Rozwiązywanie równań kwadratowych w zbiorze
liczb zespolonych.
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Równanie kwadratowe
Równaniem kwadratowym o współczynnikach rzeczywistych
nazywamy równanie postaci
ax2 + bx + c = 0,
gdzie a, b, c " R oraz a = 0.

Dziedziną każdego równania kwadratowego jest zbiór liczb
zespolonych (lub rzeczywistych, w zależności od treści
rozważanego zadania).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Równanie kwadratowe
Równaniem kwadratowym o współczynnikach rzeczywistych
nazywamy równanie postaci
ax2 + bx + c = 0,
gdzie a, b, c " R oraz a = 0.

Dziedziną każdego równania kwadratowego jest zbiór liczb
zespolonych (lub rzeczywistych, w zależności od treści
rozważanego zadania).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
Zatem x(3x - 4) = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
Zatem x(3x - 4) = 0.
Iloczyn jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden lub
drugi czynnik są równe zero:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
Zatem x(3x - 4) = 0.
Iloczyn jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden lub
drugi czynnik są równe zero:
4
x = 0 lub 3x - 4 = 0, a stÄ…d x = .
3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 1: c = 0
Jest to najprostszy przypadek równania kwadratowego.
Wyłączamy wówczas niewiadomą przed nawias i otrzymujemy
dwa pierwiastki rzeczywiste (w tym oczywiście zawsze 0).
Przykład:
Rozważmy równanie 3x2 - 4x = 0.
Zatem x(3x - 4) = 0.
Iloczyn jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden lub
drugi czynnik są równe zero:
4
x = 0 lub 3x - 4 = 0, a stÄ…d x = .
3
4
Odpowiedz
: x " {0, }.
3
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 1: c < 0
Rozważmy równanie x2 - 4 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 1: c < 0
Rozważmy równanie x2 - 4 = 0.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a + b)(a - b).
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 1: c < 0
Rozważmy równanie x2 - 4 = 0.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Zatem (x - 2)(x + 2) = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 1: c < 0
Rozważmy równanie x2 - 4 = 0.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Zatem (x - 2)(x + 2) = 0.
Iloczyn jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden lub drugi
czynnik są równe zero:
x - 2 = 0 lub x + 2 = 0, a stÄ…d x = 2 lub x = -2 .
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 1: c < 0
Rozważmy równanie x2 - 4 = 0.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Zatem (x - 2)(x + 2) = 0.
Iloczyn jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden lub drugi
czynnik są równe zero:
x - 2 = 0 lub x + 2 = 0, a stÄ…d x = 2 lub x = -2 .
Odpowiedz
: x " {-2, 2}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
Równanie to posiada rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
Równanie to posiada rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
x2 = -9.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
Równanie to posiada rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
x2 = -9.
Zatem x2 = 9i2, bo -1 = i2. Czyli x2 = (3i)2,
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
Równanie to posiada rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
x2 = -9.
Zatem x2 = 9i2, bo -1 = i2. Czyli x2 = (3i)2,
a stÄ…d x = 3i lub x = -3i.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 2: równanie typu ax2 + c = 0
Przykład 2: c > 0
Rozważmy równanie x2 + 9 = 0.
Równanie to nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych,
ponieważ lewa strona równania jest dodatnia dla dowolnego x " R.
Równanie to posiada rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
x2 = -9.
Zatem x2 = 9i2, bo -1 = i2. Czyli x2 = (3i)2,
a stÄ…d x = 3i lub x = -3i.
Odpowiedz
: x " {3i, -3i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 1: " > 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki
" "
-b- " -b+ "
rzeczywiste obliczane według wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 + 3x + 2 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 1: " > 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki
" "
-b- " -b+ "
rzeczywiste obliczane według wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 + 3x + 2 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 1: " > 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki
" "
-b- " -b+ "
rzeczywiste obliczane według wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 + 3x + 2 = 0.
" = 32 - 4 · 1 · 2 = 1.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 1: " > 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki
" "
-b- " -b+ "
rzeczywiste obliczane według wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 + 3x + 2 = 0.
" = 32 - 4 · 1 · 2 = 1.
" "
-3- 1 -3+ 1
Zatem x1 = = -2 oraz x2 = = -1.
2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 1: " > 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki
" "
-b- " -b+ "
rzeczywiste obliczane według wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 + 3x + 2 = 0.
" = 32 - 4 · 1 · 2 = 1.
" "
-3- 1 -3+ 1
Zatem x1 = = -2 oraz x2 = = -1.
2 2
Odpowiedz
: x " {-2, -1}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 2: " = 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek
rzeczywisty 2- krotny (czyli podwójny) obliczany według wzoru:
-b
x = .
2a
Rozważmy równanie x2 - 4x + 4 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 2: " = 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek
rzeczywisty 2- krotny (czyli podwójny) obliczany według wzoru:
-b
x = .
2a
Rozważmy równanie x2 - 4x + 4 = 0.
" = (-4)2 - 4 · 1 · 4 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 2: " = 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek
rzeczywisty 2- krotny (czyli podwójny) obliczany według wzoru:
-b
x = .
2a
Rozważmy równanie x2 - 4x + 4 = 0.
" = (-4)2 - 4 · 1 · 4 = 0.
4
Zatem x = = 2.
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 2: " = 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek
rzeczywisty 2- krotny (czyli podwójny) obliczany według wzoru:
-b
x = .
2a
Rozważmy równanie x2 - 4x + 4 = 0.
" = (-4)2 - 4 · 1 · 4 = 0.
4
Zatem x = = 2. Odpowiedz
: x = 2.
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 2: " = 0
W przypadku tym równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek
rzeczywisty 2- krotny (czyli podwójny) obliczany według wzoru:
-b
x = .
2a
Rozważmy równanie x2 - 4x + 4 = 0.
" = (-4)2 - 4 · 1 · 4 = 0.
4
Zatem x = = 2. Odpowiedz
: x = 2.
2
Równanie to można rozwiązać również stosując wzór skróconego
mnożenia (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, otrzymamy wówczas równanie
równoważne postaci (x - 2)2 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 3: " < 0
W przypadku tym równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków
rzeczywistych.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 3: " < 0
W przypadku tym równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków
rzeczywistych.
Równanie to posiada dwa pierwiastki zespolone obliczane według
" "
-b-i -" -b+i -"
wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 3: " < 0
W przypadku tym równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków
rzeczywistych.
Równanie to posiada dwa pierwiastki zespolone obliczane według
" "
-b-i -" -b+i -"
wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 - 6x + 10 = 0.
" = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = -4.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 3: " < 0
W przypadku tym równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków
rzeczywistych.
Równanie to posiada dwa pierwiastki zespolone obliczane według
" "
-b-i -" -b+i -"
wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 - 6x + 10 = 0.
" = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = -4.
"
2(3-i)
6-i 4 6-2i
Zatem x1 = = = = 3 - i,
2 2 2
"
2(3+i)
6+i 4 6+2i
oraz x2 = = = = 3 + i.
2 2 2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Przypadek 3: a, b, c = 0

