Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej
dr Anna Chwastyk
Politechnika Opolska
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie
Niech z1 = |z1|(cos Ä… + i sin Ä…) i z2 = |z2|(cos ² + i sin ²).
z1 · z2= |z1||z2|(cos(Ä… + ²) + i sin(Ä… + ²)).
Ä… + ²
1
²
Ä…
1 2 3 6 Re
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie - przykład
Mnożąc dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest iloczynem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest sumą argumentów tych liczb.
Examples
3Ä„ 3Ä„
Dane sÄ… z1 = 7(cos + i sin ) oraz
5 5
7Ä„ 7Ä„
z2 = 2(cos + i sin ).
6 6
z1z2 =
3Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 7Ä„
7 · 2 cos + ) + i sin + =
5 6 5 6
3 7 3 7
= 14 cos + Ä„ + i sin + Ä„ =
5 6 5 6
18+35 18+35
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ =
30 30
43 43
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ .
30 30
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie - przykład
Mnożąc dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest iloczynem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest sumą argumentów tych liczb.
Examples
3Ä„ 3Ä„
Dane sÄ… z1 = 7(cos + i sin ) oraz
5 5
7Ä„ 7Ä„
z2 = 2(cos + i sin ).
6 6
z1z2 =
3Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 7Ä„
7 · 2 cos + ) + i sin + =
5 6 5 6
3 7 3 7
= 14 cos + Ä„ + i sin + Ä„ =
5 6 5 6
18+35 18+35
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ =
30 30
43 43
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ .
30 30
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie - przykład
Mnożąc dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest iloczynem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest sumą argumentów tych liczb.
Examples
3Ä„ 3Ä„
Dane sÄ… z1 = 7(cos + i sin ) oraz
5 5
7Ä„ 7Ä„
z2 = 2(cos + i sin ).
6 6
z1z2 =
3Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 7Ä„
7 · 2 cos + ) + i sin + =
5 6 5 6
3 7 3 7
= 14 cos + Ä„ + i sin + Ä„ =
5 6 5 6
18+35 18+35
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ =
30 30
43 43
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ .
30 30
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie - przykład
Mnożąc dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest iloczynem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest sumą argumentów tych liczb.
Examples
3Ä„ 3Ä„
Dane sÄ… z1 = 7(cos + i sin ) oraz
5 5
Wyłączamy Ą przed
7Ä„ 7Ä„
z2 = 2(cos + i sin ).
6 6
z1z2 =
nawias (lub raczej za
3Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 7Ä„
7 · 2 cos + ) + i sin + =
5 6 5 6
3 7 3 7
= 14 cos + Ä„ + i sin + Ä„ =
5 6 5 6 nawias)
18+35 18+35
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ =
30 30
43 43
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ .
30 30
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Mnożenie - przykład
Mnożąc dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest iloczynem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest sumą argumentów tych liczb.
Examples
3Ä„ 3Ä„
Dane sÄ… z1 = 7(cos + i sin ) oraz
5 5
7Ä„ 7Ä„
z2 = 2(cos + i sin ).
6 6
z1z2 =
i dodajemy ułamki.
3Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 7Ä„
7 · 2 cos + ) + i sin + =
5 6 5 6
3 7 3 7
= 14 cos + Ä„ + i sin + Ä„ =
5 6 5 6
18+35 18+35
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ =
30 30
43 43
= 14 cos Ä„ + i sin Ä„ .
30 30
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie
Niech z1 = |z1|(cos Ä… + i sin Ä…) i z2 = |z2|(cos ² + i sin ²).
z1 |z1|
z1 : z2 = = (cos(Ä… - ²) + i sin(Ä… - ²)).
z2 |z2|
1
²
Ä…
1
1 2 3 Ä… - ²
Re
2
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie - przykład
DzielÄ…c dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest ilorazem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest różnicą argumentów tych
liczb.
