ÿþZ e s t a w 1 4
P o c h o d n e w y \s z y c h r z d ó w
N i e c h b d z i e d a n a f u n k c j a f ( x , y ) o k r e [l o n a w p e w n y m o b s z a r z e D . P r z y p u [m y , \e
' '
i s t n i e j p o c h o d n e c z s t k o w e t e j f u n k c j i ( x , y ) , ( x , y ) . P o c h o d n e c z s t k o w e t y c h
f f
x y
p o c h o d n y c h , j e \e l i i s t n i e j , n a z y w a m y p o c h o d n y m i c z s t k o w y m i d r u g i e g o r z d u f u n k c j i
f ( x , y ) .
W s z y s t k i c h p o c h o d n y c h d r u g i e g o r z d u f u n k c j i f ( x , y ) j e s t 4 , m i a n o w i c i e
' ' ' '
"2 f " "f "2 f " "f
ëø öø ëø öø
= = , = = ,
ìø ÷ø ìø ÷ø
f f
x x x y
"x 2 "x d x "x "y "y d x
íø øø íø øø
' ' ' '
ëø öø ëø öø
"2 f " "f "2 f " "f
= = ìø ÷ø , = = ìø ÷ø ,
f f
ìø ÷ø ìø ÷ø
y y y x
"y 2 "y d y "y "x "x d y
íø øø íø øø
p r z y c z y m n p . z a p i s "x 2 j e s t s k r ó t e m z a p i s u "x "x .
O b l i c z a n i e p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h f u n k c j i d w ó c h z m i e n n y c h s p r o w a d z a s i w i c , p r z y
u s t a l e n i u j e d n e j z n i c h , d o o b l i c z a n i a p o c h o d n y c h f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j .
P r z y k Ba d 1 . W y z n a c z w s z y s t k i e p o c h o d n e c z s t k o w e d r u g i e g o r z d u f u n k c j i d a n e j w z o r e m :
1
f ( x , y ) = x 2 y - x y 2 + y 3 - 9 y .
3
R o z w i z a n i e . W y z n a c z a m y n a j p i e r w p o c h o d n e p i e r w s z e g o r z d u :
"f
'
f ( x , y ) = = 2 x y - y 2
x
"x
"f
'
f ( x , y ) = = x 2 - 2 x y + y 2 - 9 .
y
"y
N a s t p n i e w y z n a c z a m y p o c h o d n e d r u g i e g o r z d u :
"2 f
' '
f ( x , y ) = = 2 y ,
x x
"x 2
"2 f
f x y ' ' ( x , y ) = = 2 x - 2 y ,
"x "y
"2 f
' '
f ( x , y ) = = 2 x - 2 y ,
y x
"y "x
"2 f
' '
f ( x , y ) = = - 2 x + 2 y .
y y
"y 2
P r z y k Ba d 2 . W y z n a c z w s z y s t k i e p o c h o d n e c z s t k o w e d r u g i e g o r z d u f u n k c j i d a n e j w z o r e m :
y
f ( x , y ) = x .
R o z w i z a n i e . M a m y
"f "f
y - 1 y
= y x , = x l n x
"x "y
i d a l e j
"2 f
y - 2
= y ( y - 1 ) x ,
"x 2
"2 f
y - 1 y - 1 y - 1
= 1 Å" x + y Å" x l n x = x ( 1 + y l n x ) ,
"x "y
"2 f 1
y - 1 y y - 1
= y x Å" l n x + x Å" = x ( y l n x + 1 ) ,
"y "x x
"2 f
y y
= x l n x Å" l n x = x l n 2 x .
"y 2
P o c h o d n a k i e r u n k o w a f u n k c j i
G r a d i e n t e m f u n k c j i r ó \n i c z k o w a l n e j f ( x , y ) w p u n k c i e ( x 0 , y 0 ) n a z y w a m y w e k t o r
o k r e [l o n y w z o r e m :
îø "f
"f
"f ( x 0 , y 0 ) = ( x 0 , y 0 ) , ( x 0 , y 0 ) ùø .
ïø"x úø
"y
ðø ûø
P r z y u \y c i u p o j c i a g r a d i e n t u , p o c h o d n k i e r u n k o w f u n k c j i f w p u n k c i e P = ( x 0 , y 0 ) w
’!
k i e r u n k u w e k t o r a v o b l i c z a m y z e w z o r u :
’!
