2i
1
z = -3 + 2i
-2 1 3
Re
-3i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Moduł liczby zespolonej - przykłady
Im
4i
z = -3 + 2i
-3 + 2i
ze wzoru mamy:
1
|z| = (-3)2 + 22 =
"
-2 1 3
Re
= 13.
-3i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej
Argument liczby z = 0 (oznaczany arg(z)) jest miarÄ… kÄ…ta

zorientowanego, jaki tworzy dodatnia część osi rzeczywistej
z wektorem wodzącym liczby z. Przyjmujemy, że argument
liczby z = 0 wynosi 0.(1)
Im
y
x + yi
Ä…
x
Re
(1)
W niektórych podręcznikach do algebry przyjmuje się, że argument liczby 0 jest nieokreślony.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej
Argument liczby z = 0 (oznaczany arg(z)) jest miarÄ… kÄ…ta

zorientowanego, jaki tworzy dodatnia część osi rzeczywistej
z wektorem wodzącym liczby z. Przyjmujemy, że argument
liczby z = 0 wynosi 0.(1)
Im
Z definicji funkcji
y
x + yi
trygonometrycznych:
|z|
x
cos Ä… = ,
|z|
y
Ä…
sin Ä… = .
|z|
x
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument główny
Argument liczby zespolonej z nie jest
określony jednoznacznie. Dwa argumenty tej
samej liczby różnią się o wielokrotność 2Ą.
Argument liczby zespolonej z należący do przedziału
< 0, 2Ą)(2) nazywamy argumentem głównym i oznaczamy
Arg(z).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument główny
Argument liczby zespolonej z nie jest
określony jednoznacznie. Dwa argumenty tej
samej liczby różnią się o wielokrotność 2Ą.
Argument liczby zespolonej z należący do przedziału
< 0, 2Ą)(2) nazywamy argumentem głównym i oznaczamy
Arg(z).
(2)
W niektórych podręcznikach do algebry przyjmuje się, że argument główny należy do przedziału (-Ą, Ą >.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Uwaga
Na sprawdzianach i egzaminie będzie
II ćw. I ćw.
można korzystać z prezentowanych
III ćw. IV ćw.
poniżej tabelek z wartościami funkcji
trygonometrycznych.
2Ä„ 3Ä„ 5Ä„
Ä„
ą - II ćw.
3 4 6
"
"
1
2
sin Ä… 3 0
2
2
"
2
"
1
cos Ä… - 2
2 - 3 -1
2 -
2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
7Ä„ 5Ä„ 4Ä„ 3Ä„
2 3
1
sin ą 0 1 ą - III ćw.
6 4 3 2
2 2 2 " "
" "
1 2 3
3 2 1 sin Ä… - - - -1
cos Ä… 1 0
2 2 2
" "
2 2 2
"
"
1
3 cos Ä… 3 2
tg Ä… - - - - 0
0 1
3
2 2 2
3
"
"
3
ctg Ä… -
1 0
3
3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
1
2 -
sin Ä… 3 - 2
0
- 2
"
2
"
1
2
cos Ä…
3 1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
z = 3
1
1 2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
z = 3
Z rysunku widać, że
1
Arg(z) = Ä… = 0
1 2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
1
z = 3i
1 2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
z = 3i
1 Ä…
Z rysunku widać, że
Ä„
Arg(z) = Ä… = (= 90o)
1 2
2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
1
z = -4
-4 1 2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
z = -4
Ä…1
Z rysunku widać, że
Arg(z) = Ä… = Ä„ (= 180o)
-4 1 2
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
1
z = -2i
-4 1 2
Re
-2i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
z = -2i
Z rysunku widać, że
1
3Ä„
Arg(z) = Ä… =
2
-4 1 2
Re
Ä… (= 270o)
-2i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady
Im
3i
1
-4 1 2
Re
-2i
Oczywiście w przykładach tych można korzystać również ze
wzorów, tak jak w kolejnych...
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
Im
1 1 + i
Ä…
z = 1 + i
1
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
z = 1 + i
Z rysunku widać, że drugie ramię kąta ą
leży w pierwszej ćwiartce układu.
Im
Re z = x = 1 oraz Im z = y = 1.
