1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem ruchu harmonicznego tłumionego oraz wielkościami charakteryzującymi ten ruch.

2. Zasada pomiaru:

Pomiar dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych polega na mierzeniu kolejnych maksymalnych wychyleń φ_t walca zanurzonego w dwu różnych cieczach oraz obliczeniu szeregu wartości λ_k jako logarytmu stosunku kolejnych, następujących po czasie T maksymalnych wychyleń. Po wyznaczeniu wartości φ_t i okresu T drgań harmonicznych tłumionych oraz obliczeniu średniej wartości λ należy wyznaczyć wartość współczynnika tłumienia β.

3. Przeprowadzenie pomiaru:

Zanurzyłyśmy dysk w wodzie tak, aby nie opierał się o dno naczynia, a skalę obróciłyśmy tak, aby wskazówka pokrywała się z podziałką zerową skali. Wprowadziłyśmy wahadło obrotowe w ruch drgający odchylając palcem wskazówkę do podziałki 40°, następnie usunęłyśmy palec. Po wykonaniu przez wahadło pierwszego pełnego drgnięcia, zaczęłyśmy odczytywać wartości kolejnych, maksymalnych wychyleń w lewo i w prawo.

Pomiary przeprowadzałyśmy dla kolejnych 15 pełnych drgań, mierząc stoperem czas pełnych 15 drgań.

Dla pewności pomiary powtórzyłyśmy.

woda
φk	wychylenie w lewo [°]		wychylenie w prawo [°]
1	38	37	36	35.5
2	36	34	33.5	33
3	34.5	33	32	32
4	33	30.5	30.5	30
5	31	30	28.5	28
6	29	28	28.5	27
7	28	27	26	25
8	27	25.5	25	24.5
9	25.5	25	23	24
10	24	24	22	23
11	23	22.5	21	21
12	21.5	21.5	20	20
13	20.5	20.5	18.5	18
14	19.5	20	18	16
15	18.5	19	17	15

Następnie obliczyłyśmy okres drgań T dla wody dzieląc czas pomiaru t przez liczbę okresów n:

T = t / n

woda
	czas trwania	liczba	okres drgań
	pomiaru t [s]	okresów n	T [s]
1	86.00	15	5.733
2	92.02	15	6.135

Wyjęłyśmy dysk z wody i wstawiłyśmy do drugiego naczynia z cieczą (olejem glicerynowym).

Dokonałyśmy pomiary jak w przypadku wody, ale tylko dla kolejnych 7 drgań.

Dla pewności pomiary powtórzyłyśmy dwukrotnie.

gliceryna
φk	wychylenie w lewo [°]			wychylenie w prawo [°]
1	34	28	29	29	24	24.5
2	27	21	27.5	22	18	18.5
3	19.5	16	18	16.5	13.5	14
4	14.5	12	13.5	13.5	10	11
5	11	10	10.5	10	9	8
6	9	7	8	8	6.5	6.5
7	8	6.5	7.5	6	5.5	5

Następnie obliczyłyśmy okres drgań T dla gliceryny dzieląc czas pomiaru t przez liczbę okresów n:

T = t / n

gliceryna
	czas trwania	liczba	okres drgań
	pomiaru t [s]	okresów n	T [s]
1	43.00	7	6.14
2	44.00	7	6.28
3	42.00	7	6.00

Przyjęłyśmy błąd pomiaru czasu Δt = 0,4 s i obliczyłyśmy błąd pomiaru okresu dla wody i dla gliceryny ze wzoru:

ΔT = Δt / n

woda
	liczba	błąd pomiaru	błąd pomiaru
	okresów n	czasu Δ t [s]	okresu Δ T [s]
	15	0.4	0.027

gliceryna

liczba	błąd pomiaru	błąd pomiaru
okresów n	czasu Δ t [s]	okresu Δ T [s]
7	0.4	0.057

Następnie obliczyłyśmy dekrement tłumienia drgań λ_k dla:

