ALGEBRAICZNE ZAGADNIENIE WŁASNE

AW1. Algebraicznym zagadnieniem własnym nazywamy zadanie wyznaczenia wartości i wektorów własnych macierzy kwadratowej, której elementy są liczbami (rzeczywistymi lub zespolonymi), i której stopień, jeśli nie będzie powiedziane inaczej, oznaczamy literą n.

AW2. Każdą liczbę λ, dla której istnieje niezerowy wektor w spełniający równość

A⋅w = λ⋅w,

nazywamy wartością własną macierzy A (eigenvalue of the martix A).

Wektor w ≠ 0 spełniający podaną równość nazywamy wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ (eigenvector corresponding to the eignevalue λ).

AW3. Równanie definiujące wartość i wektor własne macierzy A możemy przepisać w postaci

A⋅w - λ⋅w = 0,

czyli (A-λ⋅I)⋅w = 0,

gdzie I = [δ_j,k] oznacza macierz jednostkową stopnia n.

Uzyskane właśnie równanie nosi nazwę: równanie charakterystyczne (lub: równanie własne, characteristic equation) macierzy A.

AW4. Na równanie to możemy spojrzeć jako na układ n algebraicznych równań liniowych, w których niewiadomymi są elementy w₁, w₂, ...,w_n wektora w, zaś wartość λ jest traktowana jako parametr. Układ ten jest jednorodny (tzn. wszystkie wyrazy wolne tego układu są równe 0). Może on mieć rozwiązanie niezerowe jedynie wówczas, gdy macierz jego współczynników jest osobliwa, tzn. gdy

det(A-λ⋅I) = 0.

Zapisane właśnie równanie (ze względu na niewiadomą λ) nazywa się wielomianowym równaniem charakterystycznym (albo równaniem własnym, polynomial characteristic equation) macierzy A. Nazwy te zaproponowali J.Hachette w r.1812 i A.Cauchy w r.1826.

AW5. Łatwo zauważyć (na przykład sięgając do rozwinięcia Laplace'a), że występujący w tym równaniu wyznacznik jest wyrażeniem wielomianowym (stopnia równego stopniowi macierzy A) ze względu na parametr λ.

Funkcja, która wartości λ przyporządkowuje wartość det(A-λ⋅I), nazywa się wielomianem charakterystycznym (lub wielomianem własnym, characteristic polynomial) macierzy A. Wielomian ten oznacza się często przez χ_A, tzn.

χ_A(λ) := det(A-λ⋅I).

AW6. Kontynuując powyższe obserwacje możemy zapisać wielomian charakterystyczny w tzw. (naturalnej) postaci rozwiniętej:

χ_A(λ) = (-1)ⁿ⋅(λⁿ + c_n-1⋅λ^n-1 - c_n-2⋅λ^n-2 + .... + (-1)^n-1c₁⋅λ + (-1)ⁿc₀ ).

Można przy tym dowieść, że na przykład

c₀ = det(A),

c₁ = tr(A),

gdzie liczba tr(A) nazywa się śladem macierzy A=[a_j,k] _{j,k=1,2,...,n} i jest zdefiniowana wzorem

tr(A) := a_1,1 + a_2,2 + ... + a_n,n.

AW7. Na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry stwierdzamy od razu, że każda macierz ma co najmniej jedną wartość własną, zaś w ciele liczb zespolonych każda macierz stopnia n ma dokładnie n wartości własnych (przy czym niektóre mogą być wielokrotne).

Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A nazywa się jej widmem lub spektrum (spectrum) i jest oznaczany przez σ(A) lub sp(A).

AW8. Jeżeli σ(A) = {λ₁, λ₂, ..., λ_s}, przy czym λ_j ≠ λ_k dla j ≠ k,

to wielomian charakterystyczny macierzy zapisuje się w tzw. postaci iloczynowej

χ_A(λ) = 

gdzie wykładniki a_j są liczbami naturalnymi (tzn. ze zbioru {1, 2, 3, ... }) i sumują się do stopnia n: a₁ + a₂ + ... + a_n = n. Liczbę a_j nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej λ_j macierzy (algebraic multiplicity of the eigenvalue λ_j).

AW9. Twierdzenie o widmie macierzy podobnych: Widma macierzy podobnych są takie same.

Dowód. Wykażemy nawet więcej niż głosi podane twierdzenie, a mianowicie to, że macierze A i B podobne mają takie same wielomiany charakterystyczne.

Na podstawie założenia o podobieństwie macierzy A i B istnieje macierz nieosobliwa P (o której mówimy, że realizuje przedmiotowe podobieństwo) taka, że P^-1AP = B.