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c nazywamy
liczbÄ™ " = b2 - 4ac.
Przykład 3: " < 0
W przypadku tym równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków
rzeczywistych.
Równanie to posiada dwa pierwiastki zespolone obliczane według
" "
-b-i -" -b+i -"
wzorów: x1 = , x2 = .
2a 2a
Rozważmy równanie x2 - 6x + 10 = 0.
" = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = -4.
"
2(3-i)
6-i 4 6-2i
Zatem x1 = = = = 3 - i,
2 2 2
"
2(3+i)
6+i 4 6+2i
oraz x2 = = = = 3 + i.
2 2 2
Odpowiedz
: x " {3 - i, 3 + i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadanie 1.
Rozwiąż następujące równania w zbiorze liczb zespolonych:
a) 5x2 + 10x = 0, b) 2x2 - 18 = 0, c) x2 + 81 = 0,
d) x2 + x - 2 = 0, e) x2 - 6x + 9 = 0,
f) x2 - 2x + 3 = 0, g) 10x2 + 2x + 1 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
0dpowiedzi do zadania 1
a) x " {-2, 0},
b) x " {-3, 3},
c) x " {9i, -9i},
d) x " {1, -2},
e) x " {3},
" "
f) x " {1 - i 2, 1 + i 2},
1 3 1 3
g) x " {-10 - i, - + i}.
10 10 10
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych
Równaniem kwadratowym o współczynnikach zespolonych
nazywamy równanie postaci
ax2 + bx + c = 0,
gdzie a, b, c " Z oraz a = 0.

Równania tego typu rozwiązujemy stosując analogiczne metody
jak dla równań kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych
Równaniem kwadratowym o współczynnikach zespolonych
nazywamy równanie postaci
ax2 + bx + c = 0,
gdzie a, b, c " Z oraz a = 0.

Równania tego typu rozwiązujemy stosując analogiczne metody
jak dla równań kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadanie 2.
Rozwiąż następujące równania w zbiorze liczb zespolonych:
a) ix2 + 3x = 0, b) 2x2 + ix + 1 = 0, c) z2 + 2iz - 3 = 0.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
0dpowiedzi do zadania 2
a) x " {0, 3i},
1
b) x " { i, -i},
2
" "
c) x " { 2 - i, - 2 - i}.
dr Anna Chwastyk Matematyka1