1 1 + i
" "
Ä…
|z| = x2 + y2 = 12 + 12 = 2,
" "
1
Re
x 1 1
" " "2 2
cos Ä… = = = · = ,
|z| 2
2 2 2
"
y
1 2
"
sin Ä… = = = ,
|z| 2
2
Ä„
Zatem Ä… = .
4
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„
ą - I ćw. 0
6 3 2
4
"
"
1 3
2
sin Ä… 0 1
2 2
2
"
"
3 1
cos Ä…
2
1 0
2 2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
Im
"
-1 + 3i
1 1 + i
"
Ä…
z = -1 + 3i, II ćwiartka układu
1
Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
"
z = -1 + 3i, II ćwiartka układu
"
Re z = x = -1 oraz Im z = y = 3.
Im
"
" 2
|z| = x2 + y2 = (-1)2 + 3 =
-1 + 3i
1 1 + i
"
1 + 3 = 2,
Ä…
1 x -1 1
Re Ä… = = = - ,
cos
|z| 2 2
"
y 3
sin Ä… = = .
|z| 2
2Ä„
Zatem Ä… = .
3
3Ä„ 5Ä„
Ä„
2Ä„
ą - II ćw.
4 6
3
"
1
"
2
sin Ä… 0
3 2
2
"
2
"
3
cos Ä…
-1
-1 - 22 -
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
Im
"
-1 + 3i
1 1 + i
"
Ä…
z = - 3 - i, III ćwiartka układu
" 1
Re
- 3 - i
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
"
z = - 3 - i, III ćwiartka układu
"
Im Re z = x = - 3 oraz Im z = y = -1.
"
"
-1 + 3i
|z| = x2 + y2 = (- 3)2 + (-1)2 =
1 1 + i
"
Ä…
3 + 1 = 2,
" 1 " "
Re
x - 3 3
- 3 - i
cos Ä… = = = - ,
|z| 2 2
y -1 1
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
7Ä„
Zatem Ä… = .
6
7Ä„ 5Ä„ 4Ä„ 3Ä„
ą - III ćw.
6 4 3 2
" "
2 3
sin Ä… -1 - - -1
2 2 2
" "
3 2
cos Ä…
- - -1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
Im
"
-1 + 3i
1 1 + i
Ä…
z = 2 - 2i, IV ćwiartka układu
" 1
Re
- 3 - i
2 - 2i
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Argument liczby zespolonej - przykłady c.d.
z = 2 - 2i, IV ćwiartka układu
Im Re z = x = 2 oraz Im z = y = -2.
"
"
-1 + 3i
|z| = x2 + y2 = 22 + (-2)2 = 8 =
1 1 + i
" "
Ä…
4 · 2 = 2 2,
" 1 "
Re
x 2 2
- 3 - i "
cos Ä… = = = ,
|z| 2"
2 2
2 - 2i y -2 2
"
sin Ä… = = = - .
|z| 2
2 2
7Ä„
Zatem Ä… = .
4
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
W poprzednich przykładach nie trzeba rysować rysunku,
aby określić, w której ćwiartce układu leży kąt ą.
Wystarczy zapamiętać prosty wierszyk:
W pierwszej wszystkie" sÄ… dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.
"
wszystkie oznacza oczywiście  wszystkie funkcje
trygonometryczne .
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić za
pomocą WSPÓA
RZ
DNYCH KARTEZJAC
SKICH podajÄ…c
współrzędną x-ową i y-ową, czyli uporządkowaną parę liczb, na
przykład (1, 1).
1
1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić za
pomocą WSPÓA
RZ
DNYCH KARTEZJAC
SKICH podajÄ…c
współrzędną x-ową i y-ową, czyli uporządkowaną parę liczb, na
przykład (1, 1).
1
1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić za
pomocą WSPÓA
RZ
DNYCH KARTEZJAC
SKICH podajÄ…c
współrzędną x-ową i y-ową, czyli uporządkowaną parę liczb, na
przykład (1, 1).
