Przyk adowe zadania na kolokwium z EMiDO
(30.11.2011, godz. 8.00 sala C-1A)
1. Wyznaczyć rozwiazanie og lne danego r wnania r żnicowego, a nastepnie rozwiazanie
szczeg lne spelniajace podany warunek poczatkowy:
(a) xt+1 = 2xt + 1, x0 = 1
(b) 3xt+1 = xt + 2, x0 = 2
(c) 2xt+1 + 3xt + 2 = 0, x0 = -1
(d) xt+1 - xt + 3 = 0, x0 = 3
2. Wyznaczyć rozwiazanie szczeg lne spelniajace dane r wnanie r żnicowe i warunki
poczatkowe:
(a) yt+2 - 3yt+1 + 2yt = 0, y0 = 2, y1 = 3,
(b) yt+2 - 6yt+1 + 9yt = 0, y0 = 3, y1 = 2.
3. Rozwia ż r wnania:
(a) xt+2 - 6xt+1 + 8xt = 6
(b) xt+2 - 8xt+1 + 16xt = 3t
(c) xt+2 + 2xt+1 + 3xt = 0
(d) 3xt+2 + 2xt = 4
(e) 2yt+2 - 3yt+1 - 5yt = 2
1 1 3
(f) yt+2 - yt+1 - yt =
6 6 2
(g) yt+2 - 4yt+1 + 4yt = 1
(h) yt+1 - yt + 3 = 0
4. B.J. Ball i E. Smolensky rozważali model gospodarki zamknietej oparty na zalożeniach:
Ct = cYt-1, Kt = �Yt-1, Yt = Ct + Kt - Kt-1,
gdzie Ct oznacza konsumpcje w okresie t, Kt zas b kapitalu w okresie t, a Yt produkt
krajowy. Stale c i � sa dodatnie, przy czym c < 1.
(a) Wyprowadzić r wnanie r żnicowe drugie rzedu ze wzgledu na Yt.
(b) Wyznaczyć warunki, dla kt rych rozwiazanie tego modelu (ścieżka czasowa dla
Yt) charakteryzuje sie oscylacjami o rosnacej amplitudzie (tzw. wybuchowe oscy-
lacje).
5. Rozważmy nastepujace r wnanie r żnicowe
yt+1 (a + byt) = cyt, t = 0, 1, ...
1
(a) Niech xt = 1/yt. Przy pomocy tego podstawienia przeksztalcić podane r wnanie
w r wnanie liniowe. Nastepnie rozwia ż r wnanie yt+1 (2 + 3yt) = 4yt, zakladajac,
1
że y0 = .
2
(b) Jaka jest granica yt (wyznaczonego w pkt. (a)) przy t "?
6. Matematyczna reprezentacja modelu J.R. Hicksa jest nastepujace r wnanie r żnicowe:
Yt+2 - (b + k) Yt+1 + kYt = a (1 + g)t , t = 0, 1, ...
gdzie a, b, g, k sa stalymi.
(a) Wyznaczyć rozwiazanie szczeg lne Yt"podanego r wnania (r wnowage w modelu
Hicksa).
(b) Określić warunki jakie musza spelniać parametry modelu, by ścieżka czasowa os-
cylowala wok l r wnowagi.
7. Zadania z ksia żki R. Shona Economic dynamics. Phase diagrams and their economic
applications.
(a) 7/139
(b) 8/139
(c) 15/140
(d) 16/140
2