Podstawy matematyczne
(rachunek różniczkowy  dot. funkcji ciągłych)
1) Pochodna funkcji 1 zmiennej f (x)
df (x) dy f (x + h) - f (x)
def. f (x) = = =
lim
dx dx h
h0
f(x+h)  f(x)="
"y
"
"
h = "
"x
"
"
UWAGA:
f (x) = tg(Ä…
Ä…)  tangens kÄ…ta nachylenia stycznej
Ä…
Ä…
Warunki e k s t r e m u m:
y=f(x) w p. x0 : f 2 (x0) = 0
f2 2 (x0) = 0 (p. przegięcia)
f2 2 (x0) > 0 (min.)
f2 2 (x0) < 0 (max.)
1
2) Różniczka funkcji 1 zmiennej: dy
dy
Def . ponieważ: = f (x) to dy = f (x)dx
dx
Twierdzenie
Różnica między przyrostem funkcji "
"y a różniczką funkcji dy
"
"
dzielona przez różniczkę dx
dąży do zera wraz z tą różniczką:
"y - dy
= 0
lim
dx
dx0
Twierdzenie Lagrange a (uogólnienie tw. Rolla)
Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale < a, b > i róż-
niczkowalna w tym przedziale oraz na końcach tego przedziału
przyjmuje wartości odpowiednio równe f(a) i f(b)
to w przedziale tym istnieje co- najmniej jeden taki punkt  c ,
że:
f (b) - f (a)
f (c) = ( *)
b - a
styczna
c b sieczna
a
2
Wzór Taylora (uogólnienie tw. Lagrange a)
Zał: h = b  a;
c = a + Å(b  a) = a + Åh, gdzie Å - uÅ‚amek wÅ‚aÅ›ciwy;
Å Å
Å Å
Å Å
a = x
Ze wzoru wynika (*):
f (b) - f (a) f (x + h) - f (x)
f (c) = f (x + Åh) =
b - a h
stÄ…d:
f(x + h) = f(x) + hÅ"f (x + Åh) wzór Taylora z 1-szÄ… pochodnÄ…
wzór Taylora z 2-gą pochodną
f '(x) f ''(x +Ńh)
f(x +h) = f(x) + h + h2
1! 2!
Uogólniając:
f '(x) f ''(x) f '''(x +Ńh)
f(x + h) = f(x) + h + h2 + h3 z 3-ciÄ… pochodnÄ…
1! 2! 3!
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
Å"
(n-1) (n)
f '(x) f ''(x) f (x) f (x +Ńh)
f(x + h) = f(x) + h + h2 +Å" Å" Å" Å"+ hn-1 + hn
1! 2! (n -1)! n!
3) Badanie przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej
(Procedury  etapy postępowania)
f& określoność f(x) dla których mianownik = 0
f&
f&
f&
f& miejsca zerowe f(x) dla których f(x) = 0
f&
f&
f&
f& punkty nieciągłości f(x) poszukiwanie asymptot
f&
f&
f&
3
+
pionowa: x = c gdzie: = "
lim f (x) -
+
xc-
f (x)
ukośna: y = ax + b gdzie: = a
lim
x
x+ "
-
oraz:
limf(x)  ax = b
x+ "
-
f& Badanie ekstremów oraz monotoniczności f(x)
f&
f&
f&
f2 (x) = 0 oraz f2 2 (x) `" 0 gdy f2 2 (x) > 0 minimum



gdy f2 2 (x) < 0 maksimum



f& badanie punktów przegięcia, wklęsłości oraz wypukłości f(x)
f&
f&
f&
f(x) jest
wklęsła
f  (x0) = 0; punkt przegięcia
f(x) jest
wypukła
f(x) jest ciÄ…gÅ‚a i wklÄ™sÅ‚a w p. x0 Ô! 2 2
Ô! f2 2 (x0) > 0
Ô! 2 2
Ô! 2 2
f(x) jest ciÄ…gÅ‚a i wypukÅ‚a w p. x0 Ô! 2 2
Ô! f2 2 (x0) < 0
Ô! 2 2
Ô! 2 2
f(x) posiada punkty przegiÄ™cia w p. x0 Ô! 2 2 2 2 2 `"
Ô! f2 2 (x0) = 0 i f2 2 2 (x0)`" 0
