Analiza matematyczna/Układy równań
różniczkowych/Przykład 1.1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-4 4 -2 u1 0
Dany jest układ równań:
Å„Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
1 -1 1 · =
2
ôÅ‚ -3x + 4y - 2z
òÅ‚x (t) =
6 -6 4 u3 0
y2 (t) = x + z
ôÅ‚ co ostatecznie daje ukÅ‚ad równaÅ„:
ółz2 (t) = 6x - 6y + 5z
Å„Å‚
ôÅ‚-4u1 + 4u2 - 2u3 = 0
òÅ‚
W zapisie macierzowym X2 = A · X powyższy ukÅ‚ad
u1 - u2 + u3 = 0
wygląda następująco:
ôÅ‚
ół6u - 6u2 + 4u3 = 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
x2 -3 4 -2 x
ðÅ‚y2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚yûÅ‚ Do pierwszego równania dodamy 4 razy drugie równa-
= 1 0 1 ·
nie. Otrzymamy wówczas u3 = 0 . Podstawiając tę war-
z2 6 -6 5 z
tość do równania drugiego, otrzymamy, że u1 = u2 = s
Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema nie-
, gdzie s jest dowolnym parametrem. PodsumowujÄ…c,
wiadomymi funkcjami x(t) , y(t) oraz z(t) , zależnymi
otrzymujemy:
od jednej zmiennej niezależnej t .
Å„Å‚
ôÅ‚
1
òÅ‚u = s
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia war-
u2 = s
tości własnych  macierzy współczynników A :
ôÅ‚
ółu = 0
3
det [A - I] = 0
îÅ‚ Å‚Å‚
co w zapisie wektorowym wygląda następująco:
-3 -  4 -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ûÅ‚
s 1
detðÅ‚ 1 - 1 =
ðÅ‚sûÅ‚
U =1 = = sðÅ‚1ûÅ‚
6 -6 5 - 
1
0 0
= (-3 - )(-)(5 - ) + 4 · 1 · 6 + (-6) · 1 · (-2)
( )
- (-2)(-) · 6 + (-6) · 1 · (-3 - ) + 1 · 4(5 - ) =
1.2 Druga
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
Szukamy wektora własnego C odpowiadających rzeczy-
= -3 + 22 +  - 2
wistej 1-krotnej wartości własnej 2 = -1 .
Zatem rozwiązaniem równania:
[A - 2I] · C = 0
-3 + 22 +  - 2 = 0
zatem:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
sÄ… liczby 1 = 1 , 2 = -1 oraz 3 = 2
-3 - 2 4 -2 u1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
1 -2 1 · =
6 -6 5 - 2 u3 0
następnie:
1 Rzeczywiste wartości własne
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 4 -2 u1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
1 1 1 · =
1.1 Pierwsza
6 -6 6 u3 0
Szukamy wektora własnego C odpowiadającego rzeczy- co ostatecznie daje układ równań:
Å„Å‚
wistej 1-krotnej wartości własnej 1 = 1 .
ôÅ‚-2u1 + 4u2 - 2u3 = 0
òÅ‚
[A - 1I] · C = 0
u1 + u2 + u3 = 0
ôÅ‚
ół6u - 6u2 + 6u3 = 0
zatem:
1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-3 -  4 -2 u1 0
Od trzeciego równania 6 razy odejmujemy drugie, skąd
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
1 - 1 · =
otrzymujemy u2 = 0 , a następnie  podstawiając tę war-
6 -6 5 -  u3 0
tość do pierwszego lub drugiego równania  otrzymujemy
następnie: zależność u1 = -u3 = s , gdzie s jest dowolnym para-
1
2 1 RZECZYWISTE WARTOÅšCI WA
ASNE
metrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzymu- miało postać:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
jemy:
et e-t 0 C1
Å„Å‚
ðÅ‚et 0 e2t ûÅ‚ ðÅ‚C2ûÅ‚
= ·
ôÅ‚
1
òÅ‚u = s
0 -e-t 2e2t C3
u2 = 0
ôÅ‚
ółu = -s
Po nieznacznej modyfikacji opisywanego układu równań
3
otrzymujemy równanie niejednorodne postaci:
co wektorowo zapiszemy jako:
Å„Å‚
2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ -3x + 4y - 2z + 1
òÅ‚x (t) =
s 1
y2 (t) = x + z + t - 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
U =-1 = 0 = sðÅ‚ 0
2 ôÅ‚
ółz2 (t) = 6x - 6y + 5z - t
-s -1
co w postaci macierzowej zapiszemy jako:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x2 (t) -3 4 -2 x 1
1.3 Trzecia
ðÅ‚y2 (t)ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ðÅ‚yûÅ‚ ðÅ‚t
= 1 0 1 + - 1ûÅ‚
z2 (t) 6 -6 5 z -t
Szukamy wektorów własnych C odpowiadających rze-
Znając ogólne rozwiązanie układu jednorodnego, za po-
czywistej 1-krotnej wartości własnej 3 = 2 .