"f v
( x 0 , y 0 ) = "f ( x 0 , y 0 ) o .
’!
’!
" v
v
P r z y k Ba d 3 . W y z n a c z y p o c h o d n k i e r u n k o w f u n k c j i f ( x , y ) = x 2 - 2 x y w p u n k c i e
’!
P = ( 2 , 1 ) w k i e r u n k u w e k t o r a v = [ 3 , 4 ] .
R o z w i z a n i e . Z a u w a \m y , \e
"f "f
= 2 x - 2 y , ( 2 , 1 ) = 2 ,
"x "x
2
"f "f
= - 2 x , ( 2 , 1 ) = - 4
"y "y
o r a z
’!
v = 3 2 + 4 2 = 2 5 = 5 .
Z a t e m
’!
"f v [ 3 , 4 ] 3 4 6 1 6 1 0
îø ùø
( 2 , 1 ) = "f ( 2 , 1 ) o = [ 2 , - 4 ] o = [ 2 , - 4 ] o , = - = - = - 2 .
’!
’! ïø5 5 úø 5 5 5
5
ðø ûø
" v
v
E k s t r e m a l o k a l n e f u n k c j i d w ó c h z m i e n n y c h
W a r u n e k k o n i e c z n y i s t n i e n i a e k s t r e m u m
J e \e l i f u n k c j a f ( x , y ) m a w p u n k c i e ( x 0 , y 0 ) e k s t r e m u m l o k a l n e o r a z i s t n i e j w t y m p u n k c i e
p o c h o d n e c z s t k o w e f ' ( x 0 , y 0 ) i f ' ( x 0 , y 0 ) , t o :
x y
f ' ( x 0 , y 0 ) = 0 i f ' ( x 0 , y 0 ) = 0 .
x y
P u n k t , w k t ó r y m s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k k o n i e c z n y , n a z y w a m y p u n k t e m s t a c j o n a r n y m .
W a r u n e k w y s t a r c z a j c y i s t n i e n i a e k s t r e m u m
J e \e l i f u n k c j a f m a w p e w n y m o t o c z e n i u p u n k t u s t a c j o n a r n e g o ( x 0 , y 0 ) p o c h o d n e p i e r w s z e g o
i d r u g i e g o r z d u c i g Be o r a z :
' ' ' '
f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
x x x y
W ( x 0 , y 0 ) = > 0 ,
' ' ' '
f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
y x y y
t o w p u n k c i e ( x 0 , y 0 ) i s t n i e j e e k s t r e m u m l o k a l n e , p r z y c z y m :
J e [l i f x x ' ' ( x 0 , y 0 ) > 0 , t o w p u n k c i e ( x 0 , y 0 ) i s t n i e j e m i n i m u m l o k a l n e .
J e [l i f x x ' ' ( x 0 , y 0 ) < 0 , t o w p u n k c i e ( x 0 , y 0 ) i s t n i e j e m a k s i m u m l o k a l n e .
J e \e l i W ( x 0 , y 0 ) < 0 , t o w p u n k c i e s t a c j o n a r n y m ( x 0 , y 0 ) n i e m a e k s t r e m u m .
J e \e l i W ( x 0 , y 0 ) = 0 , t o t w i e r d z e n i e n i e r o z s t r z y g a o i s t n i e n i u e k s t r e m u m .
3
Z p o w y \s z y c h t w i e r d z e D w y n i k a n a s t p u j c y s c h e m a t w y z n a c z a n i a e k s t r e m ó w f u n k c j i
f ( x , y ) :
1 . O b l i c z a m y p o c h o d n e c z s t k o w e r z d u p i e r w s z e g o f ' ( x 0 , y 0 ) i f ' ( x 0 , y 0 ) o r a z
x y
p r z y r ó w n u j e m y j e d o z e r a , z n a j d u j c w t e n s p o s ó b p u n k t y s t a c j o n a r n e .
2 . Z n a j d u j e m y p o c h o d n e c z s t k o w e r z d u d r u g i e g o i t w o r z y m y w y z n a c z n i k W ( x , y ) .