λ_k = ln (φ_k / φ_{k + 1})

oraz jego średnią (dla wody oraz dla gliceryny):

woda

	a	lewo	b	prawo	2a	lewo	2b	prawo
	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln
1,2	1.056	0.054	1.075	0.072	1.088	0.085	1.076	0.073
2,3	1.043	0.043	1.031	0.031	1.030	0.03	1.031	0.031
3,4	1.045	0.044	1.049	0.048	1.082	0.079	1.067	0.065
4,5	1.065	0.063	1.071	0.069	1.017	0.017	1.071	0.069
5,6	1.069	0.067	1.000	0.000	1.071	0.069	1.037	0.036
6,7	1.036	0.035	1.080	0.077	1.037	0.036	1.080	0.077
7,8	1.037	0.036	1.040	0.039	1.059	0.057	1.020	0.020
8,9	1.059	0.057	1.021	0.021	1.020	0.02	1.021	0.021
9,10	1.063	0.061	1.045	0.044	1.042	0.041	1.043	0.043
10,11	1.043	0.043	1.095	0.091	1.067	0.065	1.095	0.091
11,12	1.070	0.067	1.050	0.049	1.047	0.045	1.050	0.049
12,13	1.049	0.048	1.111	0.105	1.049	0.048	1.111	0.105
13,14	1.051	0.050	1.028	0.027	1.025	0.025	1.125	0.118
14,15	1.054	0.053	1.067	0.065	1.053	0.051	1.067	0.065
	średnia	0.048	średnia	0.049	średnia	0.044	średnia	0.057

gliceryna

	a	lewo	b	prawo	2a	lewo	2b	prawo	3a	lewo	3b	prawo
	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln	φk / φk + 1	ln
1,2	1.259	0.231	1.318	0.276	1.333	0.288	1.333	0.288	1.055	0.053	1.324	0.281
2,3	1.385	0.325	1.333	0.288	1.313	0.272	1.333	0.288	1.528	0.424	1.321	0.279
3,4	1.345	0.296	1.222	0.201	1.333	0.288	1.350	0.300	1.333	0.288	1.273	0.241
4,5	1.318	0.276	1.350	0.300	1.200	0.182	1.111	0.105	1.286	0.251	1.375	0.318
5,6	1.222	0.201	1.250	0.223	1.429	0.357	1.385	0.325	1.313	0.272	1.231	0.208
6,7	1.125	0.118	1.333	0.288	1.077	0.074	1.182	0.167	1.067	0.065	1.300	0.262
	średnia	0.207	średnia	0.225	średnia	0.209	średnia	0.210	średnia	0.193	średnia	0.227

Z naszych obliczeń wyszło, że λ_k wynosi:

dla wody:

dla wychyleń w lewo λ_k = 0,046 ± 0,006

dla wychyleń w prawo λ_k = 0,053 ± 0,008

λ_k = 0,049 ± 0,007

dla gliceryny:

dla wychyleń w lewo λ_k = 0,2 ± 0,008

dla wychyleń w prawo λ_k = 0,22 ± 0,009

λ_k = 0,21 ± 0,008

Następnie na podstawie równania λ = β + T obliczyłyśmy współczynnik tłumienia drgań β:

dla wody:

β = 0,008 ± 0,001

dla gliceryny:

β = 0,034 ± 0,001

Częstość drgań nietłumionych ω₀ wynosi:

ω₀ = (β + 2π/T)^1/2

dla wody:

ω₀ = 1,29 ± 0,05

dla gliceryny:

ω₀ = 1,3 ± 0,1

4. Wnioski:

• Logarytmiczny dekrement drań jest tym większy im ciecz jest gęstsza

• Częstość drgań nietłumionych w przypadku wody i gliceryny powinna być równa

• Błąd pomiaru może mieć wiele przyczyn:

• ruchoma podziałka nie zawsze dawała się ustawić tak, aby wskazówka pokrywała się z podziałką zerową skali,

• błąd paralaksy przy ustawianiu wskazówki na zerze podziałki,

• kąt do jakiego miała być wychylona wskazówka przed każdym pomiarem nie zawsze był równy,

• pion wahadła nie zawsze udawało się zachować,

• błąd paralaksy przy odczycie maksymalnych wychyleń,

• uruchomienie stopera, a także jego zatrzymanie było często opóźnione o ułamek sekundy,

• błąd paralaksy przy odczycie wartości ze stopera,

• dysku nie dało dokładnie wytrzeć,

• temperatura i gęstość powietrza miały wpływ na ruch wskazówki.

---