mocą metody uzmienniania stałych obliczymy rozwiąza-
[A - 3I] · C = 0
nie szczególne układu jednorodnego:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
zatem:
x et e-t 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-3 - 3 4 -2 u1 0 ðÅ‚yûÅ‚ ûÅ‚+C3(t)ðÅ‚ ûÅ‚
= C1(t)ðÅ‚etûÅ‚+C2(t)ðÅ‚ 0 e2t
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
1 -3 1 · =
z 0 -e-t 2e2t
SN
6 -6 5 - 3 u3 0
Musimy zatem rozwiązać równanie macierzowe zawiera-
następnie:
jące macierz Wrońskiego:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
-5 4 -2 u1 0
et e-t 0 C1(t) 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚u2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚ 2
1 -2 1 · = ðÅ‚et 0 e2t ûÅ‚ ðÅ‚C2(t)ûÅ‚ ðÅ‚t - 1ûÅ‚
· =
2
6 -6 3 u3 0
0 -e-t 2e2t C3(t) -t
co ostatecznie daje układ równań:
które sprowadza się do układu trzech prostszych równań:
Å„Å‚
Å„Å‚
2 2
ôÅ‚-5u1 + 4u2 - 2u3 = 0
ôÅ‚
òÅ‚ (t)et + C2(t)e-t = 1
òÅ‚C1
2 2
u1 - 2u2 + u3 = 0
C1(t)et + C3(t)e2t = t - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół6u - 6u2 + 3u3 = 0
ół-C2 (t)e-t + 2C3(t)e2t = -t
2
1
2
Od trzeciego równania odejmujemy 3 razy równanie dru-
z których wyznaczymy wartości:
Å„Å‚
gie, co daje nam u1 = 0 . Następnie podstawiając tę
2
ôÅ‚ (t) = ...
wartość do któregokolwiek z trzech równaÅ„, otrzymuje- òÅ‚C1
2
1
C2(t) = ...
my zależność u2 = u3 = s , gdzie s jest dowolnym
2
ôÅ‚
ółC2
parametrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzy- (t) = ...
3
mujemy:
a następnie:
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
1
òÅ‚u = 0
ôÅ‚
1
òÅ‚C (t) = ...
u2 = s
ôÅ‚ C2(t) = ...
ółu = 2s
ôÅ‚
3 ółC (t) = ...
3
co wektorowo zapiszemy jako:
Na koniec skorzystamy ze wzoru znanego z równań róż-
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 0
niczkowych liniowych:
ðÅ‚ ûÅ‚
U =2 = s = sðÅ‚1ûÅ‚
3
XON = XOJ + XSN
2s 2
Znając rozwiązanie ogólne równania, możemy przejść do
Ostatecznie rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma
rozwiÄ…zania problemu Cauchy'ego.