1
1
Współrzędnym kartezjańskim odpowiada postać algebraiczna liczby
zespolonej: a + bi (a, b).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić
również za pomocą tak zwanych WSPÓA
RZ
DNYCH
BIEGUNOWYCH, podając odległość punktu od początku układu
"
współrzędnych (czyli moduł), na przykład 2 oraz miarę kąta
skierowanego, na przykład 45o.
1
1
1
1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić
również za pomocą tak zwanych WSPÓA
RZ
DNYCH
BIEGUNOWYCH, podając odległość punktu od początku układu
"
współrzędnych (czyli moduł), na przykład 2 oraz miarę kąta
skierowanego, na przykład 45o.
1
1
1
1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Położenie punktu w układzie współrzędnych można określić
również za pomocą tak zwanych WSPÓA
RZ
DNYCH
BIEGUNOWYCH, podając odległość punktu od początku układu
"
współrzędnych (czyli moduł), na przykład 2 oraz miarę kąta
skierowanego, na przykład 45o.
1
1
1
1
Współrzędnym biegunowym odpowiada postać trygonometryczna
liczby zespolonej.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Postać trygonometryczna
Wez
my dowolnÄ…, niezerowÄ… liczbÄ™ zespolonÄ… w postaci
algebraicznej z = x + yi, gdzie x, y " R, z = 0.

y
x
z = x + yi = |z|(|z| + ) = |z|(cos Ä… + i sin Ä…).
|z|
Zatem:
Każdą niezerową liczbę zespoloną z można zapisać w postaci
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…), gdzie Ä… = arg(z)
zwanej postaciÄ… trygonometrycznÄ… liczby zespolonej.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Postać trygonometryczna
Wez
my dowolnÄ…, niezerowÄ… liczbÄ™ zespolonÄ… w postaci
algebraicznej z = x + yi, gdzie x, y " R, z = 0.

y
x
z = x + yi = |z|(|z| + ) = |z|(cos Ä… + i sin Ä…).
|z|
Zatem:
Każdą niezerową liczbę zespoloną z można zapisać w postaci
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…), gdzie Ä… = arg(z)
zwanej postaciÄ… trygonometrycznÄ… liczby zespolonej.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 1 - 3i, postać algebraiczna.
"
Zatem Re z = x = 1 oraz Im z = y = - 3.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (- 3)2 = 2,
x 1
cos Ä… = = ,
|z| 2
" "
y - 3 3
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
sinus jest ujemny, a cosinus dodatni, czyli IV ćwiartka:
5Ä„
odczytujemy z tabelki Ä… = .
3
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…),
5Ä„ 5Ä„
czyli z = 2(cos + i sin ).
3 3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 1 - 3i, postać algebraiczna.
"
Zatem Re z = x = 1 oraz Im z = y = - 3.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (- 3)2 = 2,
x 1
cos Ä… = = ,
|z| 2
" "
y - 3 3
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
sinus jest ujemny, a cosinus dodatni, czyli IV ćwiartka:
5Ä„
odczytujemy z tabelki Ä… = .
3
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…),
5Ä„ 5Ä„
czyli z = 2(cos + i sin ).
3 3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 1 - 3i, postać algebraiczna.
"
Zatem Re z = x = 1 oraz Im z = y = - 3.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (- 3)2 = 2,
x 1
cos Ä… = = ,
|z| 2
" "
y - 3 3
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
sinus jest ujemny, a cosinus dodatni, czyli IV ćwiartka:
5Ä„
odczytujemy z tabelki Ä… = .
3
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…),
5Ä„ 5Ä„
czyli z = 2(cos + i sin ).
3 3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 1 - 3i, postać algebraiczna.
"
Zatem Re z = x = 1 oraz Im z = y = - 3.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (- 3)2 = 2,
x 1
cos Ä… = = ,
|z| 2
" "
y - 3 3
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
sinus jest ujemny, a cosinus dodatni, czyli IV ćwiartka:
5Ä„
odczytujemy z tabelki Ä… = .
3
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…),
5Ä„ 5Ä„
czyli z = 2(cos + i sin ).
3 3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 1 - 3i, postać algebraiczna.
"
Zatem Re z = x = 1 oraz Im z = y = - 3.
