Przykład zadania na kolokwium II.
Temat: Obliczyć zbrojenie na zginanie w płycie stropowej obciążonej jak na rysunku.
Silnik
2,40
1,20
1,20
Dane:
Beton fck = 18 MPa, Ecm = 20830 MPa
Stal fyk = 240 MPa, Es = 205000 MPa
Masa silnika ms = 8 Mg
Masa wirnika mw = 5,95 Mg
Prędkość obrotowa nm = 600 obr/min
Obciążenie użytkowe (technologiczne) p = 2,85 kN/m2,
Obciążenie użytkowe na 1 mb długości płyty p` = 2,85 �� 2,4 = 6,84 kN/mb,
Część długotrwała (1/4) obciążenia użytkowego pd = 0,25 �� p` = 1,71 kN/mb.
Przekrój
50
25 50 50 25
10 10 10 10
240
Parametry przekroju:
A = 0,09 �� 2,4 + 0,4 �� 0,31 = 0,34 m2
Ciężar własny płyty q = g�b �� A = 24,0 �� 0,34 = 8,16 kN/mb
31
9
yc = Sy/A = (2,4 �� 0,09 �� 0,355 + 4 �� 0,1 �� 0,31 �� 0,155) / 0,34 = 0,282 m
J = 2,4��0,093/12+2,4��0,09��(0,355 0,282)2 + 4��[0,1��0,313/12+0,1��0,31��(0,282 0,155)2] =
0,00429 m4
EJ = 89363 kNm2
1.Wyznaczenie momentów dynamicznych
Zastosowano metodę rozwiązania bezpośredniego.
Przy drganiach wymuszonych częstość drgań konstrukcji równa jest częstości drgań
wymuszających w� = r�:
ć� [I ] ��
0
��[D] -� ] ��[B ] +�[D][F0 ] =� 0
r�2[M
Ł�ł�
gdzie
[B0] =� [A0][M ]r�2
jest amplitudą siły bezwładnościowej w punkcie skupienia masy. Po rozwiązaniu układu równań
otrzymujemy wartości B0. Maksymalne dynamiczne siły wewnętrzne np. momenty będą sumą
momentów od siły wymuszającej F0 i momentów od sił bezwładnościowych B0.
Md =� MF +�
��M
B0i
0
i
1.1 Wyznaczenie współczynników macierzy podatności [D]
Schemat obliczeniowy
P=1 (P=1)
"2"
"1"
1,20
1,20
2,40
M [m]
1
3/10
9/10
M [m]
2
3/10
9/10
d�11 = d�22 = 162/125 [m3/EJ]
d�12 = d�21 = 126/125 [m3/EJ]
1.2 Wyznaczenie [B0]
Zebranie mas skupionych
m1 = m2 = 2,4 �� (mq + mp) + 0,5ms = 2,4 �� (q/g + pd/g) + 0,5ms = 2,4 �� (8,16/9,81 + 1,71/9,81) +
0,5��8,0 = 7,0 Mg
Określenie amplitud sił wzbudzających [F0]:
Przyjęto, że siła wzbudzająca jest równa 0,55 ciężaru wirnika, siła wzbudzająca działa na każde
łożysko podparcia wału silnika a więc na każdy z punktów skupienia masy w tej samej
wielkości. Do obliczeń płyty stropowej przyjmujemy wartości wypadkowe F1 i F2 usytuowane
w osi podłużnej płyty.
Fo
Wartości sił podporowych są funkcją położenia (kąt a�) siły odśrodkowej.
Fo
y
a�
b
x
HB
HA
RB
RA
a
w�
3
2.5
2
1.5
1
Ra
0.5
A
Rb
0
A
W
0.5
1
1.5
2
2.5
3 0
p� � 2p�
a�
Wartości reakcji podporowych i wypadkowej wyznaczone dla F0 =1, a =1, b =2.
Wartość wypadkowa nie zależy jednak od geometrii podparcia i w naszym przypadku równa jest
sile wymuszającej:
F1 = F2 = mw �� g �� 0,55 = 5,95 �� 9,81 �� 0,55 = 32,1 kN
Częstość kołowa drgań wymuszających równa prędkości obrotowej silnika
r� = nm/60 �� 2 �� p� = 600/60 �� 2 �� 3,14 = 62,8 [1/s],
Układ równań ruchu:
��
1
-� �� B1 +� d�12B2 +� d�11F1 +� d�12F2 =� 0
��d�11
r�2m1 ��
Ł�ł�
��
1
d�21B1 +� -� �� B2 +� +�d�22F2 +� d�21F1 =� 0
��d�22
r�2m2 ��
Ł�ł�
Po podstawieniu wszystkich wartości otrzymujemy
-236,6��B1 + 126��B2 + 9184 = 0
126��B1  236,6��B2 + 9184 = 0
skąd B1 = B2 = 83,0 kN.