postać:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x(t) 1 1
ðÅ‚y(t)ûÅ‚ ûÅ‚e-t
XOJ = = C1ðÅ‚1ûÅ‚et + C2ðÅ‚ 0 +
z(t) 0 -1
OJ
îÅ‚ Å‚Å‚
0
C3ðÅ‚1ûÅ‚e2t =
2
co w zapisie zawierającym macierz Wrońskiego będzie
3
2 Text and image sources, contributors, and licenses
2.1 Text
" Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 1.1 y
ródło: https://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/
Uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych/Przyk%C5%82ad_1.1?oldid=199088 Autorzy: Sblive,
DrJolo, Lethern, Fizykaa, Alessia, Pavroo, Karol Karolus oraz Anonimowy: 5
2.2 Images
2.3 Content license
" Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Analiza matematyczna/Układy równań
różniczkowych/Przykład 2.1
Dany jest układ równań: zatem
[ ] [ ] [ ]
{
-5 - 1 -2 v1 0
x2 (t) = -5x - 2y
· =
1 -7 - 1 v2 0
y2 (t) = x - 7y
[ ] [ ] [ ]
-5 + 6 - i -2 v1 0
· =
W zapisie macierzowym X2 = A · X powyższy ukÅ‚ad
1 -7 + 6 - i v2 0
wygląda następująco:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
2 - 2i -4 v1 0
x2 -5 -2 x · =
= · 2 -2 - 2i v2 0
y2 1 -7 y
co ostatecznie daje układ równań:
Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema nie-
{
wiadomymi funkcjami x(t) oraz y(t) , zależnymi od jed- (2 - 2i)v1 - 4v2 = 0
nej zmiennej niezależnej t .
2v1 + (-2 - 2i)v2 = 0
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia war-
Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech v2 = s
tości własnych  macierzy współczynników A :
będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem war-
tość v1 w zależności od parametru s .
det [A - I] = 0
[ ]
(2 - 2i)v1 - 4s = 0
-5 -  -2
det =
1 -7 -  4s 2s
v1 = =
2-2i 1-i
= (-5 - )(-7 - ) - (-2) =
Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do
mianownika otrzymujemy:
= 35 + 5 + 7 + 2 + 2 =
2s(1+i)
2s 1+i
" = 144 - 148 = -4 v1 = · = = s(1 + i)
1-i 1+i 1+1
"
" = Ä…2i Ostatecznie otrzymujemy:
{
-12+2i
1 = = -6 + i
v1 = s(1 + i)
2
-12-2i
v2 = s
2 = = -6 - i
2
szukany wyznacznik macierzy ma postać: Znając wektor własny odpowiadający wartościom wła-
snym 1, 2
= 2 + 12 + 37
[ ]
1 + i
Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego V = s
1
2 + 12 + 37 = 0
możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jedno-
jest sprzężona para liczb zespolonych 1 = -6 + i oraz rodnego:
[ ]
2 = -6 - i
1 + i
XOJ = s · e(-6+i)t
1
Wzór Eulera
eiĆ = cos Ć + i sin Ć
1 Zespolone wartości własne
KorzystajÄ…c ze wzoru Eulera, otrzymamy:
[ ]
Szukamy wektorów własnych V odpowiadających zespo-
1 + i
= s · (cos t + i sin t)e-6t =
lonej 1-krotnej wartości własnej 1 = -6 + i wraz z
1
wartością sprzężoną do niej 2 = -6 - i .
[ ]
cos t + i sin t + i cos t - sin t
= s · e-6t =
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną
cos t + i sin t
wartość własną 2 = -6 - i bez żadnych negatywnych
W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz
skutków dla wyniku ostatecznego.
urojone
[A - 1I] · V = 0
1
2 1 ZESPOLONE WARTOÅšCI WA
ASNE
[ ]
- sin t + cos t + i(sin t + cos t)
= s · e-6t
cos t + i sin t
Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wek-
tor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowied-
nio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona i
została włączona do stałej C2 ).
( [ ] [ ])
- sin t + cos t sin t + cos t
XOJ = C1 + C2 e-6t
cos t sin t
W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następu-
jÄ…ce rozwiÄ…zanie:
[ ][ ]
- sin t + cos t sin t + cos t C1
XOJ = e-6t
cos t sin t C2
Dla pewności możemy sprawdzić, czy W (t) = 0 .