Examples
8Ä„ 8Ä„
Dane sÄ… z1 = 6(cos + i sin ) oraz
7 7
Ä„ Ä„
z2 = 3(cos + i sin ).
3 3
6 8Ä„ Ä„ 8Ä„ Ä„
z1 : z2 = cos - ) + i sin - =
3 7 3 7 3
8 1 8 1
= 2 cos - Ä„ + i sin - Ä„ =
7 3 7 3
24-7 24-7
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ =
21 21
17 17
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ .
21 21
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie - przykład
DzielÄ…c dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest ilorazem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest różnicą argumentów tych
liczb.
Examples
8Ä„ 8Ä„
Dane sÄ… z1 = 6(cos + i sin ) oraz
7 7
Ä„ Ä„
z2 = 3(cos + i sin ).
3 3
6 8Ä„ Ä„ 8Ä„ Ä„
z1 : z2 = cos - ) + i sin - =
3 7 3 7 3
8 1 8 1
= 2 cos - Ä„ + i sin - Ä„ =
7 3 7 3
24-7 24-7
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ =
21 21
17 17
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ .
21 21
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie - przykład
DzielÄ…c dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest ilorazem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest różnicą argumentów tych
liczb.
Examples
8Ä„ 8Ä„
Dane sÄ… z1 = 6(cos + i sin ) oraz
7 7
Ä„ Ä„
z2 = 3(cos + i sin ).
3 3
6 8Ä„ Ä„ 8Ä„ Ä„
z1 : z2 = cos - ) + i sin - =
3 7 3 7 3
8 1 8 1
= 2 cos - Ä„ + i sin - Ä„ =
7 3 7 3
24-7 24-7
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ =
21 21
17 17
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ .
21 21
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie - przykład
DzielÄ…c dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest ilorazem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest różnicą argumentów tych
liczb.
Examples
8Ä„ 8Ä„
Dane sÄ… z1 = 6(cos + i sin ) oraz
7 7 Wyłączamy Ą przed
Ä„ Ä„
z2 = 3(cos + i sin ).
3 3
6 8Ä„ Ä„ 8Ä„ Ä„
z1 : z2 = cos - ) + i sin - = nawias (lub raczej za
3 7 3 7 3
8 1 8 1
= 2 cos - Ä„ + i sin - Ä„ =
7 3 7 3
nawias)
24-7 24-7
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ =
21 21
17 17
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ .
21 21
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Dzielenie - przykład
DzielÄ…c dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej
otrzymamy liczbę zespoloną, której moduł jest ilorazem modułów
tych liczb, a argument (czyli kąt) jest różnicą argumentów tych
liczb.
Examples
8Ä„ 8Ä„
Dane sÄ… z1 = 6(cos + i sin ) oraz
7 7
Ä„ Ä„
z2 = 3(cos + i sin ).
3 3
6 8Ä„ Ä„ 8Ä„ Ä„
z1 : z2 = cos - ) + i sin - = i odejmujemy ułamki.
3 7 3 7 3
8 1 8 1
= 2 cos - Ä„ + i sin - Ä„ =
7 3 7 3
24-7 24-7
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ =
21 21
17 17
= 2 cos Ä„ + i sin Ä„ .
21 21
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Oblicz:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ),
8 8 3 12 12
4Ä„ 4Ä„
b) 5(cos + i sin )(1 - i),
9 9
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ),
7 7 2 2 2
5i
d) .
2Ä„ 2Ä„
3(cos +i sin )
5 5
RozwiÄ…zania:
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Oblicz:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ),
8 8 3 12 12
4Ä„ 4Ä„
b) 5(cos + i sin )(1 - i),
9 9
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ),
7 7 2 2 2
5i
d) .
2Ä„ 2Ä„
3(cos +i sin )
5 5
RozwiÄ…zania:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„ 1 Ä„ 5Ä„ Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ) = 4 · cos + + i sin + ) =
8 8 3 12 12 3 8 12 8 12
4 1 5 1 5 4 3+10 3+10
cos + Ä„ + i sin + Ä„ = cos Ä„ + i sin Ä„ =
3 8 12 8 12 3 24 24
4 13 13
= cos Ä„ + i sin Ä„ .