Korzystając dwukrotnie z twierdzenia wyznacznikowego Cauchy'ego, powiadającego, że det(U⋅W) = det(U)⋅det(W) dla dowolnych macierzy U i W, mamy

χ_B(λ) = det(B - λ⋅I) =  det(P^-1AP - λ⋅I) = det(P^-1AP - λ⋅P^-1IP) = 

= det(P^-1)⋅det(A - λ⋅I)⋅det(P) = det(A - λ⋅I) = χ_A(λ).

Przykład1 (3 wartości własne).

A = 

Wielomian charakterystyczny:

χ_A(t) = -t³ +12t² - 46t + 56 = -(t-t1)(t-t2)(t-t3), gdzie t1:=4-√2, t2:=4, t3:=4+√2.

Widmo: σ(A) = { t1, t2, t3 }.

Wyznaczymy wektor własny odpowiadający wartości własnej t2 = 4. Dla tej wartości równanie charakterystyczne (A-t⋅I)⋅w = 0 ma postać

,

tzn.
.

Rozwiązaniem tego układu jest wektor
, gdzie β2 oznacza dowolną liczbę różną od 0. Tak więc wartości własnej t2 = 4 macierzy A odpowiada nieskończenie wiele wektorów własnych, z których każdy ma postać β2⋅[1, 0 -1]^T, gdzie β2 ≠ 0.

Analogicznie wyznacza się wektory własne odpowiadające wartościom własnym t1 i t3. Są to wektory β1⋅[1, -√2, 1]^T i β3⋅[1, √2, 1]^T, gdzie β1 ≠ 0 i β3 ≠ 0. 

Przykład 2 (2 wartości własne i 3 wektory własne liniowo niezależne).

Macierz

ma dwie wartości własne t1 = 0, t2 = 273.

Ponieważ χ_A(t) = t²⋅(273-t), więc krotność algebraiczna wartości własnej t1 = 0 wynosi a1 = 2, natomiast krotność algebraiczna wartości t2 = 273 jest równa a2 = 1.

Wartości własnej t1 = 0 odpowiadają wektory własne [α, β, -(α+2β)/4]^T , gdzie α i β są dowolnymi liczbami nierównymi naraz 0 (tzn. |α| + |β| > 0). Odnotujmy, że wśród tych wszystkich wektorów bez trudu możemy wskazać dwa wektory liniowo niezależne (kładąc raz α = 1 i β = 0, zaś drugi raz α = 0 i β = 1) i nie możemy znaleźć trzech wektorów liniowo niezależnych.

Wartości własnej t2 = 273 odpowiadają wektory własne τ·[1, 8, 64]^T, gdzie τ ≠ 0.

Przykład 3 (2 wartości własne i 2 wektory własne liniowo niezależne).

Macierz A = 

ma wielomian charakterystyczny χ_A(t) = -t²(t+1),

zatem jej wartościami własnymi są liczby t1 = -1 (o krotności algebraicznej a1 = 1)

i  t2 = 0 (o krotności algebraicznej a2 = 2).

Wartości własnej t1 = -1 odpowiada wektor własny α⋅[1, 2, -1]^T, gdzie α ≠ 0.

Wartości własnej t2 = 0 odpowiada wektor własny β⋅[1, 1,  0]^T, gdzie β ≠ 0.

Rozwiązywanie algebraicznego zagadnienia własnego w systemie DERIVE

W systemie DERIVE wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy A (ze zmienną t) upraszczając wywołanie CHARPOLY(A,t).

Widmo (w postaci wektora) macierzy A uzyskujemy za pomocą wywołania EIGENVALUES(A).

Wektory własne macierzy A odpowiadające wartości własnej t uzyskujemy symplifikując wywołanie EXACT_EIGENVECTOR(A,μ). Jeśli wynikiem jest wektor zerowy, to znaczy to, iż albo podana wartość μ nie jest wartością własną macierzy A, albo program nie potrafi uzyskać wektora własnego. W tym drugim przypadku można aproksymować wywołanie APPROX_EIGENVECTOR(A, ν), gdzie ν jest przybliżoną wartością wartości własnej macierzy A.

Zadanie 1. Wyznacz wektor własny o długości 1 odpowiadający największej wartości własnej macierzy Rozwiązanie (w systemie DERIVE):

B =  .