3 . O b l i c z a m y k o l e j n o z n a k w y z n a c z n i k a W ( x , y ) w p u n k t a c h s t a c j o n a r n y c h , a w p r z y p a d k u
' '
g d y j e s t o n w i k s z y o d z e r a , b a d a m y t a k \e z n a k p o c h o d n e j f x x ' ' ( x 0 , y 0 ) < 0 l u b f ( x 0 , y 0 )
y y
w t y c h p u n k t a c h .
P r z y k Ba d 4 . W y z n a c z y e k s t r e m a l o k a l n e f u n k c j i f ( x , y ) = 2 x 3 + y 3 - 6 x - 1 2 y .
R o z w i z a n i e . W y z n a c z a m y d z i e d z i n f u n k c j i : D = R × R .
S z u k a m y n a j p i e r w - z g o d n i e z e s c h e m a t e m p o d a n y m w y \e j - p u n k t ó w s t a c j o n a r n y c h , c z y l i
o b l i c z m y p o c h o d n e c z s t k o w e p i e r w s z e g o r z d u , a n a s t p n i e p r z y r ó w n u j e m y j e d o z e r a .
f ' ( x , y ) = 6 x 2 - 6 ,
x
f ' ( x , y ) = 3 y 2 - 1 2
y
i r o z w i z u j e m y u k Ba d r ó w n a D:
x = 1 (" x = - 1
ñø 6 x 2 - 6 = 0 x 2 - 1 = 0
- - - - .
òø
y = 2 (" y = - 2
3 y 2 - 1 2 = 0 y 2 - 4 = 0
óø
S t d o t r z y m u j e m y c z t e r y p u n k t y s t a c j o n a r n e : P 1 ( l , 2 ) , P 2 ( l , - 2 ) , P 3 ( - l , 2 ) , P 4 ( - l , - 2 ) , w
k t ó r y c h s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k k o n i e c z n y i s t n i e n i a e k s t r e m u m , c z y l i 4 p u n k t y , w k t ó r y c h
m o \e b y e k s t r e m u m .
N a s t p n i e o b l i c z a m y p o c h o d n e c z s t k o w e d r u g i e g o r z d u i t w o r z y m y w y z n a c z n i k W ( x , y ) :
' ' ' ' ' '
f x x ' ' ( x , y ) = 1 2 x , f ( x , y ) = 0 , f ( x , y ) = 0 , f ( x , y ) = 6 y .
x y y x y y
1 2 x 0
W ( x , y ) =
0 6 y
B a d a m y t e r a z k o l e j n o z n a k w y z n a c z n i k a w p u n k t a c h P 1 ( l , 2 ) , P 2 ( l , - 2 ) , P 3 ( - l , 2 ) , P 4 ( - l , - 2 )
i n a p o d s t a w i e w a r u n k u w y s t a r c z a j c e g o w n i o s k u j e m y o i s t n i e n i u e k s t r e m u m l o k a l n e g o .
4
B a d a m y p u n k t P 1 ( 1 , 2 ) .
1 2 0
W ( P 1 ) = = 1 4 4 > 0 , z a t e m i s t n i e j e e k s t r e m u m
0 1 2
f x x ' ' ( 1 , 2 ) > 0 , z a t e m w p u n k c i e P 1 ( l , 2 ) i s t n i e j e m i n i m u m l o k a l n e .
B a d a m y p u n k t P 2 ( l , - 2 ) .
1 2 0
W ( P 2 ) = = - 1 4 4 < 0 , z a t e m w t y m p u n k c i e n i e i s t n i e j e e k s t r e m u m
0 - 1 2
B a d a m y p u n k t P 3 ( - l , 2 ) .
- 1 2 0
W ( P 3 ) = = - 1 4 4 < 0 , z a t e m w t y m p u n k c i e n i e i s t n i e j e e k s t r e m u m
0 1 2
B a d a m y p u n k t P 4 ( - l , - 2 ) .
- 1 2 0
W ( P 4 ) = = 1 4 4 > 0 , z a t e m i s t n i e j e e k s t r e m u m
0 - 1 2
f x x ' ' ( - 1 , - 2 ) = - 1 2 < 0 z a t e m w p u n k c i e P 4 ( - l , - 2 ) i s t n i e j e m a k s i m u m l o k a l n e .
