Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersy

19.03.97

0x01 graphic

Laboratorium z Fizyki

Sprawozdanie z wiczenia nr 16

Temat: „Pomiar przypieszenia ziemskiego przy pomocy wahada rewersyjnego

Wykona:

Andrzej Kotwica

I Elektronika

Grupa laboratoryjna : III

1. Cel wiczenia

Celem dowiadczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomoc wahada rewersyjnego.

2. Cz teoretyczna

0x01 graphic

Ruch drgajcy moe wykonywa kade ciao sztywne, zawieszone tak, aby mogo porusza si wok� staej osi O , kt�ra nie przechodzi przez jego rodek masy S (rys. 1) . Ciao takie nazywamy wahadem fizycznym .

Ruch wahada fizycznego podlega drugiej zasadzie dynamiki dla ruchu obrotowego wok� staej osi .

M.- Moment siy powodujcy ruch wzgldem

osi przechodzcej przez punkt zawieszenia

I-moment bezwadnoci wzgldem tej osi
- przyspieszenie ktowe

Si dziaajc na wahado jest sia cikoci G zaczepiona w rodku masy S . Std na podstawie rysunku mamy:

Warto liczbowa wektora momentu obrotowego M wynosi wic

m - masa

- kt nachylenia wahada

Znak minus pochodzi std , e moment obrotowy M. jest skierowany przeciwnie ni wektor reprezentujcy wychylenie .

Drug zasad dynamiki dla ruchu obrotowego wok� staej osi moemy te zapisa w postaci skalarnej

Dla maych kt�w wychylenia wahada
, wobec tego

, a poniewa
, wic

Po podstawieniu
otrzymujemy

Jest to r�wnanie r�niczkowe ruchu harmonicznego dla wahada fizycznego , przy czym wielkoci , kt�ra drga jest kt wychylenia
. Poniewa droga rodka masy
, wic ruch rodka masy jest take ruchem harmonicznym podobnie jak ruch dowolnego punktu wahada fizycznego.

Moment siy
dla
nazywamy momentem kierujcym i oznaczamy przez D , gdzie

R�wnanie r�niczkowe ruchu harmonicznego wahada fizycznego moemy zatem napisa w postaci

Poniewa
, to na okres drga wahada fizycznego przy niewielkich wychyleniach otrzymujemy wyraenie:

Zaleno okresu drga wahada fizycznego od pooenia punktu zawieszenia.

Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwadnoci wahada wzgldem osi przechodzcej przez punkt zawieszenia wyraa si wzorem

, gdzie

I₀- moment bezwadnoci wzgldem osi r�wnolegej do osi zawieszenia przechodzcej przez rodek cikoci

h - odlego obu osi ( odlego rodka cikoci od punktu zawieszenia )

Moment bezwadnoci wzgldem rodka masy ma posta

, gdzie

r_b - rami bezwadnoci

Zatem

Std okres drga wahada fizycznego wynosi

0x01 graphic

Ze wzoru tego wynika , e dla h
0 T
, tzn. gdy odlego punktu zawieszenia od rodka masy wahada maleje , to okres jego drga ronie. Dla malejcego h okres T
, a w miar wzrost h okres maleje i osiga minimum dla h = r_b , wtedy

0x01 graphic
, a dla h
r_b okres T znowu ronie.

Dla danego punktu zawieszenia mona poda trzy jeszcze inne punkty zawieszenia dla kt�rych wahado ma ten sam okres drga . Rozpatrzymy punkty zawieszenia dla obu punkt�w znajdujce si po obu stronach rodka masy wahada w odlegoci h i h₁od niego.

Wzory na okresy drga dla wahada zawieszonego w tych punktach bd si przedstawiay nastpujco:

0x01 graphic
,

Po obustronnym podniesieniu do kwadratu i odjciu stronami otrzymujemy

0x01 graphic

Std wida , e okres drga wahada zawieszonego w punktach a i c odlegych od rodka masy o h i h₁ , jest r�wny okresowi drga wahada matematycznego o dugoci l = h + h₁

Punkt c nazywa si rodkiem drga dla punktu zawieszenia a . Por�wnujc wzory

0x01 graphic
=
otrzymujemy wz�r

, z kt�rego moemy wyznaczy odlego rodka drga od rodka masy wahada ,jeeli znamy odlego h punktu zawieszenia od rodka masy.