8
[ ]
- sin t + cos t sin t + cos t
W (t) = det = ...
cos t sin t
3
2 Text and image sources, contributors, and licenses
2.1 Text
" Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1 y
ródło: https://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/
Uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych/Przyk%C5%82ad_2.1?oldid=193309 Autorzy: Sblive,
DrJolo, Lethern, Alessia, Karol Karolus oraz Anonimowy: 4
2.2 Images
2.3 Content license
" Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Analiza matematyczna/Układy równań
różniczkowych/Przykład 5.1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 -1 1 c1 0
Dany jest układ równań:
Å„Å‚ ðÅ‚ ðÅ‚c2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
0 -1 1ûÅ‚ · =
2
ôÅ‚ -y + z
òÅ‚x (t) =
-1 0 0 c3 0
y2 (t) = z
ôÅ‚ co ostatecznie daje ukÅ‚ad równaÅ„:
ółz2 (t) = -x + z
Å„Å‚
ôÅ‚-c1 - c2 + c3 = 0
òÅ‚
W zapisie macierzowym X2 = A · X powyższy ukÅ‚ad
-c2 + c3 = 0
wygląda następująco:
ôÅ‚
ół-c = 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
x2 0 -1 1 x
ðÅ‚y2 ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚yûÅ‚ Z ostatniego równania mamy c1 = 0 . PodstawiajÄ…c tÄ™
= 0 0 1ûÅ‚ ·
wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że c2 =
z2 -1 0 1 z
c3 = s , gdzie s jest dowolnym parametrem. Podsumo-
Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema nie-
wujÄ…c, otrzymamy:
wiadomymi funkcjami x(t) , y(t) oraz z(t) , zależnymi
Å„Å‚
ôÅ‚
od jednej zmiennej niezależnej t .
1
òÅ‚c = 0
c2 = s
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia war-
ôÅ‚
ółc = s
tości własnych  macierzy A :
3
co w zapisie wektorowym wygląda następująco:
det [A - I] = 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0
- -1 1
ðÅ‚sûÅ‚
ûÅ‚
C =1 = = sðÅ‚1ûÅ‚
detðÅ‚ 0 - 1 =
1
s 1
-1 0 1 - 
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
( )
= 2(1 - ) + 1 + 0 - ( + 0 + 0) =
2 Zespolone wartości własne
= 2(1 - ) + 1 -  =
Szukamy wektorów własnych C odpowiadających zespo-
= (1 - )(2 + 1)
lonej 1-krotnej wartości własnej 2 = i wraz z rozwiąza-
niem sprzężonym do niej 3 = -i .
Zatem rozwiązaniem równania:
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną
(1 - )(2 + 1) = 0
wartość własną 3 = -i bez żadnych negatywnych skut-
sÄ… liczby 1 = 1 , 2 = i oraz 3 = -i
ków dla wyniku ostatecznego.
[A - 2I] · C = 0
zatem:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 -1 1 c1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚c2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
0 -2 1 · =
1 Rzeczywiste wartości własne
-1 0 1 - 2 c3 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-i -1 1 c1 0
Szukamy wektorów własnych C odpowiadających rze-
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚c2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
0 -i 1 · =
czywistej 1-krotnej wartości własnej 1 = 1 .
-1 0 1 - i c3 0
[A - 1I] · C = 0
co ostatecznie daje układ równań:
zatem: Å„Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚-ic1 - c2 + c3 = 0
òÅ‚
-1 -1 1 c1 0
-ic2 + c3 = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚c2ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚
0 -1 1 · =
ôÅ‚
ół-c + (1 - i)c3 = 0
-1 0 1 - 1 c3 0
1
następnie: Z drugiego równania wyznaczamy c3 = ic2 = s , gdzie
1
2 2 ZESPOLONE WARTOÅšCI WA
ASNE
s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyż-
szej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy
współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze
sprzężonych zespolonych wartości własnych.
Å„Å‚
ôÅ‚ - i)s
1
òÅ‚c = (1
c2 = -is
ôÅ‚
ółc = s
3
co w zapisie wektorowym wyrazimy jako
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - i
ûÅ‚
C =i = sðÅ‚ -i
2
1
3
3 Text and image sources, contributors, and licenses
3.1 Text
" Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 5.1 y
ródło: https://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/
Uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych/Przyk%C5%82ad_5.1?oldid=193308 Autorzy: Sblive,
DrJolo, Alessia, Karol Karolus oraz Anonimowy: 1
3.2 Images
3.3 Content license
" Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0