O d p o w i e d z:
P r z e d s t a w i o n a w z a d a n i u f u n k c j a m a d w a e k s t r e m a l o k a l n e : m i n i m u m l o k a l n e w p u n k c i e
P 1 ( 1 , 2 ) i m a k s i m u m l o k a l n e w p u n k c i e P 4 ( - l , - 2 ) , p r z y c z y m :
f m i n = f ( 1 , 2 ) = 2 + 8 6 2 4 = - 2 0
f m a x = f ( - 1 , - 2 ) = - 2 - 8 + 6 + 2 4 = 2 0 .
5
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o r o z w i z a n i a
"2 f "2 f "2 f "2 f
Z a d a n i e 1 . W y z n a c z , , , , g d z i e f u n k c j a f ( x , y ) d a n a j e s t w z o r e m :
"x 2 "x "y "y "x "y 2
( a ) f ( x , y ) = 3 x y + 2 x ,
( b ) f ( x , y ) = 2 x e x + y + y 2 ,
( c ) f ( x , y ) = x 2 + y ,
( d ) f ( x , y ) = l n ( 9 - x 2 - y 2 ) ,
( e ) f ( x , y ) = y + l n ( y + 1 ) .
Z a d a n i e 2 . W y z n a c z p o c h o d n k i e r u n k o w f u n k c j i f ( x , y ) w p u n k c i e P w k i e r u n k u
w e k t o r a v = ( v 1 , v 2 ) j e \e l i :
( a ) "f ( x , y ) = [ 2 x + 3 y , x ] , v = [ 1 , 2 ] , P = ( 1 , 0 ) ,
( b ) "f ( x , y ) = [ x + 3 x y , y ] , v = [ 0 , 1 ] , P = ( - 1 , 2 ) ,
( c ) "f ( x , y ) = [ 2 x + 3 , 3 y + 1 ] , v = [ 2 , 2 ] , P = ( 0 , 2 ) .
Z a d a n i e 3 . W y z n a c z y e k s t r e m a f u n k c j i f ( x , y ) , g d z i e :
( a ) f ( x , y ) = 2 x + 3 y ,
( b ) f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,
( c ) f ( x , y ) = x 2 + 2 x + y 2 + 3 ,
( d ) f ( x , y ) = x 2 + 2 x y + 3 y 2 ,
( e ) f ( x , y ) = 4 x 3 + 2 x + 3 y 2 ,
( f ) f ( x , y ) = 3 x 2 y - 6 x y + y 3 .
O d p o w i e d z i .
Z a d a n i e 1 .
"2 f "2 f "2 f "2 f
( a ) = 0 , = 3 , = 3 , = 0 ,
"x 2 "x y "y x "y 2
6
"2 f "2 f "2 f "2 f
( b ) = 2 e x + y ( 2 + x ) , = 2 e x + y ( 1 + x ) , = 2 e x + y ( 1 + x ) , = 2 ( x e x + y + 1 ) ,
"x 2 "x y "y x "y 2
"2 f "2 f "2 f "2 f 1
( c ) = 2 , = 0 , = 0 , = - ,
"x 2 "x y "y x "y 2 4 y 3
"2 f - 2 x 2 + 2 y 2 - 1 8 "2 f - 4 x y
( d ) = , = ,
2
"x 2 - x 2 - y 2 ) 2 "x y
( 9 ( 9 - x 2 - y 2 )
"2 f - 4 x y "2 f 2 x 2 - 2 y 2 - 1 8
= , = ,
2
"y x "y 2 - x 2 - y 2 ) 2
( 9 - x 2 - y 2 ) ( 9
"2 f "2 f "2 f "2 f - 1
( e ) = 0 , = 0 , = 0 , = .
2
"x 2 "x y "y x "y 2
( y + 1 )
Z a d a n i e 2 .
4 5
( a ) , ( b ) 2 , ( c ) 5 2 .
5
Z a d a n i e 3 .
( a ) b r a k e k s t r e m u m ,
( b ) f m i n ( 0 , 0 ) = 0 ,
( c ) f m i n ( - 1 , 0 ) = 2 ,
( d ) f m i n ( 0 , 0 ) = 0 ,
( e ) b r a k e k s t r e m u m ,
( f ) f m i n ( 1 , 1 ) = - 2 , f m a x ( 1 , - 1 ) = 2 .
7
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