MIARY ZMIENNOŚCI : ZRÓŻNICOWANIA, DYSPERSJI, ROZRZUTU.

Rozważamy dwie grupy osób, badaną cechą niech będą zarobki:

A B

999zł 100zł

1000zł 1000zł

1001zł 1900zł

Widzimy że obie zbiorowości są bardzo różne jeżeli chodzi o rozkład zarobków, natomiast średnia w grupie A jest równa średniej w grupie B

Wartości średnie nie dają wie wyczerpującej charakterystyki struktury zbiorowości.

Nie informują nas o stopniu zmienności ( dyspersji) badanej cechy.

DYSPERSJA

To zróżnicowanie jednostek zbiorowości statystycznej ze względu na wartości badanej ceny

MIARY ZMIENNOŚCI:

KLASYCZNE POZYCYJNE

Wariancjia Rozstęp

Odchylenie Standardowe Odchylenie ćwiartkowe

Współczynnik Zmienności Współczynnik zminności

MIARY KLASYCZNE

Zbiorowość A :

1 100

100

10 000

RAZEM:

X

20 000

Xi	Xi-X	( Xi - X ) ²
900	-100	10 000
1 000	0	0

ODCHYLENIE = √200000/3 = 82

W zbiorowości A zarobki poszczególnych pracowników różnią się przeciętnie od średnich zarobków ( 1000zł ) o Plus/ minus 82 zł

Zbiorowość B

Xi	Xi- X	(Xi-X)²
100	-900	81 0000
1000	0	0
1900	900	810000
RAZEM	X	162 00 00

ODCHYLENIE √162 00 00/3= 735ZŁ

W zbiorowości B zarobki poszczególnych pracowników różnią się przeciętnie od średnih zarobków(1000zł) plus /minus 735zł

ODHYLENIE STANDARDOWE:

Jest to wielkość o jaką średnio odchylają się poszczególne wartości cechy od średniej arytmetycznej.

ODCHYLENIE STANDARDOWE TO:

Pierwiastek kwadratowy z wariancji.

ƍ= √ƍ²

WARIANCJA

Szereg szczegółowy:

Szereg rozdzielczy - punktowy

Szereg rozdzielczy

WARIANCJA

To przeciętne kwadratowe odchylenie poszczególnych wyników od jej średniej.

WŁASNOŚCI ODCHYLENIA STANDARDOWEGO I WARIANCJI.

Do obliczania tych charakterystyk potrzebna jest znajomość wszystkich wartości cech.

Wartość wariancji nie ulega zmianie, gdy w miejsce liczebności wstawimy odsetki.

Wariancja obliczana na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych jest wartością zawyżoną.

Przeszacowanie wartości wariancji jest tym większa, im mniejsza jest liczba klas.

W Elu zmniejszenia popełnionego błędu stosujemy poprawkę Shepparda.

1/12 h ²

Poprawkę Shepparda możemy stosować , tylko w szeregu rozdzielzym o równych rozpiętośiach.

. ODCHYLENIE STANDARDOWE:

jest charakterystyka bardzo cenną, często wykorzystywaną w badaniach statystycznych .jest precyzyjną i logiczną miara zmienności , przy której inne miary można traktować jako drugorzędne .

miary pozycyjne

ROZSTEP- to różnica między największą i najmniejszą zaobserwowaną wielkością:

Q = ½ ( Q3 - Q1)

Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek badanej zbiorowości, pozostałej po odrzuceniu 25%jednostek o wartościach najniższych, oraz 25 % jednostek o wartościach najwyższych.

Omówienie dotąd miary dyspersji są miarami bezwzględnymi, gdyż wyrażamy je w takich samych jednostkach jak wartości badanej zmiennej.

Nie pozwala to na porównanie zmienności cech o różnych miarach. Nie można również porównać pod względem tej samej cechy 2( lub kilku) zbiorowości bd. na różnym poziomie.

Dlatego też w analizie dyspersji stosuje się względną miarę zróżnicowania - współczynnik zmienności.

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI:

To stosunek odchylenia standardowego do średniej arytmetycznej.

Stwierdzam , że ƍ = 20 ma zupełnie inne znaczenie, gdy dane stanu rachunku bankowego są rzędu 150-160 zł niż wtedy, gdy dane rzędu milionów zł

Po porównaniu obu przypadków widzimy, że absolutna miara rozpuszczenia ,jaką jest odchylenie standardowe, nie przekazuje wiele informacji.

V=

Współczynnik zmienności został celowo tak zbudowany, by mógł służyć jako relatywna miara rozproszenia. Pokazuje on rozproszenie w stosunku do średniej, czyli do przeciętnej wartości wyników obserwacji ( danych )

Wartość liczbowa współczynników zmienności najczęściej podawane są w procentach . Przyjmuje się ,że jeżeli współczynnik zmienności jest poniżej 10% , to cechy te wykazują zróżnicowanie statystyczne nieistotne.

DLA MIAR POZOSTAŁYCH STOSUJEMY :

V me = Q/me razy 100%

MIARY ASYMETRII

Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości, ale również to, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej , czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy.

Problem ten wiąże się z oceną asymetrii ( skośności) rozkładu.

Asymetrię najłatwiej jest określić poprzez porównanie:

• dominanty

• mediany

• średniej arytmetycznej

ROZKŁAD SYMETRYCZNY

X = Me = D

X - D = 0

Wszystkie średnie

• Średnia arytmetyczna

• Dominanta

• Mediana

Są sobie równe.

X = Me = D

ASYMETRIA UJEMNA

Szereg Skośny Lewostronnie

X < Me < D

X- D < 0

X D

Większość Jednostek jest większa od średniej arytmetycznej.

ASYMETRIA UJEMNA

Szereg skośny Prawostronnie

X > Me > D

X - D > 0

D X

Większość jednostek w zbiorowości jest mniejsza od średniej arytmetycznej.

Najczęściej używaną miarą asymetrii jest:

• współczynnik skośności A

A=

A

Wartość bezwzględna współczynnika skośności określa siłę asymetrii. Im miernik ten jest bliższy jedności, tym większa asymetria.

Znak przy współczynniku określa kierunek asymetrii.

• (+) asymetria prawostronnie dodatnia

• (-) asymetria lewostronnie ujemna

Jeżeli nie możemy obliczyć średniej arytmetycznej lub dominanty, to możemy zastosować pozycyjna miarę asymetrii.

Wskaźnik asymetrii:

W

Wskaźnik ten mierzy asymetrię tylko środkowej części zbiorowości.

Do klasycznych współczynników asymetrii należy:

WSPÓŁCZYNNIK ASYMATRII A

A= gdzie m3moment centralny trzeciego rzędu A € ( -1; 1 )

DLA SZEREGU SZCZEGÓŁOWEGO :

DLA SZEREGU ROZDZIELCZEGO

Jest to precyzyjna miara asymetrii ale jest kłopotliwa pod względem rachunkowym i jest nieodporna na występowanie wartości nietypowych.

Np.: Jakie znaczenie ma uzyskana informacja o wielkości odchylenia Standardowego?

Odp: Stwierdzenie że ƍ=20 ma zupełnie inne znaczenie, gdy dane - stanu rachunku bankowego - są rzędu 150-160 zł niż wtedy gdy dane są rzędu miliona złotych .

26.10.09 r

---