1.3 Wyznaczenie momentów dynamicznych
Md =� MF +�
��M
B0i
0
i
-236,6��B1 + 126��B2 + 9184 = 0
126��B1  236,6��B2 + 9184 = 0
F1=32,1 kN F2=32,1 kN
MF [kNm]
0
38,4 38,4
B1=83,0 kN
MB [kNm]
1
24,9
74,7
B2=83,0 kN
MB [kNm]
2
24,9
74,7
M [kNm]
d
138
138
lub
138
138
2. Wyznaczenie momentów statycznych i sumarycznych
Dla wygody momenty statyczne wyznaczono przyjmując ten sam schemat obliczeniowy
P = q �� 2,4 + p` �� 2,4 + 0,5ms �� g = (8,16 + 6,84) �� 2,4 + 0,5 �� 8,0 �� 9,81 = 75,2 kN
P1=P=75,2 kN P2=P=75,2 kN
Mstat [kNm]
90,29 90,29
S�M [kNm]
228,29
228,29
lub 47,71
47,71
3. Wymiarowanie zbrojenia
W każdym przekroju jest Md >0,6 S�M, np. w przekroju w środku belki dla momentu dołem jest:
Ze względu na powyższe wymiarowanie przekrojów musi być przeprowadzone dla modelu
liniowego betonu z przyjęciem naprężeń dopuszczalnych s�cR i D�s�s.
a�e = Es/Ecm = 205000/20830 = 9,842
Maksymalne naprężenia w betonie s�cR = 0,18 fck = 0,18 �� 18 = 3,24 MPa (przyjęto mnożnik 0,18
ze względu na to, że momenty dynamiczne są większe od statycznych a więc przy zwrocie sił
wymuszających do góry dochodzi do rozciągania przekroju górą, wtedy strefa ściskana jest
chwilowo także rozciągana)
Maksymalne naprężenia w stali D�s�s = 100 MPa
Przyjęto a1 = 0,04 m, a2 = 0,02, d = h  a1 = 0,36 m
Ze względu na konieczność ograniczenia naprężeń w zbrojeniu rozciąganym do wartości D�s�s
obliczamy wartość x�gran (x�dop) odpowiadającą temu ograniczeniu:
s�cR ��a�e 3,24��9,848
x�gran =� =� =� 0,242
s�cR ��a�e +� D�s�s 3,24��9,848 +�100
Dla S�M = 228,29 kNm (rozciąganie dołem) rzeczywista wielkość x�:
3 1 24 �� M 3 1 24 ��228,29
x� =� -� �� 9 -� =� -� �� 9 -� =� 0,556
2
2 2 s�cR ��b�� d 2 2 3240��2,4 ��0,362
Przekrój podwójnie zbrojony, konieczne zbrojenie ściskane As2.
Wartość x�gran jest mniejsza niż stosunek t`/d = 0,09/0,36 = 0,25, strefa ściskana mieści się
całkowicie w półce, przekrój można wymiarować jako przekrój pozornie teowy
11
ć�1-�
2
M -� s� �� beff �� d �� ��x�gran �� ��x�gran
cR ����
23
Ł�ł�
As2 =�=�
ć�
a2 ��
a�e �� �� d -� a2 ��s�cR
(� )�
��1-�
����
��
x�gran �� d
Ł�ł�
11
ć�1-�
228,29 -� ��3240 �� 2,4 ��0,362 �� ��0,242�� ��0,242
����
23
Ł�ł�
=� 0,01391 [m2]
ć�1-� 0,02 ��
9,842 �� �� 0,36 -� 0,02 ��3240
(� )�
����
0,242 ��0,36
Ł�ł�
Przyjęto 43 f�20 o łącznym przekroju 135 cm2 w rozstawie co 5,5 cm
a2
ć�x� -� ��
2
�� gran ��
beff ��d ��x�gran
d
Ł�ł�
As1 =� +� As2 �� =�
2��a�e �� 1-�x�gran 1-�x�gran
(� )� (� )�
0,02
ć�0,242 -� ��
����
2,4��0,36��0,2422 0,36
Ł�ł�
+� 0,01391�� =� 0,00681 [m2 ]
2��9,842�� 1-� 0,242 1-� 0,242
(� )� (� )�
Przyjęto 4 �� (5f�20 + 1f�16) o łącznym przekroju 70,84 cm2.