ZADANIA Z TEMATÓW  GRANICA FUNKCJI
I  RÓŻNICZKOWALNOŚĆ
Rozwiązywanie podanych niżej zadań wymaga znajomości teorii granicy
funkcji i jej ciągłości oraz różniczkowania funkcji. Patrz wykłady na stronie in-
ternetowej
WWW.ajd.czest.pl/~o.tikhonenko/student.html
(rozdziały 4, 5) oraz materiał teoretyczny w książce W. Krysicki, L. Włodarski.
Analiza matematyczna w zadaniach, Cz. 1 (Rozdziały 5, 6, s. 74 118).
a. Obliczyć granice
x2+4 x2-1 x3-8
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;
x2 x2 x2
x+2 x-2 x-2
x2 - 2x - 8 x2 + 1 - x + 1 sin 3x
4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;
x4 x0 x0
4x
1 - x + 1
x2 - 9x + 20
sin x
7) lim .
x+"
x
b. Obliczyć pochodne następujących funkcji
4
1) y= ; 2) y(23 x2 -)(43 x4 + 23 x5 + x2);
= x
x3
3 3x2 1 + t 1+v- 1-v
3) y= ; 4) y = ; 5) z = ; 6) u= ;
3x-2
1 + 2t 1+v+ 1-v
7x5 - x + 2
7) y=u(x)v(x)w(x) , gdzie u(x), v(x), w(x) są funkcjami różniczkowalnymi;
3 sin ą ą x xsin x
8) y = 3sin ; 9) z = + ; 10) y = ; 11) y = ;
x ą sin ą sin x + cos x 1 + tg x
3
12) y = sin x + x + 2 x ; 13) y=2ln ; 14) y=3x x3 ;
t+ t2-4
x x
1
15) y=xsin x ; 16) y=xe , x>0; 17) y=xx , x>0; 18) y=x .
x
19) Obliczyć kąt, który tworzy z osią Ox styczna do linii y=sin x w po-
czątku współrzędnych.
x-8
20) W jakim punkcie styczna do linii y= tworzy z osią Ox kąt równy
x+1
połowie kąta prostego?