IMIĘ I NAZWISKO	Ćwiczenie M-1 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO
ROK I KIERUNEK
		OCENA	OCENA	OCENA
PROWADZĄCY	DATA PODPIS	DATA PODPIS	DATA PODPIS

1. Cel ćwiczenia

Przeprowadzenie pomiaru przyśpieszenia ziemskiego (g) przy pomocy wahadła matematycznego.

2. Część teoretyczna

1. Przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne)

Przyspieszenie, którego doznają wszystkie ciała na ziemi, zwane jest przyśpieszeniem ziemskim lub grawitacyjnym. Oznaczane jest małą literą g. Jest ono wielkością wektorową; kierunek wektora tego przyspieszenia jest pionowy i zwrócony prostopadle ku środkowi kuli ziemskiej.

Wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest jednakowa na całej kuli ziemskiej. Zmienia się wraz ze zmianą szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. W obliczeniach przyjmuje się wartość przyspieszenia ziemskiego mierzoną na poziomie morza oraz odpowiadającą szerokości 45º lub jej wartość rzeczywistą, występującą w rozpatrywanym punkcie Ziemi.

Z przyciąganiem ziemskim nierozerwalnie połączone jest prawo grawitacji (ciążenia powszechnego), sformułowane przez Newtona

Z prawa tego wiemy, że wartość przyspieszenia ziemskiego maleje w miarę oddalania się od Ziemi. Treść prawa grawitacji jest następująca:

„Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie. Siła F wzajemnego przyciągania się dwóch ciał jest wprost proporcjonalna do wartości ich mas m₁ i m₂ i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r pomiędzy środkami ich mas.”

Wartość współczynnika proporcjonalności G, zwanego s t a ł ą g r a w i t a - c y j n ą wyznaczono doświadczalnie i wynosi ona:

6,65•10^-8 cm³/g s²

Siła ciążenia działa między wszystkimi bez wyjątku ciałami, np. dowolne ciało i Ziemia. Działanie sił przyciągania jest wzajemne, przy czym siły te mają kierunek prostej łączącej środki obydwu mas.

Siła przyciągania grawitacyjnego dowolnego ciała o masie m na powierzchni Ziemi równa jest ciężarowi ciała

Q = mg

Zgodnie z prawem ciążenia powszechnego siła ta równa jest:

gdzie:

G - stała grawitacyjna

m - masa ciała

M - masa Ziemi

r - promień Ziemi

h - wysokość ciała nad poziomem morza

R - odległość os środka ciał

Wartość przyspieszenia zmienia się również w skutek ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Ziemia jest układem nieinercjalnym, więc dodatkowo, na wszystkie ciała działa siła odśrodkowa bezwładności, która jest prostopadła do osi obrotu Ziemi i jest tym większa im większa jest odległość od tej osi.

W wyniku działania siły bezwładności i spłaszczenia Ziemi wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi w przybliżeniu:

• na biegunie 9.83 m/s²

• na równiku 9.78 m/s²

1. Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m i ciężarze Q zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. W położeniu wychylonym na punkt ten działa składowa siły ciążenia, siła poruszająca
, gdzie ciężar Q wynosi mg.

Łącząc powyższe równania i podstawiając

gdzie x jest wychyleniem punktu w stosunku do położenia równowagi, otrzymujemy:

Ponieważ m, l oraz g są dla określonego wahadła wielkościami stałymi, a więc siła poruszająca F jest wprost proporcjonalna do wielkości wychylenia x. Wynika stąd, że ruch wahadłowy jest dla małych wychyleń (
) ruchem harmonicznym.

Przyśpieszenie ruchu harmonicznego wyrażone jest równaniem:

stąd siła poruszająca

Porównując tę wartość z uprzednio wyprowadzonym równaniem otrzymujemy

a stąd

Z powyższego równania zauważamy, że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od jego długości i wartości danego w rozpatrywanym miejscu przyspieszenia ziemskiego.

