Przykładowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiązaniami
1-3n-8n2
1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an=
(2n-1)2
2
1 1 3
1-3n-8n2 1-3n-8n2 -3n-8n - -8 -8
n2 n2 n2 n2 n
Rozwiązanie: lim =lim =lim =lim = =-2
4 1
4n2 1
n" n" n"
4- + 4
(2n-1)2 n" 4n2-4n+1 -4n+
n n2
n2 n2 n2
Komentarz: z uwagi na postać wyrazu ogólnego ciągu (ułamek) dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika
1
przez n w najwyższej potędze w mianowniku. Dalej korzystamy z wzoru, że lim =0
n"
an
(1-3n)(4n-5n2 )
2. Oblicz granicę ciągu an=
(2n-3)2
4n 17n2 15n3
- +
4n - 5n2 -12n2 +15n3 4n -17n2 +15n3
n2 n2 n2
lim = lim = lim =
4n2 12n 9
n" n" n"
4n2 -12n + 9 4n2 -12n + 9
- +
n2 n2 n2
Rozwiązanie:
4
-17 +15n
0 -17 + "
n
= lim = = +"
12 9
n" - + 4 - 0 + 0
4
n
n2
Komentarz: postępujemy tak jak w zadaniu 1. Można było także zauważyć, że n w liczniku jest w wyższej potędze
niż w mianowniku, stąd granicą jest nieskończoność z odpowiednim znakiem wynikającym ze znaku licznika i
mianownika.
3x
3. Oblicz granice funkcji f (x)= w punkcie x0=2
x-2
Rozwiązanie: Punkt x0=2 nie należy do dziedziny funkcji (mianownik jest zerowy), tym samym wyznaczamy
granice jednostronne.
3x "6" 3x "6"
lim = = -" lim = = +"
x2- x - 2 x2+ x - 2
"0-" "0+"
"6"
Zapis czytamy  prawie 6 w liczniku i prawie zero w mianowniku, ale ze znakiem minus . Wartością
"0-"
ułamka, gdzie w liczniku jest liczba różna od zera, a mianownik bliski zera jest zawsze nieskończoność z
odpowiednim znakiem.
x2
4. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x)= i jej granice na krańcach dziedziny
x+3
Rozwiązanie: dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby  3 (bo mianownik nie może
być równy zero). Można to zapisać tak:
D : x " R -{-} lub D : x "{(-"; - 3) *" (-3;+")}
3
Wyznaczamy teraz granice na krańcach dziedziny, przy czym granice w plus (minus) nieskończoności
wyznaczymy zgodnie z komentarzem do zadania 2.
x2 x2
lim = -" lim = +"
x-" x+"
x + 3 x + 3
Granice jednostronne w punkcie  3 wyznaczamy zgodnie z rozwiązaniem zadania 3.
x2 "9" x2 "9"
lim = = -" lim = = +"
x-3- x + 3 x-3+ x + 3
"0-" "0+"
3x
5. Czy funkcja f (x)= ma asymptotę poziomą? Jeżeli tak, to proszę podać jej równanie.
x-2
Rozwiązanie: łatwo zauważyć, że granice tej funkcji w minus i plus nieskończoności są równe 3, tym samym
prosta y=3 jest asymptotą poziomą tej funkcji.
3x
3x 3 3
x
lim = lim = lim = =3
x
xą" xą" -2 1-2 1
xą"
x-2
x x x
Inna metoda, to pełne badanie czy istnieje asymptota ukośna y=ax+b (pozioma to szczególny przypadek
ukośnej, gdy parametr a=0 ):
3x
3x 3
f (x) 3x 3x 0
x-2 x2 x
a= lim lim = lim = lim = lim = lim = =0
x2
xą" xą" xą" xą" xą"
x x x(x-2)
x2-2x -2x xą" 1-2 1-0
x
x2 x2
�ł 3x 3x
b = lim[f (x) - ax]= lim - 0 �" xłł = lim = 3
�ł śł
x�!ą" x�!ą" - 2 x
x�!ą" - 2
x
�ł �ł
3x
Ostatecznie prosta y = 0 �" x + 3 = 3 jest asymptotą (poziomą) funkcji f (x)=
x-2
x2
6. Czy funkcja f (x)= posiada asymptotę ukośną? Jeżeli tak, to podaj jej równanie.
x+3
Rozwiązanie: znajdujemy granice na parametr a i b zgodnie z komentarzem do zadania 5. Jeżeli będą to granice
skończone, to istnieje asymptota ukośna o równaniu y=ax+b
x2
x2
f (x) x2 x2 1 1
x+3 x2
a= lim lim = lim = lim = lim = lim = =1
x2 xą"
xą" xą" xą" xą" xą"
x x x(x+3)
x2+3x
+3x 1-3 1-0
x
x2 x2
�ł
x2 łł x2 - x(x + 3) x2 - x2 - 3x - 3x
b = lim[f (x) - ax]= lim -1�" xśł = lim = lim = lim = -3
�ł
x�!ą" x�!ą" x�!ą" x�!ą" x�!ą"
x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
�ł śł
�ł �ł
Obie granice są skończone, w takim razie prosta y=x-3 jest asymptotą poziomą tej funkcji.
