Ćwiczenia do wykładu Synteza i właściwości nanostruktur
Zestaw 5
Zadanie 1  mikroskop STM
Proszę rozważyć sytuację z jaka mamy do czynienia w mikroskopie tunelowym podczas obrazowania
próbki z metalu metalowym ostrzem (patrz rys. 1). Początek układu współrzędnych jest przyjęty na
granicy próbka bariera. Ostrze i próbka charakteryzujÄ… siÄ™ odpowiednio pracami wyjÅ›cia Õ0 i ÕP oraz
energiami poziomu Fermiego Efo oraz Efp. Napięcie V przyłożone jest tak, że próbka staje sie elektrodą
ujemną, a ostrze elektrodą dodatnią, a tunelujące z próbki do ostrza elektrony dysponują energią
z zakresu od Efp-|e|V do Efp. Taka polaryzacja przyłożonego napięcia powoduje, że obrazowane będą
tzw. stany pełne próbki. Odległość ostrza od próbki wynosi z. Przybliżając rzeczywistą barierę
potencjału barierą prostokątną oraz zakładając, że przyłożone napięcie jest małe w stosunku do
wysokości tej bariery wykaż, że prąd tunelowy można opisać przybliżonym wyrażeniem:
gdzie Á(z,Efp) oznacza lokalnÄ… gÄ™stość stanów elektronowych na poziomie Fermiego próbki
w odległości od powierzchni w jakiej znajduje sie ostrze mikroskopu.
Wskazówka 1: Skorzystaj z rozwiązania zadania tunelowania przez prostokątną barierę potencjału. Co
w naszym przykładzie będzie pełnić rolę wysokości bariery?
Wskazówka 2: Lokalna gęstość stanów jest zdefiniowana następująco:
gdzie ¨n(x) sÄ… funkcjami falowymi stanów z przedziaÅ‚u energetycznego od E-µ do E.
Rysunek 1: Schemat tunelowania w mikroskopie STM. E - energia Fermiego dla próbki, E - energia Fermiego
fp fo
dla ostrza, V - przyÅ‚ożona różnica potencjałów, Õ
p - praca wyjÅ›cia materiaÅ‚u próbki, Õ - praca wyjÅ›cia materiaÅ‚u
o
ostrza, z - odległość ostrze-próbka, I - prąd tunelowania, którego zwrot oznaczony jest zieloną strzałką.
Czerwona linia schematycznie przedstawia część przestrzenną przykładowej funkcji falowej tunelującego
elektronu.
Zadanie 2 - bezkontaktowy mikroskop sił atomowych (ncAFM)
W bezkontaktowej mikroskopii sił atomowych rolę skanującej sondy pełni drgająca belka zakończona
ostrzem. W trakcie oddziaływania atomów ostrza z atomami badanej próbki zmianie ulega częstość
drgań belki. Przyjmując uproszczony model, w którym zaniedbujemy efekty tłumienia drgań belki
oraz zakładamy małą amplitudę drgań i mały gradient siły wzdłuż kierunku z wykaż, że zmiana
częstości drgań belki w wyniku oddziaływania z podłożem wyniesie:
Jak wygląda wyrażenie na amplitudę w takim przypadku?
Wskazówka 1: Brak tłumienia oznacza, że belka drgająca w dużej odległości od powierzchni zachowuje się jak
jednowymiarowy oscylator swobodny o częstości (k0 oznacza stałą sprężystości belki, a m jej masę), a
blisko powierzchni jak oscylator wymuszony z siłą wymuszającą F(z) (znajomość jawnej postaci siły nie jest
konieczna w tych rozważaniach).
Wskazówka 2: W rozważanym przypadku wygodnie jest przyjąć rozwiązanie równania oscylatora swobodnego
w postaci z(t) = Asin(É0t + Õ), wyznaczajÄ…c A i Õ z warunków poczÄ…tkowych z(0) = a i z (0) = v0. Takie same
warunki początkowe należy przyjąć w sytuacji, gdy mamy do czynienia z siłą wymuszającą.
Wskazówka 3: Założenie małych amplitud pozwala uprościć równanie z siłą wymuszającą, a założenie małych
gradientów konieczne jest, by otrzymać ostateczny wynik.
Zadanie 3 - mikroskopia sondy skanujÄ…cej STM vs. ncAFM
Na rysunku 2 przedstawiona jest struktura krystaliczna grafitu oraz wizualizacja 3D obrazów
powierzchni grafitu (HOPG - z ang. highly oriented pyrolytic graphite) otrzymanych mikroskopem
sondy skanującej pracującym w trybach STM i ncAFM. Proszę rozstrzygnąć, który z obrazów (C) czy
(D) został zebrany mikroskopem STM, a który ncAFM. Jaka jest przyczyna widocznej różnicy?
Wskazówka 1: Warto rozważyć konfigurację elektronową oraz hybrydyzację atomów węgla w graficie.
Wskazówka 2: Warto zajrzeć do pracy Hembacher et al., PNAS 100, 12541 (2003) - z komputerów w Instytucie
powinien być dostęp do czasopisma PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences).
Szymon Godlewski