3 24 14
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Oblicz:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ),
8 8 3 12 12
4Ä„ 4Ä„
b) 5(cos + i sin )(1 - i),
9 9
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ),
7 7 2 2 2
5i
d) .
2Ä„ 2Ä„
3(cos +i sin )
5 5
RozwiÄ…zania:
b) Najpierw sprowadzamy z = 1 - i do postaci trygonometrycznej (Prezentacja 1.3).
"
|z| = 12 + (-1)2 = 2.
"
2
cos Ä… = ,
2
"
"
- 2 7Ä„ 7Ä„ 7Ä„
sin ą = , zatem ą = ( IV ćwiartka). Stąd z = 2(cos + i sin ), natomiast
2 4 4 4
"
4Ä„ 4Ä„ 4Ä„ 4Ä„ 7Ä„ 7Ä„
5(cos + i sin )(1 - i) = 5(cos + i sin ) 2(cos + i sin ) =
9 9 9 9 4 4
" "
4Ä„ 7Ä„ 4Ä„ 7Ä„ 79 79
= 5 2 cos + + i sin + ) = 5 2(cos Ä„ + i sin Ä„) =
9 4 9 4 36 36
" "
7 7 7 7
= 5 2(cos 2 Ä„ + i sin 2 Ä„) = 5 2(cos(2Ä„ + Ä„) + i sin(2Ä„ + Ä„)) =
36 36 36 36
"
7 7
= 5 2(cos Ą + i sin Ą). W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z okresowości funkcji sinus i
36 36
cosinus, to znaczy ze wzorów sin(ą + 2Ą) = sin ą, cos(ą + 2Ą) = cos ą.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Oblicz:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ),
8 8 3 12 12
4Ä„ 4Ä„
b) 5(cos + i sin )(1 - i),
9 9
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ),
7 7 2 2 2
5i
d) .
2Ä„ 2Ä„
3(cos +i sin )
5 5
RozwiÄ…zania:
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„ 8 5Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ) = cos - + i sin - =
7 7 2 2 2 1 7 2 7 2
2
-11 -11 -11 -11 28
8 · 2 cos Ä„ + i sin Ä„ = 16 cos Ä„ + 2Ä„ + i sin Ä„ + Ä„ =
14 14 14 14 14
17 17
16 cos Ą + i sin Ą . W przedostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z okresowości funkcji sinus i
14 14
cosinus.
dr Anna Chwastyk Matematyka1
Zadania
Oblicz:
Ä„ 1Ä„ 1 5Ä„ 5Ä„
a) 4(cos + i sin ) · (cos + i sin ),
8 8 3 12 12
4Ä„ 4Ä„
b) 5(cos + i sin )(1 - i),
9 9
5Ä„ 5Ä„ 1 3Ä„ 3Ä„
c) 8(cos + i sin ) : (cos + i sin ),
7 7 2 2 2
5i
d) .
2Ä„ 2Ä„
3(cos +i sin )
5 5
RozwiÄ…zania:
d) Najpierw sprowadzamy z = 5i do postaci trygonometrycznej (Prezentacja 1.3).
|z| = 02 + 52 = 5.
0
cos Ä… = = 0,
5
5 Ä„ Ä„ Ä„
sin Ä… = = 1, zatem Ä… = . Czyli z = 5(cos + i sin ).
5 2 2 2
Wartość modułu i argumentu można w tym przypadku odczytać również z rysunku płaszczyzny zespolonej.
Ä„ Ä„
5(cos +i sin )
5i 2 2 5 Ä„ 2Ä„ Ä„ 2Ä„
= = cos - + i sin - =
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 3 2 5 2 5
3(cos +i sin ) 3(cos +i sin )
5 5 5 5
5 1 1
= cos Ä„ + i sin Ä„ .
3 10 10
dr Anna Chwastyk Matematyka1