Ô! 2 2 2 2 2 `"
Ô! 2 2 2 2 2 `"
f& tabela
f& wykres f(x)
4
4) Pochodna funkcji 2-zmiennych f(x,y) - pochodna czÄ…stkowa
f(x0,y0)
Powierzchnia z = f(x, y)
Y0
X0
D
styczna
styczna
"f
tg Ä… = fy =
"y
x = const
5
1  sza pochodna czÄ…stkowa funkcji z = f(x,y)
f (x + "x, y) - f (x, y) "f
Def: = = fx
lim
"x "x
"x0
f (x, y + "y) - f (x, y) "f
= = fy
lim
"y "y
"y0
2  ga pochodna czÄ…stkowa funkcji z = f(x, y)
( pochodne funkcji: fx oraz fy )
"fx " "f "2 f
ëÅ‚ öÅ‚
Def: = =
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "x "x "x2
íÅ‚ Å‚Å‚
"f
ëÅ‚ öÅ‚
" "f "2 f
y
= ìÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y "y "y2
íÅ‚ Å‚Å‚
"f
ëÅ‚ öÅ‚
"fx " "f "2 f " "f "2 f
ëÅ‚ öÅ‚ y
oraz: = = i = ìÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y "x "y"x "x "x "y "x"y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
pochodne czÄ…stkowe mieszane
Twierdzenie Schwarca
Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe mieszane i są one ciągłe
w obszarze D, to są one sobie równe:
"2 f "2 f
=
"y"x "x"y
5) Różniczka z u p e ł n a funkcji z=f(x, y)
"f "f
Def. dz = dx + dy
"x "y
6
Pyt: kiedy dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy jest różniczką z u p e ł n ą ?
"P "Q
Odp: gdy = wniosek z tw. Schwarca
"y "x
UWAGA:
Funkcja złożona
z = f(u,v) gdzie u = u[x] i v = v[x]
z = f(u[x],v[x])
6) Różniczka zupełna funkcji złożonej
"f (u,v) "f (u,v) d
dz = du + dv ćł
"u "v dx
dz "f (u,v) du "f (u,v) dv
= + (*)
dx "u dx "v dx
Pochodna funkcji z ł o ż o n e j
Szczególne przypadki (*)
(a p l i k a c j e)
a) v = const. Wtedy f(u[x],v[x]) Ò! f(u[x],const.) Ò! f(u[x]) f. zÅ‚ożona
Ó!
dv dz "f du "f df du
= 0 więc (*) : = + " 0 =
dx dx "u dx "v du dx
Ó!
pochodna zewnętrzna razy wewnętrzna (znany wzór) c.n.d.
7
b) v = y(x) oraz u = x. Wtedy f(u[x], v[x]) Ò! f(x, y[x])
1-sza pochodna f(x, y[x])
dz "f dx "f dy "f "f
więc (*) = + = + " y
dx "x dx "y dx "x "y
szczególny przypadek: z = 0 Ò! funkcja uwikÅ‚ana Ò! w tym
przypadku jest to funkcja jednej zmiennej.
"f "f
1-sza pochodna f(x, y[x]) Wtedy : + " y2 = 0
"x "y
"f
"x
y = -
StÄ…d:
"f
"y
Jest to ogólny wzór na obliczanie pochodnej funkcji jednowymiarowej.
2 - ga pochodna f(x,y[x])
ëÅ‚
d "f "f öÅ‚ "2 f "2 f "2 f "f
2
ìÅ‚ + " y'÷Å‚ = + 2 " y' + (y') + " y'' = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
dx "x "y "x2 "x"y "y2 "y
íÅ‚ Å‚Å‚
Warunki istnienia ekstremum funkcji uwikłanej: f(x ,y[x]) = 0:
"f
"f
"x
1) y2 = 0 Ò! = 0 Ò! = 0 ;
"f
"x
"y
"2 f
"2 f "2 f "2 f "f
2
"x2
2) y2 2 = 0 Ò! + 2 " y' + (y') + " y'' = 0 Ò! = 0 .
