Pojęcie iloczynu i ilorazu liczb naturalnych. Mieszczenie i podział jako dwie szczegółowe sytuacje prowadzące do dzielenia liczb.

Mnożenie wprowadza się na przykładzie pola prostokąta. Iloczyn liczb a i b oznaczamy a ^. b, jest liczbą kwadratów jednostkowych, których składa się prostokąt o długości ,,a” jednostek i szerokości ,,b” jednostek.

Metodyka takiego wprowadzenia jest następująca:

I etap: w ramach ćwiczeń na dodawanie uczniowie znajdują liczby kratek,

z których złożone są narysowane figury. Odkryją przy tym dwa sposoby liczenia kratek tj. przez dodawanie liczb kratek w szeregach poziomych lub pionowych.

7 + 7+ 7 =

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

II etap: wśród różnych figur w tych ćwiczeniach występują również prostokąty. Dzieci dostrzegają, że w takich przypadkach dla znalezienia liczby kratek trzeba sumować jednakowe składniki, a przy tym można to zrobić na dwa sposoby. Po utrwaleniu tego spostrzeżenia nauczyciel informuje dzieci, ze liczba kratek jest iloczynem długości i szerokości danego prostokąta, a znajdywanie wartości iloczynu nazywamy mnożeniem (pokaz sposobu zapisywania iloczynu)

III etap: Uczniowie obliczać będą iloczyny stosując już przy tym zapis, a także rysując odpowiedni prostokąt, lub budując z odpowiednich materiałów. Należy zachęcać dzieci do znajdywania każdego iloczynu dwoma sposobami np. 7 ^. 2

i 2 ^. 7.

IV etap: stopniowe usprawnianie znajdywania iloczynów, opanowanie pamięciowe tabliczki mnożenia oraz odkrycie i opanowanie algorytmu mnożenia sposobem pisemnym.

Mnożenie w kl. I ma charakter propedeutyczny. Pojęcie iloczynu powinno powstawać w umyśle ucznia przez analizowanie konkretnych sytuacji. Początek systematycznego nauczania mnożenia przypada na kl. II. Zaczynamy od ćwiczeń, gdzie liczba rozpatrywanych elementów daje się wyrazić jako suma jednakowych składników. Tak, więc przedstawienie jako wielokrotnego dodawania powinno być wtórne. Dopiero synteza obu aspektów mnożenia: rozpatrywania konkretnych sytuacji i przedstawienia liczbowego w postaci sumy jednakowych składników prowadzi do prawidłowego zrozumienia pojęcia liczb. Mnożenie można zastąpić dodawaniem w różny sposób, to powoduje rozwój myślenia operatywnego (tj. umiejętność przedstawiana np. 1 ^. 3=3 ^. 1).

2 ^. ……… = 8 niewiadomy drugi czynnik

……… ^.. 2 = 8 niewiadomy pierwszy czynnik

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ^. 4 = 20 suma jednakowych składników zastąpiona iloczynem

4 ^. 3

3 ^. mnożenie jako pole prostokąta o długości boków odpowiednio 4 i 3

W k. III wprowadzamy mnożenie sposobem pisemnym rozpoczynając od ćwiczeń w mnożeniu liczby trzycyfrowej i jednocyfrowej bez przekroczenia progu dziesiątkowego. Następnie stopniując trudności przekraczamy kolejno jeden, potem drugi i trzeci próg.

Przy wprowadzeniu algorytmu mnożenia pisemnego nie opieramy poznania na konkrecie i postępowanie nauczyciela powinno przebiegać wg następujących etapów:

1. Przedstawienie mnożenia w postaci wielokrotnego dodawania

(tabelka, słupek).

2. Zastosowanie prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania.

3. Zapis wszystkich iloczynów bez skrótów w słupku

4 ^. po 8 = 32 , 4 ^. po 30 = 120, 4 ^. po 100 = 400

4. Zapis rachunków w słupku z pomocniczymi cyferkami, cyferkami potem

bez nich.

Dzielenie wprowadzamy w kl. I jako działanie odwrotne do mnożenia. Dla należytego zrozumienia dzielenia liczb ważna jest znajomość przemienności mnożenia. W kl. I poprzez różnego rodzaju ćwiczenia wykonywane z dziećmi ta przemienność wynika w sposób naturalny.

Pojęcie ilorazu wprowadzamy następująco:

1. jako ,,mieszczenie”, gdy znam ilość, którą dzielę i po ile mam podzielić np.

Mam 6 cukierków i dzielę po 3.

mam 6 dzielę po 3 to otrzymuję 2

6 : 3 = 2

2. jako ,,podział” - mam ilość czegoś np. ilość flakonów, po ile kwiatów do każdego? (Wkładam najpierw po 1, potem znowu po 1, aż włożę wszystkie).

np. Mam 6 kwiatów i 3 flakony. Wkładam najpierw po 1, potem dalej tak wykonuję czynności podziału, aż włożę wszystkie.

6 : 3 = 2

Do wymienionych ćwiczeń stosujemy różnorodne ćwiczenia np. manipulacyjno-ruchowe, aby ułatwić dzieciom zrozumienie pojęcia. Gdy dziecko zrozumie dobrze pojęcie iloczynu oba rodzaje sytuacji konkretnych będzie ujmowało

w jeden arytmetyczny schemat:

6 : 3 = 2

dzielna dzielnik iloraz

Gdy dziecko nie rozumie dzielenia to wprowadzamy ćwiczenia typu:

Mam 12 lizaków i muszę je podzielić na 3 osoby.

12 : 3 = 4

Iloczyn kartezjański to łączenie w pary na zasadzie każdy z każdym

i obliczeniu ilości utworzonych par.

W kl. III wprowadzamy algorytm dzielenia pisemnego, gdzie liczba jedności w każdym rzędzie dzieli się bez reszty (np. 396 : 3). W drugim etapie przerabiamy ćw., gdzie na przykład w rzędzie setek pozostaje reszta, którą trzeba zamienić na jednostki wyższego rzędu. (np.486 : 3). W 3 etapie liczba

setek jest mniejsza od dzielnika (485 : 5) i ucz. dokonuje zamiany 4s na dz.

W 4 etapie są ćw., gdy w ilorazie cząstkowym występuje 0. Algorytm dzielenia pisemnego jest najtrudniejszy i musi być wprowadzany poszczególnymi, wymienionymi etapami.

---