Nr ćwiczenia 103	Data: 16.05.2001	Imię i Nazwisko -->Łukasz Czarnolewski[Author ID1: at Mon Jun 11 19:50:00 2001 ]	Wydział Elektryczny	Semestr II	Grupa E-2 Nr lab. 3
Prowadzący: -->Dr M. Bancewicz[Author ID1: at Mon Jun 11 19:50:00 2001 ]			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

TEMAT: Wyznaczanie Modułu Younga Metodą wydłużenia.

1. Wprowadzenie

Pod działaniem sił zewnętrznych każde ciało ulega odkształceniu zmieniając swoją objętość i kształt. Ciało stałe, które wskutek działania siły lub momentu siły uległo odkształceniu, wraca do postaci pierwotnej, z chwilą ustania działania siły lub jej momentu. Powrót ten na ogół, nie jest zupełny. Ciało, które po ustaniu działania siły wraca całkowicie do postaci pierwotnej nazywamy doskonale sprężystym.

Siły zewnętrzne powodujące odkształcenie ciała stałego, przez zmianę jego kształtu czy objętości, wywołują wewnątrz ciała siły reakcji, które występują dzięki własnościom sprężystym ciała. W czasie, gdy ciało jest odkształcone siły zewnętrzne są równoważone siłami reakcji sprężystych ciała.

Stosunek siły F do powierzchni S na którą ta siła działa nazywamy naprężeniem τ

W myśl prawa Hooke'a odkształcenie względne jest proporcjonalne do naprężenia:

gdzie M jest modułem sprężystości, a α miarą odkształcenia względnego.

Zależnie od rodzaju naprężeń (normalne, styczne) ciało ulega odkształceniu objętości względnie odkształceniu postaci. Trzecim rodzajem odkształcenia jest rozciąganie (ściskanie) - czyli zmiana wymiaru liniowego ciała.

Pod wpływem naprężeń normalnych ciało ulega wydłużeniu lub skróceniu. Prawo Hooke'a przyjmuje wtedy postać:

gdzie E jest współczynnikiem proporcjonalności nazywanym modułem Younga [N/m²], a ε to odkształcenie względne będące stosunkiem przyrostu (ubytku) długości (Δl) do długości początkowej (l) ciała, czyli:

Moduł Younga E to wielkość naprężenia potrzebna do wydłużenia ciała o długość początkową.

2. Wyniki pomiarów:

- długość drutu l:

l = 132,4 cm = 1,324 m

Δ = ±0,001 m

- średnica drutu 2r:

Nr	2r [mm]	Δ2r [mm]
1	0,49	0,01
2	0,49	0,01
3	0,49	0,01
4	0,49	0,01
5	0,49	0,01
6	0,49	0,01
7	0,49	0,01
8	0,49	0,01
9	0,49	0,01
10	0,49	0,01

- Położenie śruby mikrometrycznej przy wstępnym obciążeniu m₀ = 380±0,01g

Z₀ = (6,9±0,1)⋅10^-4m

- Pomiar wydłużenia drutu

Numer pomiaru:	1	2	3	4	5	6	7
Obciążenie [kg]	m0+0,048	m0+0,096	m0+0,144	m0+0,192	m0+0,240	m0+0,288	m0+0,384
Położenie Z [mm] dla obciążenia rosnącego	0,72	0,75	0,78	0,81	0,85	0,87	0,92
Położenie Z [mm] dla obciążenia malejącego	0,73	0,76	0,78	0,82	0,84	0,87	0,92

ΔZ = ±0,01mm

Δm = ±0,01g

3. Obliczenia

a) obliczenie pola przekroju drutu:

średni promień drutu r=4,9⋅10^-4m/2 = 2,45⋅10^-4m

pole przekroju S=Πr²= 3,14⋅6,0025⋅10^-8m²= 1,8857⋅10^-7m²

b) obliczenie przyrostu długości drutu:

dla obciążenia rosnącego:

Δl₁ = Z₁ - Z₀ = 7,2 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 3 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₂ = Z₂ - Z₀ = 7,5 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 6 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₃ = Z₃ - Z₀ = 7,8 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 9 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₄ = Z₄ - Z₀ = 8,1 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,2 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₅ = Z₅ - Z₀ = 8,5 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,6 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₆ = Z₆ - Z₀ = 8,7 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,8 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₇ = Z₇ - Z₀ = 9,2 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 2,3 ⋅ 10^-5 [m]

dla obciążenia malejącego:

Δl₇ = Z₇ - Z₀ = 9,2 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 2,3 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₆ = Z₆ - Z₀ = 8,7 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,8 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₅ = Z₅ - Z₀ = 8,4 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,5 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₄ = Z₄ - Z₀ = 8,2 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 1,3 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₃ = Z₃ - Z₀ = 7,8 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 9 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₂ = Z₂ - Z₀ = 7,6 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 7 ⋅ 10^-5 [m]

Δl₁ = Z₁ - Z₀ = 7,3 ⋅ 10^-4 - 6,9 ⋅ 10^-4 = 4 ⋅ 10^-5 [m]

c) obliczenie siły normalnej F_n:

g = 9,81 m/s²

F_n1= m ⋅ g = 0,428 ⋅ 9,81 = 4,19868 [N]

F_n2= m₂ ⋅ g = 0,476 ⋅ 9,81 = 4,66956 [N]

F_n3= m₃ ⋅ g = 0,524⋅ 9,81 = 5,14044 [N]

F_n4= m₄ ⋅ g = 0,572 ⋅ 9,81 = 5,61132 [N]

F_n5= m₅ ⋅ g = 0,620 ⋅ 9,81 = 6,0822 [N]

F_n6= m₆ ⋅ g = 0,668 ⋅ 9,81 = 6,55308 [N]

F_n7= m₇ ⋅ g = 0,764 ⋅ 9,81 = 7,49484 [N]

d) obliczenie naprężeń normalnych σ:

pole przekroju S = 1,8857⋅10^-7m²

σ₁= F_n1 / S = 22265895,95 [N / m²]

σ₂= F_n2 / S = 24763005,78 [N / m²]

σ₃= F_n3 / S = 27260115,61 [N / m²]

σ₄= F_n4 / S = 29757225,43 [N / m²]

σ₅= F_n5 / S = 32254335,26 [N / m²]

σ₆= F_n6 / S = 34751445,09 [N / m²]

σ₇= F_n7 / S = 39745664,74 [N / m²]

e) obliczenie wydłużeń względnych ε:

długość początkowa l = 1,325 m

dla obciążenia rosnącego:

ε₁ = Δl₁ / l = 2,26415 ⋅ 10^-5

ε₂ = Δl₂ / l = 4,5283 ⋅ 10^-5

ε₃ = Δl₃ / l = 6,79245 ⋅ 10^-5

ε₄ = Δl₄ / l = 9,0566 ⋅ 10^-5

ε₅ = Δl₅ / l = 12,0755 ⋅ 10^-5

ε₆ = Δl₆ / l = 13,5849 ⋅ 10^-5

ε₇ = Δl₇ / l = 17,3585 ⋅ 10^-5

dla obciążenia malejącego:

ε₁ = Δl₁ / l = 3,01887 ⋅ 10^-5

ε₂ = Δl₂ / l = 5,28302 ⋅ 10^-5

ε₃ = Δl₃ / l = 6,79245 ⋅ 10^-5

ε₄ = Δl₄ / l = 9,81132 ⋅ 10^-5

ε₅ = Δl₅ / l = 11,3208 ⋅ 10^-5

ε₆ = Δl₆ / l = 13,5849 ⋅ 10^-5

ε₇ = Δl₇ / l = 17,3585 ⋅ 10^-5

4. Rachunek błędów

a) błąd maksymalny pola przekroju:

[Author ID1: at Mon Jun 11 19:51:00 2001 ]

b) błąd maksymalny siły normalnej:

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID1: at Mon Jun 11 19:52:00 2001 ]

[Author ID1: at Mon Jun 11 19:53:00 2001 ]

c) błąd maksymalny naprężeń normalnych:

dla poszczególnych naprężeń:

Δσ₁ = 3648651,349 [N / m²]

Δσ₂ = 4057839,946 [N / m²]

Δσ₃ = 4467028,542 [N / m²]

Δσ₄ = 4876217,139 [N / m²]

Δσ₅ = 5285405,735 [N / m²]

Δσ₆ = 5694594,332 [N / m²]

Δσ₇ = 6512971,525 [N / m²]

d) błąd maksymalny wydłużeń względnych:

dla poszczególnych wydłużeń

przy obciążeniu rosnącym

Δε₁ = 7,56426 ⋅ 10^-6

Δε₂ = 7,58135 ⋅ 10^-6

Δε₃ = 7,59843 ⋅ 10^-6

Δε₄ = 7,61552 ⋅ 10^-6

Δε₅ = 7,6497 ⋅ 10^-6

Δε₆ = 7,6497 ⋅ 10^-6

Δε₇ = 7,67818 ⋅ 10^-6

przy obciążeniu malejącym:

Δε₁ = 7,56995 ⋅ 10^-6

Δε₂ = 7,58704 ⋅ 10^-6

Δε₃ = 7,59843 ⋅ 10^-6

Δε₄ = 7,62122 ⋅ 10^-6

Δε₅ = 7,63261 ⋅ 10^-6

Δε₆ = 7,6497 ⋅ 10^-6

Δε₇ = 7,67818 ⋅ 10^-6

5. Zestawienie wyników

	1	2	3	4	5	6	7
ε	2,27⋅10^-5	4,53⋅10^-5	6,79⋅10^-5	9,06⋅10^-5	12,08⋅10^-5	13,58⋅10^-5	17,36⋅10^-5
Δε	±0,7610^-5	±0,76⋅10^-5	±0,76⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5
ε	3,02⋅10^-5	5,28⋅10^-5	6,79⋅10^-5	9,81⋅10^-5	11,32⋅10^-5	13,58⋅10^-5	17,36⋅10^-5
Δε	±0,76⋅10^-5	±0,76⋅10^-5	±0,76⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5	±0,77⋅10^-5
σ [N/m^2]	22300000	24800000	27300000	29800000	32300000	34800000	39800000
Δσ [N/m^2]	±3700000	±4100000	±4500000	±4900000	±5300000	±5700000	±6600000

6. Wykresy

Na następnej stronie wykreśliłem wykresy zależności naprężenia normalnego σ w funkcji wydłużenia względnego ε uzyskane z wyników obliczeń dla obciążenia rosnącego (wykres a) i malejącego (wykres b).

W uzyskanych poprzez regresję liniową wykresach (y=ax+b) współczynniki nachylenia obu prostych jest szukanym modułem Younga, czyli:

1. obciążenie rosnące: y = 1,129 ⋅ 10¹¹x + 1,95 ⋅ 10⁷ ⇒ E = (1,129 ± 0,65) ⋅ 10¹¹ [N/m²]

2. obciążenie rosnące: y = 1,206 ⋅ 10¹¹x + 1,85 ⋅ 10⁷ ⇒ E = (1,206 ± 0,65) ⋅ 10¹¹ [N/m²]

Wykres zależności naprężenia normalnego σ w funkcji wydłużenia względnego ε dla obciążenia rosnącego

σ = f(ε)

Wykres zależności naprężenia normalnego σ w funkcji wydłużenia względnego ε dla obciążenia malejącego

σ = f(ε)

7. Wnioski i dyskusje

W ćwiczeniu uzyskałem dwie zbliżone wartości modułu Younga to jest E = 1,129x10¹¹Nm^-2 przy zwiększaniu obciążenia i E = 1,206x10¹¹Nm^-2 przy zmniejszaniu obciążenia tego drutu. Zmiana masy obciążającej pociągała za sobą zmianę przyłożonej do drutu siły normalnej, a ta z kolei zmianę jego wydłużenia. Po całkowitym usunięciu masy dodatkowej długość drutu powróciła do pierwotnych wymiarów, a więc w ćwiczeniu miałem do czynienia z odkształceniem sprężystym (czyli granica sprężystości nie została przekroczona).

Biorąc pod uwagę fakt, że badany drut był prawdopodobnie drutem stalowym, uzyskane przeze mnie wartości modułu Younga są prawie dwukrotnie mniejsze od wartości tablicowej wynoszącej dla stali E = 2,15x10¹¹Nm^-2. Wydaje mi się, że taka rozbieżność może wynikać z bardzo niskiej zawartości węgla w stali z której wykonany był badany drut, gdyż właśnie takie stale charakteryzują się małą twardością i co za tym idzie dużą ciągliwością, czyli mniejszym modułem Younga, niż stale z większą zawartością węgla.

Wpływ na uzyskane wyniki (w szczególności na różnicę między obliczonymi modułami wynoszącą 0,077x10¹¹Nm^-2) miał nieprecyzyjny pomiar wydłużenia drutu, wynikający z dość „subiektywnego” poziomowania poziomicy.

Z zestawienia wyników jak i z kwadratów błędów na wykresach wynika, że o ile maksymalny błąd wydłużenia względnego jest niemalże stały dla całej serii pomiarów i obliczeń, to maksymalny błąd naprężenia stale wzrasta wraz ze wzrostem wyznaczanego naprężenia, aż niemal dwukrotnie w stosunku do najmniejszej wartości tego błędu.

---