Wahado zawieszone w punkcie a ma ten sam okres drga co wahado zawieszone w rodku drga c , przy czym odlego tych punkt�w ( h + h₁ ) jest r�wna dugoci wahada matematycznego, kt�re ma ten sam okres drga co dane wahado fizyczne . T dugo nazywamy dugoci zredukowan wahada fizycznego.

Rozwaania te mona zastosowa do tzw. wahada rewersyjnego , kt�re zbudowane jest z prta mogcego si waha wzgldem dw�ch staych osi przechodzcych przez punkty A i B ( pryzmaty ostrzami skierowane do siebie ) odlege o l . na prcie zamocowane s dwa ciarki , kt�re moemy swobodnie przesuwa ; jeden midzy punktami A i B ; drugi powyej punktu A . ciarki przesuwa si tak dugo , a okresy drga przy zawieszeniu wahada w punktach A i B bd r�wne . wtedy l jest dugoci zredukowan wahada . Poniewa dugo l i okres drga T mona wyznaczy z du dokadnoci , wic wahado rewersyjne suy do dokadnych pomiar�w przyspieszenia ziemskiego korzystajc ze wzoru na okres wahada matematycznego

0x01 graphic

3.Cz praktyczna

a) Tabela pomiar�w

Lp	l_z	t₁	T₁	t₂	T₂	T_r
	[m]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
1	15	12,350	1,2350	12,380	1,2380
2	25	12,176	1,2176	12,199	1,2199
3 4	36 40	12,036 11,868	1,2036 1,1868	12,062 11,890	1,2062 1,1890	1,2031
5	46	11,685	1,1685	11,633	1,1633

Na podstawie powyszej tabeli zosta sporzdzony wykres, z kt�rego atwo odczyta zblion warto dugoci zredukowanej wahada .

0x01 graphic

Tabela dla otoczenia dugoci zredukowanej :

Lp	n	T	l_z	l_{z r}	l_z
		[s]	[m]	[m]	[m.]
1	10	0,03389	0,38		0,02
2	10	0,01592	0,37		0,01
3	10	0,00183	0,36	0,36	0,00
4	10	0,01570	0,35		0,01
5	10	0,03650	0,34		0,02

Analiza bd�w :

0x01 graphic

Bd wzgldny liczymy metod logarytmiczn

0x01 graphic

Bd wzgldny wynosi:

Przypieszenie ziemskie wyznaczamy ze wzoru:

0x01 graphic

Bd bezwzgldny :

Ostatecznie otrzymujemy :

0x01 graphic

Wnioski :

W wiczeniu zajlimy si wyznaczaniem przypieszenia ziemskiego za pomoc wahada rewersyjnego .Korzystajc ze wzoru na okres drga wahada fizycznego mona wyznaczy z do du dokadnoci przypieszenie ziemskie. Wahado rewersyjne ma t zalet, e moe waha si w dw�ch pozycjach .Po ustaleniu takiego zaoenia odwanik�w, w kt�ry okresy byy r�wne, ustawilimy dugo zredukowan na wahadle matematycznym. Okazao si, e ma ono ten sam okres drga co wahado fizyczne.

Zauwaylimy ,e w miar zwikszania dugoci pomidzy ciarkami okres drga wahada mala .Jest to zwizane z tym ,e zmieniajc pooenie odwanik�w zmienialimy r�wnie moment bezwadnoci wahada.

Przypieszenie obliczone w dowiadczeniu wyznaczylimy z dokadnoci do 0,56
. Jest to wynik cakowicie zadowalajcy .Niewielki bd m�g by spowodowany odmierzaniem czasu podczas kt�rego wahado byo w ruchu, gdy nie bylimy w stanie idealnie zatrzyma czasomierza po 10 okresach. Natomiast bd wzgldny obliczony metod logarytmiczna wyni�s 5,98