CHARPOLY(B,t) = - t^5 + 10·t^4 - 36·t^3 + 56·t^2 - 35·t + 6, EIGENVALUES(B) = [1, 2, 3, 2+√3, 2-√3] ≈ [1, 2, 3, 3.73205, 0.267949] EXACT_EIGENVECTOR(B, 2+√3) = w, gdzie w:= α⋅[1, √3, 2, √3, 1] i α jest dowolną liczbą różną od 0; W systemie DERIVE liczby takie oznacza się przez @1, @2, @3 itd.. tu można je traktować jako dodatnie - przez komendę Declare Variable Domain Positive. Wyznaczony wektor ma długość ABS(w) = 2√3⋅|α|⋅, zatem poszukiwanym wektorem własnym jest (z dokładnością do znaku) w/ABS(w) = [√3/6, 1/2, √3/3, 1/2, √3/6]  ≈ [0.288675, 0.5, 0.577350, 0.5, 0.288675]. Już poza zadaniem odnotujmy, że EXACT_EIGENVECTOR(B, 3.73205) = [].

Zadanie 2. Wyznacz wektor własny odpowiadający największej wartości własnej macierzy A =  .
	Wykres wielomianu charakterystycznego macierzy A
Rozwiązanie (w systemie DERIVE). CHARPOLY(A,t) = y, gdzie y := -(t^5 - 10.01·t^4 + 36.08·t^3 - 56.21·t^2 + 35.2·t - 6.05) Nie potrafimy wyznaczyć dokładnie zer tego wielomianu. Rozwiązanie przybliżone uzyskujemy odwołując się do funkcji NSOLUTIONS: NSOLUTIONS(y,t) = [2.00333, 3.73288, 3.00250, 1.00249, 0.268777] Dla największej wartości własnej: APPROX_EIGENVECTOR(A, 3.73288) = -[0.288015, 0.499154, 0.576930, 0.500616, 0.290562] Odnotujmy, że wyznaczony wektor ma normę euklidesową (tzn. długość) równą ≈1.

Zadanie 3. Uzyskaj m-obraz trójkąta o wierzchołkach A=(-1,-1), B=(3,-1), C=(-1,1),		jeśli m := .
Rozwiązanie. Macierz m	określa przekształcenie v → m⋅v wektora v ∈R^2 w wektor m⋅v, czyli (inaczej mówiąc) punktu P w punkt m⋅P, który nazywamy m-obrazem punktu P i oznaczamy: mP. Jest: mA = (-3,-3), mB = (5,9), mC = (-1,-3). Przykładowo: m-obraz mB = (5,9) punktu B uzyskujemy przez mnożenie: . Analogicznie przekształcamy boki trójkąta ABC. Na przykład m-obrazem boku BC = (x = 3-4t, y = -1+2t), t ∈ <0, 1>, jest bok, który leży na prostej opisanej parametrycznie (x = 5-6t, y = 9-12t), t ∈ <0, 1>, gdyż m⋅BC = .

Zadanie 4. Zachowując oznaczenia z poprzedniego przykładu znajdź te punkty trójkąta ABC, które są współliniowe ze swymi m-obrazami (tzn. które leżą na tych samych prostych przechodzących przez początek O prostokątnego układu współrzędnych Oxy). Rozwiązanie. Wyznaczamy wartości i wektory własne macierzy m. Są nimi liczby -1 i 3 oraz im odpowiadające wektory α⋅[1,-3] i β⋅[1,1], gdzie α ≠ 0 i β ≠ 0.

Wektory te wyznaczają proste (zwane prostymi własnymi macierzy m) o równaniach y = -3x i y = x. Ponieważ boki trójkąta ABC leżą na prostych        o równaniach y = -1, y = (1-x)/2 i x = -1, więc proste te przecinane są przez proste własne w punktach, z których trzy leżą na bokach trójkąta - są nimi punkty A = (-1,-1), K = (1/3,-1), L = (1/3,1/3). Dla przykładu: punkt L otrzymujemy rozwiązując układ równań (y = (1-x)/2, y = x). Ponieważ prosta własna y = x odpowiada wartości     własnej 3, więc m-obrazem punktu L jest punkt mL = 3L = (1,1). Podobnie mA = 3A, mK = -K.

Funkcja, która dla danych punktów A,B,C płaszczyzny kartezjańskiej wyznacza równania boków trójkąta ABC (w kolejności: najpierw bok leżący naprzeciw wierzchołka A, potem B, wreszcie leżący naprzeciw wierzchołka C), i której obrazem przy zmienności parametru t w przedziale od 0 do 1 jest ten trójkąt, ma postać:

trojkat01NaWierzcholkach(A, B, C, t)

:= [B↓1 + (C↓1 - B↓1)·t, B↓2 + (C↓2 - B↓2)·t;

C↓1 + (A↓1 - C↓1)·t, C↓2 + (A↓2 - C↓2)·t;

A↓1 + (B↓1 - A↓1)·t, A↓2 + (B↓2 - A↓2)·t].

Równanie odcinka łączącego punkty B i C otrzymujemy upraszczając napis B+(C-B)*t, 0≤t≤1.

Adam Marlewski, 29.01.2004

aZaW.doc Algebraiczne zagadnienie własne 5/5

---