2. Ruch harmoniczny

Jest to szczególny, bardzo ważny przypadek ruch drgającego, w którym ciało periodycznie zmienia swoje położenie, pozostając stale w pobliżu położenia równowagi. Można powiedzieć, że ciało jest w ruchu harmonicznym wokół położenia równowagi x₀ = 0, jeżeli wychylenie x z tego położenia jest sinusoidalną funkcją czasu:

gdzie A oznacza maksymalne wychylenie z położenia równowagi i nosi nazwę amplitudy, ώ - częstość kołowa, a funkcja (ώt + φ) nazywa się fazą, przy czym φ jest fazą początkową (dla t = 0)

Przedstawię teraz sposób wyprowadzenia powyższego wzoru.

Porównując ze sobą wzór na siłę II Zasady Dynamiki Newtona (F = ma), gdzie
oraz wzór na silę sprężystości (F = -kx) otrzymujemy:

Po obustronnym podzieleniu przez masę oraz podstawieniu
otrzymujemy:

Rozwiązaniem tego równania jest właśnie wzór:

Różniczkując powyższe równanie dwukrotnie względem czasu otrzymujemy:

3. Przyrządy pomiarowe.

• Wahadło matematyczne wraz z wyposażeniem

• Stoper

4. Przebieg ćwiczenia

1. Wprawiłem wahadło w drgania poprzez wychylenie go o kąt 5°.

2. Zmierzyłem czas trwania 50 okresów T.

3. Skróciłem nić wahadła o około 1/5 poprzez uchwycenie jej przy pomocy

ruchomego zacisku długości i ponownie zmierzyłem czas trwania 50 okresów T.

4. Odczytałem wartość d, o jaką skróciłem nić wahadła.

5. Powtórzyłem pomiary z punktów 2-4 dla trzech innych położeń zacisku na nici

wahadła.

6. Wyniki pomiarów przedstawiłem w tabelce.

7. Wykonałem cztery obliczeń przyspieszenia ziemskiego. Obliczyłem średnią wartość

8. Obliczyłem błąd ∆g stosując metodę Studenta - Fishera do wyników g_i z

założonym poziomem ufności ά = 0,95

5. Wyniki pomiarów

Nr pomiaru	0	1	2	3	4
długość o jaką skrócono nić wahadła d [m]	0	0,1	0,2	0,3	0,4
długość nici wahadła l [m]	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4
czas trwania 50 okresów T [s]	89	82	77	71	63
czas trwania jednego okresu T [s]	1,78	1,64	1,54	1,42	1,26

6. Obliczenia

Wykonuje cztery obliczenia przyśpieszenia ziemskiego według wzoru:

Obliczam wartość średnią

Obliczam błąd ∆g stosują c metodę Studenta - Fishera do wyników g_i z założonym poziomem ufności ά = 0.95

Mnożę S_g przez współczynnik studenta Fishera t_nά dla założonego poziomu ufności

ά = 0.95 równy 2.8

Wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa w przybliżeniu:

7. Wnioski

Okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości. Zauważyłem, że im bardziej skracałem nić tym bardziej okres wahadła się skracał, a jego ruchy były coraz szybsze.

Wartość przyspieszenia ziemskiego, którą obliczyłem odbiega znacznie od wartości podawanej w tablicach. Przyczyn może być kilka:

• określenie i ustawienie precyzyjnej długości wahadła było niemożliwe

• pomiędzy włączaniem i wyłączaniem stopera, a wprawianiem wahadła w ruch mogła wystąpić niewielka, lecz znacząca różnica czasu.

• przy krótkiej długości wahadła punkt materialny ciężko było wprawić w drgania w płaszczyźnie pionowej.

• wartość podana przez tablicę jest obliczana przez najnowocześniejszy sprzęt w najlepiej wyposażonych laboratoriach świata. Wszystkie pomiary są niezwykle precyzyjne.

---