2
7. Oblicz pochodną funkcji f (x)=ex +5x-6
2
Rozwiązanie: funkcja f (x)=ex +5x-6 jest złożeniem dwóch funkcji:
ńł
ez
�ł
f (x) =
�ł
�ł
z = x2 + 5x - 6
ół
Zgodnie z zasadą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej (pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji
wewnętrznej) mamy:
'
2 2 2
' '
f '(x)(ex +5x-6)=(ez)�"(x2 + 5x -)= ez �" (2x + 5) = ex +5x-6 �" (2x + 5) = (2x + 5)ex +5x-6
= 6
8. Oblicz pochodną funkcji f (x)= cos4 x
Rozwiązanie: funkcja f (x)= cos4 x jest  potrójnie złożona
ńł
z
�ł
f (x) = = u4
�łz
�łu = cos x
ół
Zgodnie z zasadą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej (pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji
wewnętrznej) mamy:
' '
1 -4sin x�"cos3 x
f '(x)=�ł cos4 x�ł'=(z)�"(u4)�"(cos x)'= �"4u3�"(-sin x)=
�ł �ł
�ł łł
2 z
2 cos4 x
ln(2x+5)
9. Oblicz pochodną funkcji f (x)=
x+3
Rozwiązanie: korzystamy z wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji:
( 2
(ln(2x + 5))' �" (x + 3) - ln(2x + 5) �" (x + 3)' 1 �")�" (x + 3) - ln(2x + 5) 2x+6 - ln(2x + 5)
2x+5 2x+5
f '(x) = = = =
(x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2
2x + 6 - (2x + 5) ln(2x + 5)
=
(2x + 5)(x + 3)2
Przy wyznaczaniu pochodnej funkcji licznika musieliśmy skorzystać z wzoru na pochodną funkcji złożonej.
10. Proszę naszkicować wykres funkcji f (x) , o której mamy następujące informacje:
D: x " R -{2} f (x) = 0 �! x = 0
lim f (x)=3 lim f (x) = -" lim f (x) = +"
xą"
x2- x2+
Z treści pytanie wiemy, że prosta x = 2 jest asymptotą pionową, a z granic jednostronnych w tym punkcie
znamy zachowanie funkcji po obu stronach asymptoty. Wiemy także, że w punkcie x = 0 wykres funkcji
przecina oś x-ów (miejsce zerowe).
Z zapisu lim f (x)=3 wynika, że prosta y=3 jest asymptotą poziomą (zobacz zadanie 5). To są
xą"
wystarczające informacje dla naszkicowania wykresu tej funkcji.
x2
11. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (x)=
x+3
Rozwiązanie: zaczynamy od wyznaczenia pochodnej naszej funkcji:
2x �" (x + 3) - x2 �"1 2x2 + 6x - x2 x2 + 6x x(x + 6)
f '(x) = = = =
(x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2
Badamy, kiedy pochodna jest większa od zera, a kiedy mniejsza od zera.
f '(x) > 0 �! x(x + 6) > 0 �! x < -6 lub x > 0
f '(x) < 0 �! x(x + 6) < 0 �! -6 < x < 0
Przy rozwiązywaniu tych dwóch nierówności korzystamy z wykresu funkcji kwadratowej o miejscach zerowych 
6 i 0 oraz gałęziach paraboli skierowanych do góry.
x2
Ostatecznie funkcja f (x)= jest rosnąca dla x<-6 lub x>0 , a malejącą dla x "{(-6,-3) *" (-3,0}) . Z
x+3
uwagi na dziedzinę funkcji musieliśmy przedział -6 < x < 0 przekształcić na sumę dwóch przedziałów.
12. W wyniku prowadzonego badania przebiegu zmienności funkcji uzyskano następującą tabelkę:
x -" ... -1 ... 0 ... 1 ... +"
- - 0 - -
f '(x)
- + 0 - +
f ''(x)
0 Nie +" Nie +"
f (x)
istnieje 0 istnieje 0
-" -"
Proszę naszkicować wykres tej funkcji.
Analizując informacje zawarte w podanej tabeli widzimy, że badana funkcja ma asymptoty pionowe w punktach
x=-1 oraz x=1 . Widzimy także, że w punkcie x = 0 wartość funkcji jest zerowa.
Widzimy także, że granice tej funkcji w minus (plus) nieskończoności są skończone i równe 0, co jak wiemy
oznacza, że funkcja posiada asymptotę poziomą o równaniu y=0 (zobacz zadanie 5).
Z analizy pierwszej pochodnej wynika, że w całej dziedzinie badana funkcja maleje (pierwsza pochodna
ujemna), z uwagi na różny znak drugiej pochodnej funkcja będzie miała albo kształt wypukły, albo wklęsły.
Słownie jej przebieg można opisać następującą (wartości x-ów rosną od minus do plus nieskończoności):
Wartości funkcji maleją od prawie zera do minus nieskończoności po lewej stronie asymptoty x=-1, przy czym
wykres funkcji jest wypukły (druga pochodna ujemna). Po drugiej stronie asymptoty funkcja maleje od plus
nieskończoności do zera, którą przyjmuje w x = 0 , po przekroczeniu zera dalej maleje aż do minus
nieskończoności po lewej stronie asymptoty x=1 . W przedziale (-1; 1) funkcja najpierw ma kształt wklęsły, a
póz
niej wypukły (druga pochodna jest dodatnia dla x " (-1; 0) - kształt wklęsły i ujemna dla x"(0; 1) - kształt
wypukły. Po drugiej stronie asymptoty x=1 funkcja maleje od plus nieskończoności do zera kształtem wklęsłym.
Niezdarny szkic wykresu pokazany jest niżej.