Ćwiczenia do wykładu Synteza i właściwości nanostruktur
Zestaw 3
Zadanie 1  gęstość stanów w nanostrukturach
W celu opisu spektrum energetycznego elektronów w nanostrukturach wprowadza się funkcję zwaną
gÄ™stoÅ›ciÄ… stanów Á(E), która pozwala okreÅ›lić liczbÄ™ stanów dN(E) w maÅ‚ym przedziale energii dE
wokół energii o wartości E:
dN(E) = Á(E)dE.
W ogólności gęstość stanów jest dana przez następujące wyrażenie:
,
gdzie µ oznacza zestaw liczb kwantowych potrzebnych do okreÅ›lenia stanu o energii Eµ, a ´(x)
oznacza funkcjÄ™ delta Diraca.
Zastosuj relację dyspersyjne użyte w zadaniu nr 2 z poprzedniego zestawu oraz powyższą definicję do
wyliczenia gęstości stanów struktury 3D (kryształ), 2D (studnia kwantowa) i 1D (kwantowy drut).
Narysuj schematyczne wykresy Á(E) dla każdej z tych struktur.
Wskazówka 1:
Funkcja delta Diraca ma następujące właściwości:
oraz
.
Całkowana z funkcją f(x) na przedziale od a do b da w wyniku:
jeśli .
Wskazówka 2:
Przy ustalaniu µ przyjąć zaÅ‚ożenie, że energia nie zależy od spinu. NastÄ™pnie skorzystać z zamiany sumowania
na całkowanie, według przepisu ze wskazówki nr 2 do zadania nr 2 z zestawu nr 2.
Zadanie 2  powierzchnia i wnętrze kryształu
W skali makro atomy z wnętrza kryształu określają jego właściwości, gdyż stanowią większość
atomów tworzących dany materiał. W sytuacji, gdy rozpatrujemy obiekt, którego rozmiary są rzędu
nanometrów, stosunek liczby atomów powierzchniowych do liczby atomów z wnętrza kryształu
F rośnie. Tym samym istotny wpływ na właściwości danego obiektu zaczynają mieć właśnie atomy
powierzchniowe. Proszę wyznaczyć zależność stosunku liczby atomów powierzchniowych do liczby
atomów z wnętrza w funkcji całkowitej liczby atomów N, F(N), dla materiału o prostej strukturze
kubicznej. Proszę przyjąć, że obiekt jest sześcianem o boku a zawierającym n atomów, oczywiście
N = n3. Proszę narysować wykres F(N) dla obiektów posiadających od 2 do 100 atomów na krawędzi.
Zadanie 3 - nanourzÄ…dzenie
Mamy urządzenie wykonane z kryształu GaAs o wymiarach LX, LY i LZ, gdzie wymiar LX oznacza
odległość pomiędzy elektrodami i przepływ prądu następuje tylko w tym kierunku. Masa efektywna
elektronów w GaAs wynosi m* = 0.067me (me oznacza masę swobodnego elektronu), a mobilność
w temperaturze T = 77K przyjmuje wartość ź = 105cm2V-1s-1. Oblicz
" długość fali de Broglie elektronów,
" Å›redni czas miÄ™dzy elastycznymi zderzeniami elektronów Äe,
" termiczną szybkość elektronów vT ,
" średnią drogę swobodną le,
" współczynnik dyfuzji (D = vT2Äe/3 dla struktury 3D).
Następnie proszę określić sposób opisu zjawisk transportu elektronów dla urządzenia wykonanego
z tego materiału o rozmiarach LX = 0.05 źm, 0.5 źm, i 5 źm, posługując się klasyfikacja przedstawioną
w Tabeli 1.
Warunek Zakres
kwantowy
mezoskopowy
i klasyczny transport balistyczny
i klasyczny transport kwazibalistyczny
klasyczny transport dyfuzyjny
Tabela 1. Klasyfikacja sposobów opisu zjawisk transportu nośników w zależności od rozmiarów urządzenia Lx , 
- długość fali de Broglie elektronów, LT - długość dyfuzji termicznej, le - średnia droga swobodna.
Wskazówka:
Elektrony poruszajÄ…c siÄ™ w krysztale podlegajÄ… elastycznym i nieelastycznym zderzeniom. Zderzenia elastyczne
nie niszczÄ… koherencji ruchu elektronów. Åšredni czas miÄ™dzy zderzeniami elastycznymi Äe wyznacza Å›redniÄ…
drogÄ™ swobodnÄ… miÄ™dzy zderzeniami le = vT Äe, gdzie vT oznacza termiczna szybkość elektronów i jest zwiÄ…zany
z mobilnością elektronów następującą relacją:
ź = e"Äe/m*.
Zderzenia nieelastyczne natomiast niszczą koherencje ruchu elektronów. Odległość pokonana przez elektron
pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi LE, zwykle jest znacznie większa od le (to samo dotyczy średniego czasu
miÄ™dzy zderzeniami nieelastycznymi ÄE i elastycznymi Äe). W tej sytuacji mamy do czynienia z dyfuzja
elektronów, a odległość przebyta pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi wyznaczona jest następująco:
gdzie D = vT2Äe/3 to współczynnik dyfuzji.
Innym procesem prowadzącym do utraty koherencji jest niezerowa temperatura gazu elektronów, która
wyznacza kolejnÄ… skalÄ™ czasowÄ…, . JeÅ›li tylko mamy do czynienia z sytuacjÄ…, że ÄE > ÄT > Äe (zwykle ma to
miejsce, gdy ÄE >> Äe) to po upÅ‚ywie czasu ÄT na dystansach
spójność elektronów jest utracona. Najmniejsza z wartości LE i LT , wyznacza skalę przestrzenną związaną
z utratÄ… koherencji kwantowomechanicznej:
lĆ H" min{LE,LT}.
Długość koherencji lĆ wyznacza granicę, poniżej której transport elektronów ma kwantowomechaniczny
charakter. Zwykle LE jest tak duże, że można przyjąć lĆ = LT (tak tez uczyniono w klasyfikacji przedstawionej
w Tabeli 1). Powyższe skale wielkości pozwalają na klasyfikację rodzaju transportu z jakim mamy do czynienia
w urządzeniach elektronicznych różnej wielkości.
Szymon Godlewski