"
|z| = x2 + y2 = 12 + (- 3)2 = 2,
x 1
cos Ä… = = ,
|z| 2
" "
y - 3 3
sin Ä… = = = - .
|z| 2 2
sinus jest ujemny, a cosinus dodatni, czyli IV ćwiartka:
5Ä„
odczytujemy z tabelki Ä… = .
3
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…),
5Ä„ 5Ä„
czyli z = 2(cos + i sin ).
3 3
5Ä„ 7Ä„ 11Ä„
2Ä„
ą - IV ćw.
3 4 6
"
"
2
3 -1 0
sin Ä… -
- 2
2
2
"
"
1
2
3
cos Ä…
1
2
2
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Postać wykładnicza
Postać wykładnicza liczby zespolonej niesie dokładnie te
same informacje, co postać trygonometryczna, tylko są one
zapisane w inny sposób.
Postać trygonometryczna
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…)
Postać wykładnicza
z = |z|eÄ…i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Postać wykładnicza
Postać wykładnicza liczby zespolonej niesie dokładnie te
same informacje, co postać trygonometryczna, tylko są one
zapisane w inny sposób.
Postać trygonometryczna
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…)
Postać wykładnicza
z = |z|eÄ…i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Postać wykładnicza
Postać wykładnicza liczby zespolonej niesie dokładnie te
same informacje, co postać trygonometryczna, tylko są one
zapisane w inny sposób.
Postać trygonometryczna
z = |z|(cos Ä… + i sin Ä…)
Postać wykładnicza
z = |z|eÄ…i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 3 3 + 3i, postać algebraiczna. Dla ułatwienia obliczeń wyłączymy 3 przed
" "
nawias: z = 3( 3 + i) i przedstawimy najpierw liczbÄ™ w = 3 + i w postaci
trygonometrycznej.
"
Zatem Re z = x = 3 oraz Im z = y = 1.
"
|z| = x2 + y2 = ( 3)2 + 12 = 2,
"
x 3
cos Ä… = = ,
|z| 2
y
1
sin Ä… = = .
|z| 2
Ä„
sinus i cosinus są dodatnie, czyli I ćwiartka. Odczytujemy z tabelki ą = .
6
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA: w = |z|(cos ą + i sin ą),
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
czyli w = 2(cos + i sin ). A stÄ…d z = 3w = 6(cos + i sin ).
6 6 6 6
POSTAĆ WYKA
ADNICZA: z = |z|eÄ…i,
Ä„
i
6
zatem z = 6e .
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin Ä… 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos Ä…
1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 3 3 + 3i, postać algebraiczna. Dla ułatwienia obliczeń wyłączymy 3 przed
" "
nawias: z = 3( 3 + i) i przedstawimy najpierw liczbÄ™ w = 3 + i w postaci
trygonometrycznej.
"
Zatem Re z = x = 3 oraz Im z = y = 1.
"
|z| = x2 + y2 = ( 3)2 + 12 = 2,
"
x 3
cos Ä… = = ,
|z| 2
y
1
sin Ä… = = .
|z| 2
Ä„
sinus i cosinus są dodatnie, czyli I ćwiartka. Odczytujemy z tabelki ą = .
6
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA: w = |z|(cos ą + i sin ą),
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
czyli w = 2(cos + i sin ). A stÄ…d z = 3w = 6(cos + i sin ).
6 6 6 6
POSTAĆ WYKA
ADNICZA: z = |z|eÄ…i,
Ä„
i
6
zatem z = 6e .
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin Ä… 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos Ä…
1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 3 3 + 3i, postać algebraiczna. Dla ułatwienia obliczeń wyłączymy 3 przed
" "
nawias: z = 3( 3 + i) i przedstawimy najpierw liczbÄ™ w = 3 + i w postaci
trygonometrycznej.
"
Zatem Re z = x = 3 oraz Im z = y = 1.
"
|z| = x2 + y2 = ( 3)2 + 12 = 2,
"
x 3
cos Ä… = = ,
|z| 2
y
1
sin Ä… = = .
|z| 2
Ä„
sinus i cosinus są dodatnie, czyli I ćwiartka. Odczytujemy z tabelki ą = .
6
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA: w = |z|(cos ą + i sin ą),
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
czyli w = 2(cos + i sin ). A stÄ…d z = 3w = 6(cos + i sin ).
