Obliczanie pierwiastków w zbiorze liczb
zespolonych
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Definicja
Pierwiastkiem stopnia n " N z liczby
zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną
w spełniającą warunek
wn = z.
Definicja
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy
"
n
z
.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Definicja
Pierwiastkiem stopnia n " N z liczby
zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną
w spełniającą warunek
wn = z.
Definicja
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy
"
n
z
.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) 4 = {-2, 2}, ponieważ (-2)2 = 4 oraz 22 = 4.
"
2) -25 = {-5i, 5i}, ponieważ (-5i)2 = 25i2 = -25 oraz
(5i)2 = -25.
"
4
3) 81 = {-3, 3, -3i, 3i}, ponieważ
(-3)4 = 34 = (-3i)4 = (3i)4 = 81.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) 4 = {-2, 2}, ponieważ (-2)2 = 4 oraz 22 = 4.
"
2) -25 = {-5i, 5i}, ponieważ (-5i)2 = 25i2 = -25 oraz
(5i)2 = -25.
"
4
3) 81 = {-3, 3, -3i, 3i}, ponieważ
(-3)4 = 34 = (-3i)4 = (3i)4 = 81.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) 4 = {-2, 2}, ponieważ (-2)2 = 4 oraz 22 = 4.
"
2) -25 = {-5i, 5i}, ponieważ (-5i)2 = 25i2 = -25 oraz
(5i)2 = -25.
"
4
3) 81 = {-3, 3, -3i, 3i}, ponieważ
(-3)4 = 34 = (-3i)4 = (3i)4 = 81.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Pamiętamy, że (ab)2 = a2b2.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Uwzględniamy, że i2 = -1
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Dwie liczby zespolone w postaci algebraicznej są sobie równe, gdy
ich części rzeczywiste i części urojone są sobie równe.
Otrzymujemy zatem układ równań.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Dzielimy obie strony drugiego równania przez 2.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Z drugiego równania wynika wówczas:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Podstawiamy do pierwszego równania.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Mnożymy obie strony równania przez x2, otrzymując równanie
wielomianowe stopnia 4.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
x jest liczbą rzeczywistą, czyli t nie może być ujemne. Mamy
zatem równanie kwadratowe.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
Liczba -1 nie może być rozwiązaniem równania.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
Examples
4) Obliczymy pierwiastki stopnia 2 z liczby 3 - 4i 2
2
x2 - - = 3
x
korzystajÄ…c z definicji.
4
x2 - = 3
Załóżmy, że liczba z = x + yi, (gdzie x, y " R)
x2
x4 - 4 = 3x2
jest szukanym pierwiastkiem.
x4 - 3x2 - 4 = 0
Zgodnie z definicją mamy wówczas:
Podstawiamy x2 = t, t e" 0,
z2 = 3 - 4i, zatem (x + yi)2 = 3 - 4i
t2 - 3t - 4 = 0,
x2 + 2xyi + (yi)2 = 3 - 4i,
" = b2 - 4ac = (-3)2 + 16 = 25
x2 + 2xyi + y2i2 = 3 - 4i,
"
-b+ " 3+5
t1 = = = 4,
x2 + 2xyi-y2 = 3-4i,
2a 2
"
-b- " 3-5
x2 - y2 = 3
t2 = = = -1,
2a 2
2xy = -4
Zatem x2 = 4, czyli x = 2 lub x = -2,
2
x2 - y2 = 3 A stÄ…d y = - = -1, a drugim przypadku
x
xy = -2 y = 1. Otrzymaliśmy zatem z = 2 - i lub
2
x, y = 0 oraz y = - z = -2 + i.

x
"
Odpowiedz
: 3 - 4i = {2 - i, -2 + i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
" "
KorzystajÄ…c z definicji oblicz: a) 3 + 4i, b) -3 + 4i.
Odpowiedzi:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
" "
KorzystajÄ…c z definicji oblicz: a) 3 + 4i, b) -3 + 4i.
Odpowiedzi:
"
a) 3 + 4i = {2 + i, -2 - i},
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
" "
KorzystajÄ…c z definicji oblicz: a) 3 + 4i, b) -3 + 4i.
Odpowiedzi:
"
a) 3 + 4i = {2 + i, -2 - i},
"
b) -3 + 4i = {1 + 2i, -1 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Twierdzenie
Każda liczba zespolona z = |z|(cos ą + i sin ą) ma dokładnie n
pierwiastków n-tego stopnia. Zbiór tych pierwiastków ma postać:
"
n
z = {w0, w1, ..., wn-1}, gdzie
ą + 2kĄ ą + 2kĄ
n
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
algebraiczna) przedstawimy w postaci
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
trygonometrycznej.
Re z = x = -1 oraz
"
Im z = y = - 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
|z| = x2 + y2 =
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
" "
= (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
x -1
cos Ä… = = ,
|z| 2
4Ä„ 4Ä„ "
" +2·0·Ä„
2 y - 3
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) = sin Ä… = = .
2 2 |z| 2
4Ä„
" " "
" " Zatem Ä… = .
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6 3
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i ,
3 2 3 2 2 2 2
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) = Zauważmy, że argumenty funkcji
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
cosinus i sinus są równe. Zatem nie
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
będziemy powtarzać tych samych
" " " "
obliczeń, ale wykonywać kolejne.
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
1) Obliczymy -1 - i 3 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 2
"
"
oraz -1 - i 3 = {w0, w1}. Czyli k = 0, 1.