"f
"x2 "x"y "y2 "y
"y
8
7) Klasyfikacja funkcji 2  zmiennych
a) krzywe przestrzenne ( płaszczyznę  przecinają w skończo-
nej liczbie punktów  śladem są punkty) ;
b) powierzchnie (płaszczyznę  przecinają w nieskończonej ilo-
ści punktów  śladem jest krzywa )
I n t e r e s u j e m y s i Ä™ k l a s Ä… p o w i e r z c h n i b)
Postać uwikłana: F(x, y, z) = 0
r
PÅ‚. styczna Ä…
N
M(x0,y0,z0)
2
F(x, y, z) = 0
Prosta l
1
Prosta m
x0
y0
Linie leżące na pow. F(x,y,z) = 0 w postaci parametrycznej:
oraz sÄ… postaci: x(t); y(t); z(t)
1
2
9
Ponieważ leżą na powierzchni, zatem je s p e ł n i a j ą:
d
F[x(t),y(t),z(t)] = 0 śł
dt
"F dx "F dy "F dz
" + " + " = 0 ; (*)
"x dt "y dt "z dt
Sugeruje postać i l o c z y n u s k a l a r n e g o 2 wektorów:
r r r
r r r
r r
öÅ‚
"F "F dy dz r r r
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N = ëÅ‚ "F ; ; oraz S = ëÅ‚ dx ; ; = (x'; y'; z)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z dt dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r r
Z (*) wynika , że N Ą"
Ä„" S
Ä„"
Ä„"
r
N - wektor normalny do pł. ą
Ä… stycznej do pow. F[x(t),y(t),z(t)] = 0
Ä…
Ä…
r
S - wektor prostej stycznej ( leżącej na pł. stycznej ą
Ä… )
Ä…
Ä…
Jeżeli p. M(x0;y0;z0) leży na powierzchni F[x(t),y(t),z(t)] = 0 , wtedy:
"F "F "F
(x-x0) + (y-y0) + (z-z0) = 0 Ò! pÅ‚. styczna w p. M ; "
Ò!
Ò!
Ò!
"x "y "z
x - x0 y - y0 z - z0
= = Ò!
Ò! prosta styczna l
Ò!
Ò!
x' y' z'
x - x0 y - y0 z - z0
= = Ò!
Ò! prosta normalna m
Ò!
Ò!
"F "F
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"F
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
íÅ‚ Å‚Å‚M "y
íÅ‚ Å‚Å‚M íÅ‚ "z Å‚Å‚M
Patrz: ANEKS
Ekstremum F[x(t),y(t),z(t)] = 0 w p. M(x0;y0;z0)
Problem l o k a l n o Å› c i ekstremum
W szczególności funkcja uwikłana F[x(t),y(t),z(t)] = 0
może wystapić w postaci jawnej :
F(x,y) = z = f(x,y)
10
"F "F "F
(x-x0) + (y-y0) + (z-z0) = 0 musi być ćłćł do pł. xoy
ćłćł
ćłćł
ćłćł
"x "y "z
"F
stÄ…d: = 0
"x0
w a r u n e k k o n i e c z n y
"F
= 0
"y0
Ekstremum lokalne występuje w tzw. punktach stacionarnych
(spełniających w a r u n e k k o n i e c z n y)
"f "2 f "f "2 f "2 f
Oznacznia: = fx ; = fxx ; = fy ; = fyy ; = fxy
"x "x2 "y "y2 "x"y
fxx fxy
Oraz H(x,y) = hesjan
fxy fyy
Twierdzenie
Jeżeli funkcja z = f(x,y) jest klasy C2 (posiada 1 i 2 pochodną ciągłą)
w otoczeniu p. M, i jeżeli fx(M) = 0, fy(M) = 0 oraz H(M) >
> 0 ,
>
>
to funkcja z = f(x,y) w p. M posiada ekstremum l o k a l n e:
fxx fxy
>
> 0 min. l o k a l n e
>
>
fxy fyy
fxx fxy
<
< 0 max. l o k a l n e
<
<
fxy fyy
Ekstremum a b s o l u t n e uzyskuje się badając wartości f(x ,y) na
brzegu tego obszaru, a następnie porównuje się je z wartościami
ekstremum l o k a l n e g o.
ANEKS
11
Równanie prostej na płaszczyz
nie:
n Å" AP = 0
stÄ…d:
a(x - x0) + b( y - y0) = 0
dla
c = -ax0 - bx0
mamy:
ax + by + c = 0
12
N[a ,b, c]
A(xo , yo , zo)
P(x, y, z)
Równanie płaszczyzny w przestrzeni:
N Å" AP = 0
stÄ…d:
a(x - x0) + b( y - y0) + c(z - z0) = 0
dla
d = -ax0 - bx0 - c0
mamy:
ax + by + cz + d = 0
Równanie prostej w przestrzeni:
13
 z
N1[a1,b1,c1]
N2[a2,b2,c2]
A(xo , yo , zo)
u[Ä…,²,Å‚]
x
Równanie prostej w przestrzeni:
x - x0 y - y0 z - z0
= - =
Ä… ² Å‚
Z rys. wynika, że:
N1 × N2 = u
a1x + b1 y + c1z + d1 = 0
Å„Å‚
òÅ‚a x + b2 y + c2z + d2 = 0
ół 2
Rozwiązanie tego układu jest poszukiwanym miejscem geometrycznym.
14