6 6 6 6
POSTAĆ WYKA
ADNICZA: z = |z|eÄ…i,
Ä„
i
6
zatem z = 6e .
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin Ä… 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos Ä…
1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 3 3 + 3i, postać algebraiczna. Dla ułatwienia obliczeń wyłączymy 3 przed
" "
nawias: z = 3( 3 + i) i przedstawimy najpierw liczbÄ™ w = 3 + i w postaci
trygonometrycznej.
"
Zatem Re z = x = 3 oraz Im z = y = 1.
"
|z| = x2 + y2 = ( 3)2 + 12 = 2,
"
x 3
cos Ä… = = ,
|z| 2
y
1
sin Ä… = = .
|z| 2
Ä„
sinus i cosinus są dodatnie, czyli I ćwiartka. Odczytujemy z tabelki ą = .
6
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA: w = |z|(cos ą + i sin ą),
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
czyli w = 2(cos + i sin ). A stÄ…d z = 3w = 6(cos + i sin ).
6 6 6 6
POSTAĆ WYKA
ADNICZA: z = |z|eÄ…i,
Ä„
i
6
zatem z = 6e .
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin Ä… 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos Ä…
1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przykład
"
Wez
my z = 3 3 + 3i, postać algebraiczna. Dla ułatwienia obliczeń wyłączymy 3 przed
" "
nawias: z = 3( 3 + i) i przedstawimy najpierw liczbÄ™ w = 3 + i w postaci
trygonometrycznej.
"
Zatem Re z = x = 3 oraz Im z = y = 1.
"
|z| = x2 + y2 = ( 3)2 + 12 = 2,
"
x 3
cos Ä… = = ,
|z| 2
y
1
sin Ä… = = .
|z| 2
Ä„
sinus i cosinus są dodatnie, czyli I ćwiartka. Odczytujemy z tabelki ą = .
6
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA: w = |z|(cos ą + i sin ą),
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
czyli w = 2(cos + i sin ). A stÄ…d z = 3w = 6(cos + i sin ).
6 6 6 6
POSTAĆ WYKA
ADNICZA: z = |z|eÄ…i,
Ä„
i
6
zatem z = 6e .
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ą - I ćw. 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin Ä… 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos Ä…
1 0
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadanie
Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące liczby
zespolone:
a) 8, b) - 7, c) 5i, d) - 9i,
e) 4 + 4i, f) - 1 + i, g) - 1 - i, h) 1 - i,
" " " "
i) 3 + i, j) - 2 3 + 2i, k) - 3 - i l) 3 - i,
" " "
m) 2 + 2i 3, n) - 1 + i 3, o) - 5 - 5i 3.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
0dpowiedzi
a) 8 = 8(cos 0 + i sin 0), b) - 7 = 7(cos Ä„ + i sin Ä„),
Ä„ Ä„ 3Ä„ 3Ä„
c) 5i = 5(cos + i sin ), d) - 9i = 9(cos + i sin ),
2 2 2 2
"
Ä„ Ä„
e) 4 + 4i = 4 2(cos + i sin ),
4 4
"
3Ä„ 3Ä„
f) - 1 + i = 2(cos + i sin ),
4 4
"
5Ä„ 5Ä„
g) -1 - i = 2(cos + i sin ),
4 4
"
7Ä„ 7Ä„
h) 1 - i = 2(cos + i sin ),
4 4
" "
Ä„ Ä„ 5Ä„ 5Ä„
i) 3 + i = 2(cos + i sin ), j) - 2 3 + 2i = 4(cos + i sin ),
6 6 6 6
"
7Ä„ 7Ä„
k) - 3 - i = 2(cos + i sin )
6 6
"
11Ä„ 11Ä„
l) 3 - i = 2(cos + i sin ),
6 6
"
Ä„ Ä„
m) 1 + i 3 = 2(cos + i sin ),
3 3
"
2Ä„ 2Ä„
n) - 1 + i 3 = 2(cos + i sin ),
3 3
"
4Ä„ 4Ä„
o) -5 - 5i 3 = 10(cos + i sin ).
3 3
dr Anna Chwastyk Matematyka1