Liczbę z = -1 - i 3 (postać
algebraiczna) przedstawimy w postaci
trygonometrycznej.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
Re z = x = -1 oraz
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n "
Im z = y = - 3.
|z| = x2 + y2 =
" "
4Ä„ 4Ä„
" +2·0·Ä„
2 = (-1)2 + (- 3)2 = 4 = 2
3 3
w0 = 2(cos +i sin ) =
2 2
x -1
cos Ä… = = ,
" " " |z| 2
" "
"
4Ä„ 1 2Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2(- + i ) = - + i , y - 3
3 2 3 2 2 2 2 sin Ä… = = .
|z| 2
4Ä„
Zatem Ä… = .
3
4Ä„ 4Ä„ 6Ä„
" +2·1·Ä„ +
3 3 3
w1 = 2(cos + i sin ) =
2 2
" " "
" "
10Ä„ 1 5Ä„ 1 3 2 6
2(cos( · ) + i sin ) = 2( - i ) = - i .
3 2 3 2 2 2 2
" " " "
"
2 6 2 6
Zatem -1 - i 3 = {- + i , - i }.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
3
2) Obliczymy 27i korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 3
"
3
oraz 27i = {w0, w1, w2} . Czyli k = 0, 1, 2.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = 27i (postać algebraiczna)
Ä„ Ä„
" +2·0·Ä„ przedstawimy w postaci
3
2 2
w0 = 27(cos + i sin ) =
3
"3 " trygonometrycznej.
Ä„ 1 Ä„ 3 1 3 3 3
= 3(cos( · ) + i sin ) = 3( + i ) = + i,
2 3 6 2 2 2 2 Re z = x = 0 oraz
Im z = y = 27.
Ä„ Ä„
" +2·1·Ä„ +2Ä„
|z| = x2 + y2 =
3
2 2
w1 = 27(cos + i sin ) =
3 3
= 02 + 272 = 27
Ä„ 4Ä„ 5Ä„
+
2 2 2 5Ä„ 1 5Ä„
x 0
= 3(cos + i sin ) = 3(cos( · ) + i sin ) =
cos Ä… = = = 0,
3 2 3 6
" "3 |z| 27
3 1 3 3 3 y
27
= 3(- + i ) = - + i,
sin Ä… = = = 1.
2 2 2 2
|z| 27
Ä„
Zatem Ä… = .
2
Ä„ Ä„
" +2·2·Ä„ +4Ä„
3
2 2
w2 = 27(cos + i sin ) =
3 3
Ä„ 8Ä„ 9Ä„
+
2 2 2 9Ä„ 3Ä„
= 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) =
3 3 6 2
= 3(0 - 1i) = -3i.
" "
"
3 3 3 3 3 3 3
Zatem 27i = { + i, - + i, -3i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
Fakt
Zbiór pierwiastków stopnia n e" 3 z liczby zespolonej z pokrywa
się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w
okręg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu
n
|z|.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Rysunek 1 - pierwiastki stopnia 3 z 27i
" "
"
3
3 3
27i = {3 3 + i, -3 3 + i, -3i}.
2 2 2 2
Im
3
w1 w0
2
" "
3 3
-3 3 1 Re
2 2
w2
-3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Examples
"
4
3) Obliczymy -16 korzystajÄ…c z twierdzenia.
Liczba pierwiastków jest równa stopniowi pierwiastka, czyli mamy n = 4
"
4
oraz -16 = {w0, w1, w2, w3}. Czyli k = 0, 1, 2, 3.
Stosujemy wzór:
n ą+2kĄ ą+2kĄ
wk = |z|(cos + i sin ) dla k = 0, 1, ..., n - 1.
n n
Liczbę z = -16 = -16 + 0i (postać
"
4 Ä„+2·0·Ä„ Ä„
w0 = 16(cos + i sin ) =
4 4 algebraiczna) przedstawimy w postaci
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 2 + 2i,
trygonometrycznej.
4 4 2 2
Re z = x = -16 oraz
"
4 Ä„+2·1·Ä„ Ä„+2Ä„
Im z = y = 0.
w1 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
|z| = x2 + y2 =
3Ä„ 3Ä„ 2 2
= 2(cos + i sin ) = 2(- + i ) = - 2 + 2i,
4 4 2 2
= (-16)2 + 02 = 16
x -16
cos Ä… = = = -1,
"
|z| 16
4 Ä„+2·2·Ä„ Ä„+4Ä„
w2 = 16(cos + i sin ) =
y
0
4 4"
" sin Ä… = = = 0.
" "
|z| 16
5Ä„ 5Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = - 2 - 2i,
Zatem Ä… = Ä„.
4 4 2 2
"
4 Ä„+2·3·Ä„ Ä„+6Ä„
w3 = 16(cos + i sin ) =
4 4
" "
" "
7Ä„ 7Ä„ 2 2
2(cos + i sin ) = 2( - i ) = 2 - 2i,
4 4 2 2
Zatem
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Rysunek 2 - pierwiastki stopnia 4 z -16
" " " " " " " " "
4
-16 = { 2 + 2i, - 2 + 2i, - 2 - 2i, 2 - 2i}
Im
"
2
w1 w0
" "
1 Re
- 2 2
w2 " w3
- 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadanie
" "
a) 2 + 2 3i, b) 9i,
" "
3 3
c) -125i, d) -1.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadanie
" "
a) 2 + 2 3i, b) 9i,
" "
3 3
c) -125i, d) -1.
0dpowiedzi:
" " "
a) 2 + 2i 3 = { 3 + i, - 3 - i},
" " " "
"
3 2 3 2
b) 9i = {3 2 + i, -3 2 - i},
2 2 2 2
" "
"
3 5 5 3 5
c) -125i = {5i, -5 3 - i, - i},
2 2
" "2 2
"
3
3 3
d) 1 = {1, -1 + i, -1 - i}.
2 2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1