ZADANIE
X ma rozkład wykładniczy z parametrem . Wyznacz rozkład zmiennej losowej
z parametrem e-x i policz jej wartość oczekiwaną.
ROZWI
ZANIE
Dla rozkładu wykładniczego:
G
STOŚĆ DYSTRYBUANTA
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ òÅ‚
0 , x < 0
òÅ‚
0 , x < 0
fx = (x)
fx = (x)
ôÅ‚
ôÅ‚ ół
ół 1 - e-x , x 0
e-x , x > 0
y = g(X) = e-x
ROZKA
AD Y
F x(X) = P (X < x)
F y(y) = P (Y < y) = P (e-x < y) = P (-X < ln y) = P (X > -ln y) =
1 - P (X -ln y) = 1 - F x(-ln y) = 1 - (1 - e- (ln y)) = e ln y = eln y =
y dla y " (0, 1 >
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ y , y " (0, 1 >
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
F y(y) =
0 , y 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 , y > 1
WARTOŚĆ OCZEKIWANA Y:
+" +" +"

E(Y ) = E(g(X)) = fx(x) g(x) dx =  e- x e-x dx =  e-x(+1) dx =
-"
0 0
  
- [e-x(+1)]" = - (0 - 1) =
0
+1 +1 +1
1